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九年级数学上册《22.1.4二次函数y=ax +bx+c的图象与性质》导学案
1、理解二次函数y=ax +bx+c的图象与性质，并学会运用，能求出对称轴、顶点坐标
2、理解抛物线y=ax +bx+c与系数的关系
3、能用待定系数法求二次函数的解析式，有三种解析式的类型：一般式，顶点式和交点式，能根据题目的需要选择适当的解析式类型。
重点：运用二次函数y=ax +bx+c的图象与性质求出对称轴、顶点坐标；会用待定系数法求二次函数的解析式。
难点：理解抛物线y=ax +bx+c与系数的关系，并结合函数的图象与性质进行分析题意。
1、二次函数y=ax +bx+c的图象与性质
（1）图象
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的。
（2）性质
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，
x＜﹣时，y随x的增大而减小；
x＞﹣时，y随x的增大而增大；
x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，
x＜﹣时，y随x的增大而增大；
x＞﹣时，y随x的增大而减小；
x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
2、抛物线y=ax +bx+c与系数的关系
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小
当a＞0时，抛物线开口向上；
当a＜0时，抛物线开口向下；
还可以决定开口大小，越大开口就越小。
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
3、待定系数法求二次函数解析式
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解。
一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；
当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；
当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
1、（2020·河南省初三）关于二次函数，下列说法中错误的是（ ）
A．函数图象是抛物线，且开口向下 B．函数图象的顶点坐标是（1，0）
C．函数图象与轴没有交点 D．当时，随的增大而减小
【答案】C
【解答】解：∵是二次函数，a<0
∴抛物线开口向下，A项正确；
= -(x2-2x+1)= -(x-1)2
∴抛物线的顶点坐标是（1，0），B项正确；
△=b2-4ac=2 -4×(-1)×(-1) = 4-4 =0
∴函数图像与x轴有一个交点，C项错误；
∵抛物线的对称轴为x=1，且抛物线开口向下，
∴当时，随的增大而减小，D项正确；
故选：C．
2、（2020·无锡市南长实验中学初三二模）将抛物线y＝x2＋4x＋3沿y轴向右平移3个单位，然后再向上平移5个单位后所得抛物线的顶点坐标是（ ）
A．(5，7) B．(－1，7) C．(1，4) D．(5，4)
【答案】C
【解答】解：将y＝x2＋4x＋3沿轴向右平移3个单位，得：，
将向上平移5个单位，得：
化简得：
配方成顶点式得：
∴其顶点坐标为：(1，4)
故选：C
3、（2020·广西壮族自治区初三学业考试）已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由一次函数的图象可得：<0, c>0，所以二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴=>0,与y轴的交点在正半轴，符合题意的只有A.故选A.
4、（2020·山东省初三二模）已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c，其中 y 与 x 的部分对应值如表：
x -2 －1 0.5 1.5
y 5 0 －3.75 －3.75
下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0
B．4a＋2b＋c＞0
C．若 x＜－1 或 x＞3 时，y＞0
D．方程 ax2＋bx＋c＝5 的解为 x1＝－2，x2＝3
【答案】C
【解答】解：∵x=0.5，y=3.75；
x=1.5，y=3.75；
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∵设y=a（x+1）（x3），
把（-2，5）代入得5=a×（-2+1）（-2-3），解得a=1，
∴y=x2-2x-3，
∴abc＞0，所以A选项错误；
4a+2b+c=4-4-3=-3＜0，所以B选项错误；
∵抛物线开口向上，抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），
∴x＜-1或x＞3时，y＞0，所以C选项正确；
方程ax2+bx+c=5表示为x2-2x-3=5，解得x1=-2，x2=4，所以D选项错误．
故选：C．
5、（2021 于洪区一模）若点，，在抛物线的图象上，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：抛物线中，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
点的对称点为，
又，即、、三个点都位于对称轴右边，函数值随自变量增大而减小．
，
故选：．
6、（2020·内蒙古自治区初三期末）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c＋2的图象如图所示，顶点为(－1，0)，下列结论：①abc＜0；②b2－4ac＝0；③a＜2；④4a－2b＋c＞0．其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解答】解：∵函数图象开口向上，
∴，
又∵顶点为(，0)，
∴，
∴,
由抛物线与轴的交点坐标可知：，
∴c＞0，
∴abc＞0,故①错误；
∵抛物线顶点在轴上，
∴，即，
又，
∴，故②错误；
∵顶点为(，0)，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，则，故③错误；
由抛物线的对称性可知与时的函数值相等，
∴，
∴，故④正确．
综上，只有④正确，正确个数为1个．
故选：A．
7、（2019·陕西省初三期末）已知抛物线y=ax2+bx+c经过(﹣1，0)，(0，﹣3)，(2，3)三点．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】（1）y=2x2﹣x﹣3；（2）抛物线的开口向上，对称轴为x=，顶点坐标为（，﹣）．
【解答】解：（1）把(-1,0)，(0,-3)，(2,3)代入y=ax2+bx+c，得，解得．
所以，这个抛物线的表达式为y=2x2﹣x﹣3．
（2）y=2x2﹣x﹣3=2(x﹣)2﹣，
所以，抛物线的开口向上，对称轴为x=，顶点坐标为（，﹣）
8、（2020·广东省初三二模）已知：如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过原点O（0，0）和点A （3，3），P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B（m，0），并与直线OA交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值．
【答案】（1）y＝﹣x2+4x；（2）．
【解答】解：（1）把O（0，0），A（3，3）代入得：，
解得：，
则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x；
（2）设直线OA解析式为y＝kx，
把A（3，3）代入得：k＝1，即直线OA解析式为y＝x，
∵PB⊥x轴，
∴P，C，B三点横坐标相等，
∵B（m，0），
∴把x＝m代入y＝x中得：y＝m，即C（m，m），
把x＝m代入y＝﹣x2+4x中得：y＝﹣m2+4m，即P（m，﹣m2+4m），
∵P在直线OA上方，
∴PC＝﹣m2+4m﹣m＝﹣m2+3m（0＜m＜3），
当m＝时，PC取得最大值，最大值为．
1、（2020·山东省初三二模）在同一直角坐标系中，函数和函数(m是常数，且)的图象可能是( )
A． B．C． D．
【答案】D
【解答】解：A、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；
B、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，对称轴为x＝＝＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；
C、由函数y＝mx+m的图象可知m＞0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；
D、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x＝＝﹣ ＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；
故选D．
2、（2020·内蒙古自治区初三月考）把抛物线y=﹣2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）
A．y=﹣2（x﹣1）2+6 B．y=﹣2（x﹣1）2﹣6
C．y=﹣2（x+1）2+6 D．y=﹣2（x+1）2﹣6
【答案】C
【解答】解：∵抛物线y=﹣2（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），
∴向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的顶点坐标是（﹣1，6）
∴所得抛物线解析式是y=﹣2（x+1）2+6
故选C
3、（2020·江苏省中考真题）二次函数的图像的顶点坐标是_________．
【答案】（-1，4）
【解答】解：∵=-(x+1)2+4
∴顶点坐标为（-1，4）
故答案为（-1，4）
4、（2020·四川省中考真题）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在轴的右侧
B．图象与轴的交点坐标为
C．图象与轴的交点坐标为和
D．的最小值为－9
【答案】D
【解答】解：∵
∴抛物线的对称轴为直线：x=-1，在y轴的左侧，故选项A错误；
令x=0，则y=-8，所以图象与轴的交点坐标为，故选项B错误；
令y=0，则，解得x1=2，x2=-4，图象与轴的交点坐标为和，故选项C错误；
∵，a=1＞0，所以函数有最小值-9，故选项D正确．
故选：D．
5、（2021 郑州模拟）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：对称轴为直线，
且，
到对称轴直线的距离为1，
到对称轴直线的距离为0，
到对称轴直线的距离为3，
，
根据抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小，
．
故选：．
6、（2020·山东省中考真题）已知二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表：
0 2
6 0 6
下列结论：
①；
②当时，函数最小值为；
③若点，点在二次函数图象上，则；
④方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上）
【答案】①③④
【解答】解：由抛物线过点（﹣5，6）、（2，6）、（0，﹣4），可得：
，解得：，
∴二次函数的解析式是，
∴a=1＞0，故①正确；
当时，y有最小值，故②错误；
若点，点在二次函数图象上，则，，∴，故③正确；
当y=﹣5时，方程即，∵，∴方程有两个不相等的实数根，故④正确；
综上，正确的结论是：①③④．
故答案为：①③④．
7、（2020·天津中考真题）已知抛物线（是常数，）经过点，其对称轴是直线．有下列结论：
①；
②关于x的方程有两个不等的实数根；
③．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解答】解：∵抛物线经过点，对称轴是直线，
∴抛物线经过点，b=-a
当x= -1时，0=a-b+c，∴c=-2a;当x=2时，0=4a+2b+c，
∴a+b=0，∴ab<0，∵c＞1，
∴abc＜0，由此①是错误的，
∵，而
∴关于x的方程有两个不等的实数根，②正确；
∵，c=-2a>1， ∴，③正确
故选：C.
8、（2020·黑龙江省初三一模）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a－b＋c＜0；③2a＝b；④4a＋2b＋c＞0；⑤若点(－2，y1)和(－，y2)在该图象上，则y1＞y2. 其中正确的结论个数是 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c>0，
∵对称轴x=>0，
∴b>0，
∴abc＜0，故①不正确；
∵对称轴x==1，
∴b= 2a，
∴令x= 1时，此时y=a b+c，
由图象可知a b+c<0，
∴a+2a+c=3a+c<0，故②正确，③错误；
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴ 1与3关于x=1对称，0与2关于x=1对称，
令x=2时，此时y=4a+2b+c>0，故④正确；
当x<1时，y随着x的增大而增大，
∴ 2< ，
∴y故选B.
9、（2020·辽宁省初三其他）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③4a﹣2b+c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有 （ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解答】解：根据函数的交点可得：函数的对称轴为直线x=1，即－=1，则2a+b=0，即①错误；根据图象可得a＞0，b＜0，c＜0，则abc＞0，即②错误；当x=－2时，y＞0，即4a－2b+c＞0，则③错误；根据①可得：b=－2a，根据4a－2b+c＞0可得：8a+c＞0，则④正确.
10、（2020·安徽省中考真题）在平而直角坐标系中，已知点，直线经过点．抛物线恰好经过三点中的两点．
（1）判断点是否在直线上．并说明理由；
（2）求的值；
（3）平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．
【答案】（1）点在直线上，理由见详解；（2）a=-1，b=2；（3）
【解析】（1）点在直线上，理由如下：
将A（1，2）代入得，
解得m=1，
∴直线解析式为，
将B（2，3）代入，式子成立，
∴点在直线上；
（2）∵抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A，C两点，
将A，C两点坐标代入得，
解得：a=-1，b=2；
（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k，
∵顶点在直线上，
∴k=h+1，
令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，
∵-h2+h+1=-（h-）2+，
∴当h=时，此抛物线与轴交点的纵坐标取得最大值．
11、（2020·广东省初三一模）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接交抛物线的对称轴于点，是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直接写出点和点的坐标；
（3）若点在第一象限内的抛物线上，且，求点坐标．
【答案】（1）；（2），；（3）∴．
【解析】（1）由点和点得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）令，则，
∴，
∵，
∴；
（3）设，
，，
∵，∴，
∴，∴，
解得：（不合题意，舍去），，
∴
本节课所学知识点
错题及错误原因
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九年级数学上册《22.1.4二次函数y=ax +bx+c的图象与性质》导学案
1、理解二次函数y=ax +bx+c的图象与性质，并学会运用，能求出对称轴、顶点坐标
2、理解抛物线y=ax +bx+c与系数的关系
3、能用待定系数法求二次函数的解析式，有三种解析式的类型：一般式，顶点式和交点式，能根据题目的需要选择适当的解析式类型。
重点：运用二次函数y=ax +bx+c的图象与性质求出对称轴、顶点坐标；会用待定系数法求二次函数的解析式。
难点：理解抛物线y=ax +bx+c与系数的关系，并结合函数的图象与性质进行分析题意。
1、二次函数y=ax +bx+c的图象与性质
（1）图象
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的。
（2）性质
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，
x＜﹣时，y随x的增大而 ；
x＞﹣时，y随x的增大而 ；
x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的 ．
②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，
x＜﹣时，y随x的增大而 ；
x＞﹣时，y随x的增大而 ；
x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的 ．
2、抛物线y=ax +bx+c与系数的关系
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小
当a＞0时，抛物线开口 ；
当a＜0时，抛物线开口 ；
还可以决定开口大小，越大开口就 。
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴 ；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴 ．（简称：左同右异）
③常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于 ．
④抛物线与x轴交点个数．
△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有 交点；
△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有 交点；
△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴 交点．
3、待定系数法求二次函数解析式
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解。
一般地，当已知抛物线上三点时，常选择 ，用待定系数法列三元一次方程组来求解；
当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为 来求解；
当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为 来求解．
1、（2020·河南省初三）关于二次函数，下列说法中错误的是（ ）
A．函数图象是抛物线，且开口向下 B．函数图象的顶点坐标是（1，0）
C．函数图象与轴没有交点 D．当时，随的增大而减小
2、（2020·无锡市南长实验中学初三二模）将抛物线y＝x2＋4x＋3沿y轴向右平移3个单位，然后再向上平移5个单位后所得抛物线的顶点坐标是（ ）
A．(5，7) B．(－1，7) C．(1，4) D．(5，4)
3、（2020·广西壮族自治区初三学业考试）已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4、（2020·山东省初三二模）已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c，其中 y 与 x 的部分对应值如表：
x -2 －1 0.5 1.5
y 5 0 －3.75 －3.75
下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0
B．4a＋2b＋c＞0
C．若 x＜－1 或 x＞3 时，y＞0
D．方程 ax2＋bx＋c＝5 的解为 x1＝－2，x2＝3
5、（2021 于洪区一模）若点，，在抛物线的图象上，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
6、（2020·内蒙古自治区初三期末）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c＋2的图象如图所示，顶点为(－1，0)，下列结论：①abc＜0；②b2－4ac＝0；③a＜2；④4a－2b＋c＞0．其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7、（2019·陕西省初三期末）已知抛物线y=ax2+bx+c经过(﹣1，0)，(0，﹣3)，(2，3)三点．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
8、（2020·广东省初三二模）已知：如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过原点O（0，0）和点A （3，3），P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B（m，0），并与直线OA交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值．
1、（2020·山东省初三二模）在同一直角坐标系中，函数和函数(m是常数，且)的图象可能是( )
A． B．
C． D．
2、（2020·内蒙古自治区初三月考）把抛物线y=﹣2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）
A．y=﹣2（x﹣1）2+6 B．y=﹣2（x﹣1）2﹣6
C．y=﹣2（x+1）2+6 D．y=﹣2（x+1）2﹣6
3、（2020·江苏省中考真题）二次函数的图像的顶点坐标是_________．
4、（2020·四川省中考真题）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在轴的右侧
B．图象与轴的交点坐标为
C．图象与轴的交点坐标为和
D．的最小值为－9
5、（2021 郑州模拟）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
6、（2020·山东省中考真题）已知二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表：
0 2
6 0 6
下列结论：
①；
②当时，函数最小值为；
③若点，点在二次函数图象上，则；
④方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上）
7、（2020·天津中考真题）已知抛物线（是常数，）经过点，其对称轴是直线．有下列结论：
①；
②关于x的方程有两个不等的实数根；
③．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8、（2020·黑龙江省初三一模）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a－b＋c＜0；③2a＝b；④4a＋2b＋c＞0；⑤若点(－2，y1)和(－，y2)在该图象上，则y1＞y2. 其中正确的结论个数是 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9、（2020·辽宁省初三其他）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③4a﹣2b+c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有 （ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10、（2020·安徽省中考真题）在平而直角坐标系中，已知点，直线经过点．抛物线恰好经过三点中的两点．
（1）判断点是否在直线上．并说明理由；
（2）求的值；
（3）平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．
11、（2020·广东省初三一模）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接交抛物线的对称轴于点，是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直接写出点和点的坐标；
（3）若点在第一象限内的抛物线上，且，求点坐标．
本节课所学知识点
错题及错误原因
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