1.3.2空间向量运算的坐标表示
学习目标：
1.类比平面向量的坐标运算学习空间向量的坐标运算；
2.在立体图形中里用坐标运算解决一些实际问题.
学科素养：
1.在立体图形中里用坐标运算解决一些实际问题，发展数学运算素养；
2.用坐标运算解决传统几何中的求线线夹角问题，发展数学抽象素养.
学习重点与难点：
在立体图形中里用坐标运算解决一些实际问题.
学习过程：
一、基本知识点
1、空间向量的坐标运算
空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b a＋b＝
减法 a－b a－b＝
数乘 λa λa＝
数量积 a·b a·b＝
2、空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
名称 满足条件
向量表示形式 坐标表示形式
a∥b a＝λb(λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a⊥b a·b＝0 a·b＝ =0
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos〈a，b〉＝ cos〈a，b〉＝
思考：已知点A(x，y，z)，则点A到原点的距离是多少？
3、空间两点间的距离公式
P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则= .
二、经典例题
【例】棱长为的正方体中，分别是的中点．
求证：；
求异面直线与所成角的余弦值；
求的长．
每个小题的解题流程梳理：
三、对点练习
1.如图，在正方体中，，分别是，的中点求证．
2.在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值．
练习失误处反馈：
四、课堂小结：
五、课后作业题
1.如图所示，已知在长方体中，，．
Ⅰ求线段的长；
Ⅱ求异面直线所成角的余弦值
2.如图所示，，，两两互相垂直，四边形为矩形，，分别为，的中点求证：．
3.正方体的棱长为，，分别在线段与上，求的最小值．1.3.2空间向量运算的坐标表示
学习目标：
1.类比平面向量的坐标运算学习空间向量的坐标运算；
2.在立体图形中里用坐标运算解决一些实际问题.
学科素养：
1.在立体图形中里用坐标运算解决一些实际问题，发展数学运算素养；
2.用坐标运算解决传统几何中的求线线夹角问题，发展数学抽象素养.
学习重点与难点：
在立体图形中里用坐标运算解决一些实际问题.
学习过程：
一、基本知识点
1、空间向量的坐标运算
空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b a＋b＝
减法 a－b a－b＝
数乘 λa λa＝
数量积 a·b a·b＝
2、空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
名称 满足条件
向量表示形式 坐标表示形式
a∥b a＝λb(λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
a⊥b a·b＝0 a·b＝ =0
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos〈a，b〉＝ cos〈a，b〉＝
思考：已知点A(x，y，z)，则点A到原点的距离是多少？
3、空间两点间的距离公式
P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则= .
二、经典例题
【例】棱长为的正方体中，分别是的中点．
求证：；
求异面直线与所成角的余弦值；
求的长．
证明：建立如图所示的空间直角坐标系.
，，，，．
，，，．
，
，即．
解：，
，，．
异面直线所成角的范围是，异面直线与所成角的余弦值为．
解：．
每个小题的解题流程梳理：
三、对点练习
1.如图，在正方体中，，分别是，的中点求证．
证明：不妨设正方体的棱长为，建立如图所示的空间直角坐标系.
，，，.
．
，，即．
2.在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值．
解析：如图建立空间直角坐标系C xyz.
(1)B(0，1，0)，N(1，0，1)，
∴||＝ ＝，∴线段BN的长为.
(2)A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，
∴＝(1，－1，2), ＝(0，1，2)，∴BA1·CB1＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
||＝，||＝，∴cos 〈，〉＝＝.
A1B与B1C所成角的余弦值为.
练习失误处反馈：
四、课堂小结：
五、课后作业题
1.如图所示，已知在长方体中，，．
Ⅰ求线段的长；
Ⅱ求异面直线所成角的余弦值
解：以为原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.
，，，，.
；
.
，异面直线所成角的余弦值为．
2.如图所示，，，两两互相垂直，四边形为矩形，，分别为，的中点求证：．
证明:如图建立空间直角坐标系，连接.
，设，，，.
，，.
，，，．
3.正方体的棱长为，，分别在线段与上，求的最小值．
解：如图所示建系，设，.
，即，
，即
，当且仅当时，取最小值．
