数学人教A版（2019）必修第一册1.1集合的概念 教案（表格式）

课题名称 集合的概念
科 　目 数学 年 级 高一
授课类型 概念课
教学时间 20分钟内
教材分析 集合的概念是人教版数学教科书必修第一册第一章第一节内容，集合是现代数学的基础，也是高中数学的基础，在后续学习会不断地运用有关知识。因此本节课在整个高中数学课程中起着基础铺垫作用。 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》明确了集合是初高中数学知识的过渡，是高中数学学习的预备知识。应当借助实例了解集合的含义，理解集合与元素之间的关系，用适当的方式表示集合。这充分说明了集合在高中数学课程中的基础作用。 集合的学习即是初中数学的延申，也是高中数学的过渡，更是初高中数学学习方法、学习心理的铺垫准备。
学情分析 集合是高中生进入高中后遇到的第一个数学概念。集合的概念又十分抽象，单单对于概念进行学习往往难以把握，这需要结合一定的实例，既包括生活实例、也包括数学实例，来帮助学生理解抽象的集合的含义。 因此学生步入高中前拥有的所有生活经验、数学经验是学习本节课程的基础。 此外高中数学学习会遇到大量新的数学符号、新的数学表达，包括在学习方式上也会与以往的学习有所不同，本节课应初步引导学生体会数学符号的简洁性。
教学目标 知识与技能目标：能够判断是否为一个集合；能辨析并表示集合与元素之间的属于关系；面对具体问题，能用自然语言、列举法、描述法表示集合。 过程与方法目标：在领悟集合的含义与表示的过程中体会确定研究对象和研究范围的重要性。 情感态度与价值观目标：能将数学与现实世界联系起来，感受数学对现实世界的抽象，逐渐用数学的眼光观察世界。
教学重点 集合的概念；集合的两种表示方法
教学难点 数学符号语言的恰当使用
教学方法 讲授法、讨论法
教学准备 PPT
教学过程 设计意图
情境问题 师：在步入高中数学数学学习前，先来看一个哥尼斯堡七桥问题，相信有的同学此前就听说过。哥尼斯堡是一座美丽的小镇，现位于俄罗斯，小镇中心被一条河流穿过，河流中间有两个独立的小岛，小岛与河岸连接着七座桥。哥尼斯堡的市民们每晚都来桥上散步，长期散步的人们试图干这样一件事：怎么散步才能不重复的走过每一座桥？好多人尝试后都失败了。于是市民们就去请教当时最知名的数学家——欧拉。欧拉想了想说，你把两个岛、两个河岸想象成四个点，七座桥想象成七条线。于是问题就变成里一笔画问题。 师：同学们可以动手尝试一下，能否一笔画完，通过尝试我们知道不可能一笔画完，原因是什么呢？欧拉解释道：奇点与偶点的个数。奇点指连接点的线有奇数条，比如点A有5条线连接，是一个奇点，同样，点B,C,D均为奇点。欧拉说：“根据对偶的原则，奇点是偶数个时不可能一笔画完” 师：这个问题解决后，市民们满意了，但欧拉还不满意，他认为这个问题一定不是偶然的，肯定有他的必然性。于是欧拉不再只关注哥尼斯堡这个问题，而又去研究定义了什么是点构成的集合、什么是线构成的集合，从而把一个实际问题进一步推广，形成今天的图论这一学科。 师：从欧拉这个故事中我们能学到两件事。第一，数学家的胸怀，他能把如此庞大的陆地缩小抽象成一个小小的点；第二，明确研究对象。现实中那么复杂的一张图，而研究对象只有这四个点、七条线，其他的东西和本问题无关；再比如，欧拉定义的奇点，偶点，对于一个点要么是奇点、要么是偶点，不会有模棱两可的，这对于集合的学习太重要了：明确研究对象。 概念引入 师：在了解了哥尼斯堡七桥问题后，我们开始集合的学习。请同学们思考下面两个问题： 1.方程x^2=2是否有解？ 2.所有到定点的距离等于定长的点组成何种图形？ 师：同学们可以以小组为单位讨论，最后派出一个代表来发言。 师：通过同学们的讨论，大家发现，对于问题1，在有理数范围内，方程无解；而在实数范围内，方程有两个实数解；对于问题2，在平面内图形是圆；在空间内，图形是球。 师：我们知道，确定研究范围和研究对象是极其重要的，而集合就是指一类明确了研究范围和研究对象的全体。比如举几个例子： （1）1~10之间所有的偶数； （2）某中学今年入学的全体高一学生； （3）地球上的四大洋； （4）不等式x 7<3的解集； （5）较小的数。 师：在（1）中，1~10中的每一个偶数：2、4、6、8、10都是研究对象，这几个数构成一个集合。 在（2）中，该中学今年入学的每一位高一学生都是研究对象，他们构成的全体是一个集合。那么究竟什么是集合，集合的定义，不同的书上有不同的表达方式。在我们的教材上，给出了一个描述性定义： 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 师：换句话说，集合包括一系列的研究对象，每一个研究对象称之为元素。比如，教室里的学生构成一个集合，那么每一个学生就是这个集合里的一个元素。这个概念不太好把握，所以我们从集合中元素的三个特性来深入理解。 师：根据这三个特性，请同学们判断上面（3）（4）（5）是否为集合。 概念理解 师：会辨析什么是集合之后，我们来看看元素和集合的关系。 我们通常用大写拉丁字母A, B, C, …表示集合，用小写拉丁字母a, b, c, …表示集合中的元素． 如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）集合A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）集合A，记作a A． 师：∈， 这是我们在高中学习中见到的第一个陌生符号，同学们要熟悉它的表达和书写方式。类似于之前用过的＝与≠。 以（1）为例，若用A表示1~10之间所有的偶数构成的集合。那么3，4分别与集合A有何种关系呢？如何用数学语言表述呢？ 师：很容易知道，元素4属于集合A，即4∈A，；元素3不属于集合A，3 A。 师：在用大写字母表示集合时，由于有一些集合使用的频率很多，比如：自然数集、整数集、有理数集、实数集等等，那么这些集合会有专门的大写字母来表示。全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N； 全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+； 全体整数组成的集合称为整数集，记作Z； 全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q； 全体实数组成的集合称为实数集，记作R 师：到此为止，我们学会了什么是集合，集合与元素的关系，在刚刚的所有集合，我们都是用自然语言表示的，比如，1~10之间所有的偶数构成的集合；地球上的四大洋……都是自然语言，而不是数学语言。除了自然语言外，如何用数学语言描述集合？ 问题：1.方程x^2=2在实数范围内的根 2.地球上的四大洋 师：对于1.该方程在实数范围内的根是√2与 √2，于是我们将两个数用逗号隔开，放于大括号中，{√2， √2}来表示这个集合。再如2.用同样的方式来表示地球上的四大洋{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋} 向上面这样，将集合中的元素一一列举出来，元素与元素之间用用逗号隔开，放于大括号中，这样的方式表示集合称之为——列举法 练一练 用列举法表示下列集合： 1.小于10的所有自然数组成的集合 2.方程x^2=x的所有所有实数根组成的集合 问题.若集合A表示“在平面内所有到定点的距离等于定长的点组成的集合。” 集合B表示“不等式x 7<3的解集” 师：你能用列举法表示集合A与集合B吗？ 当集合中元素有无数个时，如何表示这个集合？ 师：以“不等式x 7<3的解集”为例 其研究对象是x,研究范围是x<10，于是我们同样写一个大括号，括号中前面指明研究对象，后面指明研究范围，中间用竖线隔开。{x∈R|x<10} 练一练：用描述法表示方程x^2=2的实数根的集合 概念应用 问题.用适当的方法表示下列集合 （1）由方程x^2 9=0的所有实数根组成的集合 （2）不等式4x 5<3的解集 课堂小结 【设计意图】以哥尼斯堡七桥问题作为引入，调动学生学习新知识的兴趣。同时，哥尼斯堡七桥问题作为数学发展史中一个典型的问题，学生有必要进行了解。此外，在该问题中，欧拉用数学的观点去看待实际问题，把庞大的陆地抽象成一个点，把桥抽象成线，并用数学方法加以解决，且又进一步深入研究，可以让学生知道如何用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界。 【设计意图】这是两个学生在初中阶段就遇到过的问题，经过讨论，同学们能够发现在不同的情况，会有不同的答案。 【设计意图】通过几个简单、易理解的例子引出集合的概念。 【设计意图】通过集合中元素的三个特性理解集合的含义，辨析集合 【设计意图】厘清集合与元素间的属于关系。 【设计意图】用几个简单的例子引出集合的列举法描述方式。 【设计意图】用两个无限集为例，学生知道列举法无法表示无限集的全部元素，进而引出集合的描述法表示。 【设计意图】选择恰当的方法表示集合，熟悉集合的描述方式。