23.2中心对称 同步练习（含答案）

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23.2中心对称人教版初中数学九年级上册同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
如图，点为矩形的对称中心，点从点出发沿向点运动，移动到点停止，延长交于点，则四边形形状不可能是( )
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 正方形 D. 矩形
下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
雪花、风车展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质．请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为( )
A. 扇形 B. 平行四边形 C. 等边三角形 D. 矩形
如图，在中，顶点，，，将与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
下列正多边形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正七边形
已知四边形中，对角线与相交于点，添加某个条件使四边形既是中心对称图形又是轴对称图形，则符合的条件是( )
A. ， B.
C. D.
在下列这些汽车标识中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点称为极点；从点出发引一条射线称为极轴；线段的长度称为极径．点的极坐标就可以用线段的长度以及从转动到的角度规定逆时针方向转动角度为正来确定，即或或等，则点关于点成中心对称的点的极坐标表示不正确的是( )
A. B. C. D.
如图，把图中的经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为
A. B. C. D.
如图，将绕的中点顺时针旋转，嘉琪发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：
点，分别转到了点，处，
而点转到了点处，
，
四边形是平行四边形．
小明为保证嘉琪的推理更严谨，想在方框中“，”和“四边形”之间作补充．下列正确的是( )
A. 嘉琪推理严谨，不必补充 B. 应补充：且
C. 应补充：且 D. 应补充：且
如图，点是矩形的对称中心，点在边上，连接若点与点关于对称，则：为( )
A. B. C. D.
如图，已知与关于点对称，过点任作直线分别交、于点、，下列结论：
点和点；点和点是关于点的对称点；
直线必经过点；
四边形是中心对称图形；
四边形和四边形的面积相等；
和成中心对称．
其中，正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，在中，，，，以为一边作正方形设正方形的对称中心为，连接，则___．
如图所示：
是轴对称图形的是 ，它们的对称轴分别有 条
通过旋转能完全重合的图形是 ，它们分别至少旋转 才能与原图形重合
是中心对称图形的是 ．
如图，点在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，、分别是两个正方形的对称中心，连接若，，则______．
在一次数学社团活动上，小明设计了一个社团标识，如图所示，正方形与折线构成了中心对称图形，且，，比长，那么的长是______．
三、解答题（本大题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
如图，正方形与正方形关于某点成中心对称，已知，，三点的坐标分别是，，．
求对称中心的坐标
写出顶点，，，的坐标．
本小题分
如图，是的边上的中线．
画出以点为对称中心且与成中心对称的三角形
若，，求的长的取值范围．
本小题分
如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
在图中画出平行四边形，为格点；
在边上画一点，使得；
找到格点，画出直线，使得平分平行四边形的面积．
本小题分
如图，三角形是由三角形经过某种变换得到的，点与点，点与点，点与点分别是对应点，观察点与点坐标之间的关系，解答下面的问题：
写出点与点，点与点，点与点的坐标，并说明这些对应点的坐标有何特征
若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求，的值．
本小题分
如图，在四边形中，，是上一点，点与点关于点中心对称，连接并延长，与延长线交于点．
填空：是线段的______，点与点关于点______成中心对称，若，则是______三角形．
四边形的面积为，求的面积．
本小题分
仅用无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹，不需要写作法．
如图，四边形为平行四边形，过点作一条直线平分平行四边形的面积；
如图，已知，，点在边上，四边形是矩形，请你在图中画出的平分线；
如图，四边形为菱形，为的中点，画出的中点．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：如图，连接，则过点，
四边形是矩形，
，
，，，
≌，
，
又，
四边形一定是平行四边形，
在点移动的过程中，移动存在的时候，此时四边形是菱形，
当点移动到点时，四边形即变为四边形，此时是矩形，
在移动的过程中，不存在且的情况，因此不可能是正方形，
故选：．
根据矩形的性质，借助与全等三角形可得四边形一定是平行四边形，再根据这个平行四边形的对角线的位置和数量关系判断可能是菱形、矩形，但不可能是正方形．
本题考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及菱形、正方形的判定，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定和性质是正确判断的前提．
2.【答案】
【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
3.【答案】
【解析】解：扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.矩形是轴对称图形，不一定是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了旋转中的坐标变化、坐标与图形性质、图形规律问题等，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标，常见的是旋转特殊角度如：，，，，．
先求出，再利用正方形的性质确定，由于，所以第次旋转结束时，相当于与正方形组成的图形绕点顺时针旋转次，每次旋转，此时旋转前后的点关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可求出旋转后的点的坐标．
【解答】
解：，，
，
四边形为正方形，
，
，
，
每次一个循环，第次旋转结束时，相当于与正方形组成的图形绕点顺时针旋转次，每次旋转，
点的坐标为．
故选D．

5.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】
解：正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；
B.正方形是轴对称图形，是中心对称图形，故B正确；
C.正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D.正七边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．
故选B．

6.【答案】
【解析】解：四边形既是中心对称图形又是轴对称图形，
四边形是矩形，
A.，，四边形是平行四边形，不符合题意；
B.由无法得到四边形是矩形，不符合题意；
C.由无法得到四边形是矩形，不符合题意；
D.，四边形是矩形，符合题意．
故选：．
既是中心对称图形又是轴对称图形的四边形是矩形，根据矩形的判定方法：对角线互相平分且相等的四边形是矩形即可求解．
此题主要考查了矩形的判定方法，中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键．
7.【答案】
【解析】解：根据中心对称图形的定义可知，选项B是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的定义判断即可．
本题考查中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
8.【答案】
【解析】解：或或，
由点关于点成中心对称的点可得：点的极坐标为，，，
故选：．
根据中心对称的性质解答即可．
此题考查中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了中心对称图形以及坐标与图形变化旋转熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据两三角形的对应点确定出对称中心，然后求解即可．
【解答】
解：由图可知，与关于点成中心对称，
设点的坐标为，
所以，，
解得，，
所以，．
故选D．
10.【答案】
【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
故应补充“”，
故选：．
根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可．
本题考查平行四边形的判定，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】
【解析】解：连接，，，
四边形是矩形，
，，，
点与点关于对称，
，，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
即：，
故选：．
连接，利用对称得出，进而利用全等三角形的判定和性质得出，进而解答即可．
此题考查中心对称，关键是利用对称得出解答．
12.【答案】
【解析】解：与关于点对称，则、，所以四边形是平行四边形，
因此点就是 的对称中心，则有：
点和点；和是关于中心的对称点，正确；
直线必经过点，正确；
四边形是中心对称图形，正确；
四边形与四边形的面积必相等，正确；
与成中心对称，正确；
其中正确的个数为个，
故选：．
由于与关于点对称，那么可得到、，即四边形是平行四边形，由于平行四边形是中心对称图形，且对称中心是对角线交点，可根据上述特点对各结论进行判断．
本题主要考查了中心对称的性质以及平行四边形的性质的运用，熟练掌握平行四边形的性质及中心对称图形的性质是解决此题的关键．解题时注意：关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
13.【答案】
【解析】解：如图，连接，，，过作，交的延长线于，
是正方形的对称中心，
，，
，
，
，
四边形中，，
又，
，
≌，
，，
，，
，
故答案为：．
连接，，，过作，交的延长线于，判定≌，即可得出，，进而得到，，根据进行计算即可．
此题考查正方形的性质，本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算．
14.【答案】
，，，
，，，

【解析】略
15.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，于．
由题意在中，，，
，
故答案为
如图，过点作于，于，利用勾股定理即可解决问题．
本题考查中心对称，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
16.【答案】
【解析】解：连结，与交于点，
正方形与折线构成了中心对称图形，
，，
，
，
，
设，则，，
在中，，
解得或舍去．
则．
故答案为：．
连结，与交于点，根据中心对称图形得到，，根据勾股定理得到，设，则，再在中，根据勾股定理得到方程，解方程即可求解．
此题考查了中心对称图形，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，根据勾股定理得到方程，注意方程思想的应用．
17.【答案】解：根据中心对称的定义，可得对称中心是的中点，
点，的坐标分别是，，
对称中心的坐标是．
点，的坐标分别是，，
正方形与正方形的边长都是．
点，的坐标分别是，，
，点的坐标是，
点的坐标是．
点，的坐标分别是，．
综上，可得顶点，，，的坐标分别是，，，．

【解析】见答案
18.【答案】解：如图，延长至点，使，连接，即为所求
根据中心对称的性质可知 ，
．
．
，
．
．

【解析】略
19.【答案】解：如图，四边形即为所求；
如图，点即为所求；
如图，直线即为所求．

【解析】根据平行四边形的定义画出图形即可；
取格点，连接交于点，构造等腰直角三角形解决问题即可；
连接交于点，作直线即可．
本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，中心对称等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】解：它们的坐标分别是，，，，，，
这些对应点横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．
依题意得

【解析】见答案
21.【答案】中点 等腰
【解析】解：点与点关于点中心对称，
是线段的中点，，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
点与点关于点成中心对称，
，
，
则是等腰三角形．
故答案为：中点，，等腰；
≌，
与面积相等，
的面积等于四边形的面积，
四边形的面积为，
的面积为．
利用中心对称的定义回答即可，然后证得，利用等腰三角形的性质判定等腰三角形即可；
得到三角形的面积等于三角形的面积，从而得到答案．
本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，解题的关键是了解中心对称的定义，利用中心对称的定义判定两点关于某点成中心对称．
22.【答案】解：如图，直线即为所求；
如图，射线即为所求；
如图，点即为所求；

【解析】连接，交于点，过点，作直线，交于，同直线平分 的面积；
连接，交于点，作射线，则平分；
连接交于，延长，交于点，交于，则是的中点．
本题是仅用无刻度直尺完成的作图题，考查了平行四边形，矩形，菱形的性质，等腰三角形的三线合一的性质等知识，牢记过平行四边形的对角线交点的直线平分三角形的面积是解本题的关键．
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