1.1.2空间向量的数量积运算-2022-2023学年高二数学同步精讲课件（27页）（人教A版2019选择性必修第一册）

(共27张PPT)
1.1.2 空间向量的数量积运算
复习引入
由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义.
如图，已知两个非零向量在空间任取一点，作则叫做向量的夹角，记作.
通常规定，.这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且.
新知探索
如果，那么向量互相垂直，记作.
已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作.
即.
特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
向量的数量积定义，可以得到：
.
新知探索
思考1：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影.类似地，在空间，向量向向量的投影有什么意义？向量向直线的投影呢？向量向平面β的投影呢？
如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量.类似地，可以将向量向直线投影（图(2)).
新知探索
如图(3)，在空间，向量向平面β投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量.这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面β所成的角.
空间向量的数量积满足如下的运算律：
(交换律)；
(分配律).
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思考2：
1.对于三个均不为0的数，若，则.对于向量，由，你能得到吗？如果不能，请举出反例.
不能.例如，如下图，向量与向量，都垂直，因此，而显然，不相等.
新知探索
思考2：
2.对于三个均不为0的数，若，则(或).对于向量，由，能不能写成的形式？(不能，向量没有除法)
3.对于三个均不为0的数，有对于向量，成立吗？为什么？
不成立.向量的数量积不满足结合律.例如，任意取三个不共面的向量，是一个数与向量作数乘，是一个数与向量作数乘，而不在同一个方向上，所以与不可能相等.
新知探索
辨析1.判断正误.
(1)向量与的夹角等于与的夹角.（ ）
(2)若，则或.（ ）
(3)对于非零向量，，与相等.（ ）
(4)若，且，则.（ ）
(5)若均为非零向量，则是与共线的充要条件.
答案：×，×，×，×，×.
例析
例2.如图，在平行六面体中，
求：
(1)；(2)的长(精确到0.1).
解:(1)令
(2)
所以
例析
由于空间向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，空间图形的许多性质可以由向量的线性运算及数量积运算表示出来，因此，立体几何中的许多问题可以用向量运算的方法加以解决.
例析
例3.如图，是平面内的两条相交直线.如果，，求证：.
证明:在平面内作任意一条直线，分别在直线上取非零向量.
因为直线与相交，所以向量不平行.由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序数对，使.
将上式两边分别与向量作数量积运算，得
因为，(为什么？)，所以.所以.
这就证明了直线垂直于平面内的任意一条直线，所以.
练习
题型一：空间向量数量积的运算
例1.如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于，点分别是的中点，求下列向量的数量积.
(1)(2)(3)(4)
解：设
依题意得
(1)
(2)
练习
例1.如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于，点分别是的中点，求下列向量的数量积.
(1)(2)(3)(4)
解：设
依题意得
(3)
(4)
练习
方法技巧：
求空间向量数量积的步骤
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；
(3)代入求解.
练习
变1.已知和是相互垂直的单位向量，则（ ）.
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：A.
解：∵且
∴
练习
题型二：利用数量积求夹角
例2.如图，在空间四边形中，求与所成角的余弦值.
解：∵
∴
所以
即所成角的余弦值为
练习
方法技巧：
利用数量积求夹角或其余弦值的步骤
(1)取向量：根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；
(2)角转化：把异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；
(3)求余弦值：利用数量积求余弦值或角的大小；
(4)定结果：异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量的夹角求余弦值应将余弦值加上绝对值，继而求角的大小.
【注】求两向量夹角，必须关注两向量的方向，应用向量夹角的定义确定夹角是锐角、直角还是钝角.
练习
变2.如图，平面，且是的等腰直角三角形，平行四边形，平行四边形的对角线都分别相互垂直且相等，若，求异面直线与所成的角.
解：∵
∴
∵
∴即
又∴又∴
即异面直线与所成的角为60.
练习
题型三：利用向量数量积判断或证明垂直问题
例3.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，底面.求证：
证明：由底面为平行四边形
知则
由底面，知则
又
∴
即.
练习
方法技巧：
利用向量数量积判断或证明线线、线面垂直的思路
(1)由数量积的性质可知，要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可.
(2)用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可.
练习
变3.如图，在正方体中，分别是棱，，的中点.求证：平面.
证明：设正方体的棱长为
∵
所以同理可证
又平面平面，
所以平面
2
练习
题型四：利用向量数量积求两点间距离
例4.在正四面体中，棱长为，分别是棱上的点，且，求
解：∵
∴
故即
练习
方法技巧：
求两点间的距离或线段长度的方法
(1)将此线段用向量表示；
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
(3)利用，通过计算求出，即得所求距离.
练习
变4.如图所示，在平行四边形中，平面求线段的长.
解：∵
∴
∴，即.
2
课堂小结
1.空间向量的夹角：
(1)定义：已知两个非零向量在空间任取一点，作
则叫做向量的夹角，记作.
(2)范围：通常规定，.这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且.
2.空间向量的数量积：
(1) 已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作.即.
(2) .
课堂小结
3.空间向量数量积的运算律：
(1)
(2) (交换律)；
(3) (分配律).
【注】(1)两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零；(2)向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即都不成立.
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P8——P9的练习1、2、3题；
(3)课本P9——P10的练习4、5、7、9题.