1.1.2 空间向量的数量积运算 班级：_______ 姓名：________
教学目标
1.掌握空间向量的夹角、模的概念及表示方法.
2.掌握空间向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律.
3.能运用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、距离或长度等一些简单问题.
二、教学重难点
1. 重点：空间向量数量积的计算及其应用.
2. 难点：运用空间向量的数量积解决立体几何中的问题.
三、探索新知
探究一： 空间向量的夹角
如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作，，则叫做向量a，b的夹角，记作.
如果，那么向量a，b互相垂直，记作.
探究二：空间向量的数量积
已知两个非零向量a，b，则叫做a，b的数量积，记作.即. 特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
由向量的数量积定义，可以得到：；.
探究三：向量的投影
如图（1），在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，，向量c称为向量a在向量b上的投影向量. 类似地，可以将向量a向直线l投影，如图（2），
如图（3），向量a向平面投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量a在平面上的投影向量，这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面所成的角.
探究四：空间向量数量积的运算律
，；
（交换律）；
（分配律）.
【易错题型】
1.（多选）在正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
2.（多选）下列说法不正确的是（ ）
A．设是三个空间向量，若且，则
B．设是三个空间向量，若，且，则
C．设是两个空间向量，则
D．设是三个空间向量，则
已知均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于__________
已知平面向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量是________
【典型例题】
例1 数量积的计算
(1)已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于( )
A．12 B．8＋ C．4 D．13
(2)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
例2 用数量积求角度
如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是______．
例3 用数量积证明垂直问题
如图所示，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，
且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.求证：BD⊥平面ADC.
例4 用数量积求长度
如图，已知中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝6，则PC的长为__________．
【练习巩固】
一．单选题
已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b等于( )
A．－2 B．－1 C．±1 D．2
已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于( )
A． B．97 C． D．61
已知是异面直线,且分别为直线上的单位向量,且,则实数的值为( )
A. B.6 C.3 D.
已知是夹角为60°的两个单位向量,则与的夹角是( )
A.60° B.120° C.30° D.90°
已知空间向量,则( )
A. B. C. D.
如图,空间四边形的每条边和对角线长都等于1,点分别是的中点,则( )
A. B. C. D.
二．多选题
设a，b，c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题中正确的有( )
A．(a·b)c－(c·a)b＝0 B．|a|＝
C．a2b＝b2a D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
设为空间中的任意两个非零向量,其中正确的为( )
B. C. D..
三．填空题
已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为_________.
已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，＝135°，m⊥n，则λ＝________．
四．解答题
如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为.
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．1.1.2 空间向量的数量积运算 班级：_______ 姓名：________
【易错题型】
1.（多选）在正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】AD
2.（多选）下列说法不正确的是（ ）
A．设是三个空间向量，若且，则
B．设是三个空间向量，若，且，则
C．设是两个空间向量，则
D．设是三个空间向量，则
【答案】ABD
已知均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于__________
【答案】
4. 已知平面向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量是________
【答案】
【典型例题】
例1 数量积的计算
(1)已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于( )
A．12 B．8＋ C．4 D．13
(2)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】 (1) D 解析：(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|·cos 120°＝2×4－2×5×＝13.
A解析：由题意知p·q＝0，p2＝q2＝1，所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2－2q2＋p·q＝1.
例2 用数量积求角度
如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是______．
【答案】90°
解析：不妨设棱长为2，则＝－，＝＋，
cos〈，〉＝＝＝0。
例3 用数量积证明垂直问题
如图所示，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.求证：BD⊥平面ADC.
【答案】：不妨设AD＝BD＝CD＝1，则AB＝AC＝.
·＝(－)·＝·－·，
由于·＝·(＋)＝·＝1，·＝||·||cos 60°
＝××＝1.∴·＝0，即BD⊥AC，又已知BD⊥AD，AD∩AC＝A，
∴BD⊥平面ADC.
例4 用数量积求长度
如图，已知中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝6，则PC的长为__________．
【答案】 7
解析：∵＝＋＋，
∴||2＝·＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos 120°＝61－12＝49．∴PC＝7．
【练习巩固】
一．单选题
已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b等于( )
A．－2 B．－1 C．±1 D．2
【答案】A 解析：a·b＝(2i－j＋k)·(i＋j－3k)＝2i2－j2－3k2＝－2.
已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于( )
A． B．97 C． D．61
【答案】C 解析：|2a－3b|2＝4a2－12a·b＋9b2 ＝4×22－12×2×3×cos 60°＋9×32＝61，∴|2a－3b|＝.
已知是异面直线,且分别为直线上的单位向量,且,则实数的值为( )
A. B.6 C.3 D.
【答案】答案：B
解析：由得.故选B.
已知是夹角为60°的两个单位向量,则与的夹角是( )
A.60° B.120° C.30° D.90°
【答案】答案：B
解析：,
,
.
.
已知空间向量,则( )
A. B. C. D.
【答案】答案：D
解析：,.
如图,空间四边形的每条边和对角线长都等于1,点分别是的中点,则( )
A. B. C. D.
【答案】答案：B
解析：由题意得,所以.故选B.
二．多选题
设a，b，c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题中正确的有( )
A．(a·b)c－(c·a)b＝0 B．|a|＝
C．a2b＝b2a D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
【答案】答案：BD
设为空间中的任意两个非零向量,其中正确的为( )
A. B. C. D..
【答案】AD
三．填空题
已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为_________.
【答案】60° 解析：(a＋2b)·(a－b)＝－6，则a2＋a·b－2b2＝－6，即12＋a·b－2×22＝－6，a·b＝1，所以＝＝，所以＝60°.
已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，＝135°，m⊥n，则λ＝________．
【答案】－解析： 由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，∴a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，
∴18＋(λ＋1)×3×4cos 135°＋16λ＝0，即4λ＋6＝0，∴λ＝－.
四．解答题
如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为.
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
【答案】(1)证明 ＝＋，＝＋.
∵BB1⊥平面ABC，∴·＝0，·＝0.
又△ABC为正三角形，∴〈·〉＝π－〈·〉＝π－＝.
∵·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋2＋·
＝||·||·cos〈，〉＋2＝－1＋1＝0，
∴AB1⊥BC1.
(2)解 结合(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1.又||＝||.
∴cos〈，〉＝＝，
∴||＝2，即侧棱长为2
