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九年级数学上册《22.1.4二次函数y=ax +bx+c的图象与性质》
课时训练
一、单选题
1．（2021九上·余杭期末）已知二次函数 ，当 时，y随x的增大而减小，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：∵ ，
∴对称轴为直线x＝b，开口向下，
∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∵当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴1不在对称轴左侧，
∴b≤1.
2．（2021九上·遂宁期末）抛物线 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵
∴抛物线 的顶点坐标是
3．（2021九上·邗江期末）函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），则（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2
C．y1＝y2 D．y1、y2的大小不确定
【答案】B
【解析】解：∵图象的对称轴为直线x= ，a=-1<0，
∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，
∵图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），-1<1<2，
∴y1＞y2，
4．（2021九上·长沙期末）在平面直角坐标系中，不论m取何值时，抛物线 的顶点一定在（ ）上.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：抛物线 =（x-m-1）2+m2+1，
∴抛物线的顶点（m+1，m2+1），
∴ ，
∴ ，
∴ .
5．（2021九上·怀宁期末）抛物线3 的顶点到x轴的距离为（ ）
A．-1 B．-2 C．2 D．3
【答案】C
【解析】解：将函数，变为顶点式得，
故二次函数的顶点坐标为：（﹣1，-2），
∴顶点到x的距离为：，
6．（2021九上·兴宁期末）二次函数y＝﹣x －3x＋1的图象的顶点在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【答案】C
【解析】解：，
顶点坐标为，，
顶点在第二象限，
7．（2021九上·澄海期末）已知抛物线经过A（-2，），B（-1，），C（1，）三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：抛物线，则开口向上，对称轴为，
由二次函数的性质可得离对称轴越远，函数值越大，
A（-2，），B（-1，），C（1，）到对称轴的距离分别为，
所以，
8．（2021九上·红桥期末）已知两点均在抛物线上，点是该抛物线的顶点．若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵两点均在抛物线上，点是该抛物线的顶点．
∴函数有最小值，抛物线开口向上，且点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，
∴，
解得，
9．（2021九上·大兴期末）将二次函数用配方法化为的形式，结果为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：，
10．（2021九上·河东期末）抛物线的图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】D
【解析】解： 抛物线的图象过点，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点为： 则 故②符合题意；
抛物线与轴交于正半轴，则
则
故①不符合题意；
对称轴为直线，
当时， 故③不符合题意；
当时，则
而函数与的图象有两个交点，
方程有实数根．故④符合题意；
综上：正确的是：②④
11．（2021九上·朝阳期末）已知二次函数，当时，总有，有如下几个结论：
①当时，；
②当时，c的最大值为0；
③当时，y可以取到的最大值为7．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【解析】解：①当时，
，
∴，
∵，
∴，
，即，符合题意；
②当时，
二次函数的对称轴为：，
当时，即时，
函数在处取得最小值，即
，
，
函数在处取得最大值，即
，
，
二者矛盾，
∴这种情况不存在；
当时，即时，
，
函数在处取得最小值，即
，
，
∴，
当时，即时，
，
时，；
时，，
不符合题意，舍去；
当时，即时，
，
时，；
时，，
不符合题意，舍去；
∴，
当时，即时，
函数在处取得最小值，即
，
，
函数在处取得最大值，即
，
，
二者矛盾，
∴这种情况不存在；
∴综上可得：；故②不符合题意；
③当时，，且；
当时，，且；
当时，，且；
当时，，
，，，
∴，
∴当时，y可以取到的最大值为7；③符合题意；
12．（2021九上·越秀期末）已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝﹣ax2+4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（ ）
A．若x1+x2＜4，则y1＜y2 B．若x1+x2＞4，则y1＜y2
C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2 D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2
【答案】C
【解析】解：∵抛物线y＝﹣ax2+4ax+c，
∴抛物线的对称轴为：，
当点P1（x1，y1），P2（x2，y2）恰好关于对称时，有，
∴，即，
∵x1＜x2，
∴；
∵抛物线的开口方向没有确定，则需要对a进行讨论，故排除A、B；
当时，抛物线y＝﹣ax2+4ax+c的开口向下，
此时距离越远，y值越小；
∵a（x1+x2﹣4）＞0，
∴，
∴点P2（x2，y2）距离直线较远，
∴；
当时，抛物线y＝﹣ax2+4ax+c的开口向上，
此时距离越远，y值越大；
∵a（x1+x2﹣4）＞0，
∴，
∴点P1（x1，y1）距离直线较远，
∴；故C符合题意；D不符合题意；
二、填空题
13．（2021九上·南京期末）二次函数y＝x2－2x＋2图象的顶点坐标是 .
【答案】（1，1）
【解析】解：∵
∴顶点坐标为（1，1）.
14．（2021九上·澄海期末）二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … -3 -2 -3 -6 -11 …
则该函数图象的顶点坐标为____________
【答案】（-2，-2）
【解析】∵x= 3和 1时的函数值都是 3相等，
∴二次函数的对称轴为直线x= 2，
∴顶点坐标为( 2， 2).
15．（2021九上·溧阳期末）若直线y =ax+b（ab≠0）不经过第三象限，那么抛物线y=ax2+bx顶点在第 象限.
【答案】一
【解析】解：抛物线变形得：y=ax2+bx= ，
∵直线y=ax+b（ab≠0）不经过第三象限，
∴a＜0，b＞0，
∴ ，
∴y=ax2+bx的顶点坐标为 在第一象限.
16．（2021九上·静安期末）如果抛物线的顶点在轴上，那么常数m的值是______
【答案】±4
【解析】∵，
∴二次函数顶点坐标为．
∵顶点在x轴上，
∴，
∴．
三、解答题
17．（2021九上·黄冈月考）用配方法把函数 化成 的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值.
【答案】解：∵ ，
∴开口向下，对称轴x=-1，顶点坐标（-1，13），最大值13.
18．（2021九上·淮南月考）二次函数图象过A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）三点，求此抛物线的解析式．
【答案】解：由题意得：设 ，
点C（0，﹣2）代入：
，
∴a＝1，
∴ ，
即 ．
19．（2021九上·淮南月考）把抛物线y＝ax2+bx+c先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线是y＝x2﹣3x+5，求a+b+c的值．
【答案】解： ，当 向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线 的图象，
，
．
20．（2021九上·富县月考）若点 ， ， 在抛物线 的图象上，请判断 ， ， 的大小关系，并说明理由.
【答案】解： .
理由： 抛物线 中 ，
抛物线开口向下，对称轴为直线 .
点 关于对称轴的对称点为 ，且 ，对称轴右侧的抛物线函数值随自变量增大而减小，
.
21．（2020九上·黄石期中）已知抛物线 的顶点为A，与y轴的交点为B，求过A、B两点的直线的解析式.
【答案】解：∵抛物线y=x2-2x-2=（x-1）2-3
∴抛物线顶点坐标为（1，-3），与y轴的交点坐标为（0，-2），
即A（1，-3），B（0，-2）
设所求直线的解析式为y=kx+b
则 ，
解得 ，
∴所求直线的解析式为y=-x-2.
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九年级数学上册《22.1.4二次函数y=ax +bx+c的图象与性质》
课时训练
一、单选题
1．（2021九上·余杭期末）已知二次函数 ，当 时，y随x的增大而减小，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021九上·遂宁期末）抛物线 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·邗江期末）函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），则（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2
C．y1＝y2 D．y1、y2的大小不确定
4．（2021九上·长沙期末）在平面直角坐标系中，不论m取何值时，抛物线 的顶点一定在（ ）上.
A． B． C． D．
5．（2021九上·怀宁期末）抛物线3 的顶点到x轴的距离为（ ）
A．-1 B．-2 C．2 D．3
6．（2021九上·兴宁期末）二次函数y＝﹣x －3x＋1的图象的顶点在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
7．（2021九上·澄海期末）已知抛物线经过A（-2，），B（-1，），C（1，）三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021九上·红桥期末）已知两点均在抛物线上，点是该抛物线的顶点．若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021九上·大兴期末）将二次函数用配方法化为的形式，结果为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021九上·河东期末）抛物线的图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
11．（2021九上·朝阳期末）已知二次函数，当时，总有，有如下几个结论：
①当时，；
②当时，c的最大值为0；
③当时，y可以取到的最大值为7．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
12．（2021九上·越秀期末）已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝﹣ax2+4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（ ）
A．若x1+x2＜4，则y1＜y2 B．若x1+x2＞4，则y1＜y2
C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2 D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2
二、填空题
13．（2021九上·南京期末）二次函数y＝x2－2x＋2图象的顶点坐标是 .
14．（2021九上·澄海期末）二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … -3 -2 -3 -6 -11 …
则该函数图象的顶点坐标为____________
15．（2021九上·溧阳期末）若直线y =ax+b（ab≠0）不经过第三象限，那么抛物线y=ax2+bx顶点在第 象限.
16．（2021九上·静安期末）如果抛物线的顶点在轴上，那么常数m的值是______
三、解答题
17．（2021九上·黄冈月考）用配方法把函数 化成 的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值.
18．（2021九上·淮南月考）二次函数图象过A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）三点，求此抛物线的解析式．
19．（2021九上·淮南月考）把抛物线y＝ax2+bx+c先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线是y＝x2﹣3x+5，求a+b+c的值．
20．（2021九上·富县月考）若点 ， ， 在抛物线 的图象上，请判断 ， ， 的大小关系，并说明理由.
21．（2020九上·黄石期中）已知抛物线 的顶点为A，与y轴的交点为B，求过A、B两点的直线的解析式.
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