23.1图形的旋转 同步练习（含答案）

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23.1图形的旋转人教版初中数学九年级上册同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
有两个直角三角形纸板，一个含角，另一个含角，如图所示叠放，先将含角的纸板固定不动，再将含角的纸板绕顶点顺时针旋转，使，如图所示，则旋转角的度数为( )
A. B. C. D.
在平面直角坐标系中，点的坐标为，以原点为中心，将点顺时针旋转得到点，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
如图，中，，将绕点逆时针方向旋转得到此时恰好点在上，交于点，则与的面积之比为( )
A. B. C. D.
如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心是( )
A. 点
B. 点
C. 点
D. 点
如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点若，，则的长为( )
A. B.
C. D.
如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，下列结论一定正确的是( )
A.
B.
C.
D.
如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：，，，，正确的有( )
A. B. C. D.
如图，平行四边形中，，，是边的中点，将平行四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，则旋转次后点的对应点坐标为( )
A.
B.
C.
D.
如图，是等边三角形内的一点，且，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则以下结论中不正确是( )
A.
B.
C.
D.
图的摩天轮上以等间隔的方式设置个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为号到号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费分钟．若图表示号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟后，号车厢才会运行到最高点？( )
A. B. C. D.
如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接下列结论：；；平分；，其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
如图，在平面直角坐标系中，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移个单位长度，得到线段，则点的对应点的坐标是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，点是等边三角形内的一点，连接、将绕点逆时针旋转到的位置，则的度数是 ．
如图，已知正方形的边长为，为边上一点，以点为中心，把顺时针旋转得，连接，则的长为 ．
如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为______ ．
如图，在平面直角坐标系中，点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
如图，等腰直角三角形的直角顶点为正方形的中心，点，分别在和上，现将绕点逆时针旋转角，连接，如图．
在图中，______；用含的式子表示
在图中猜想与的数量关系，并证明你的结论．
如图，已知正方形的边长为，，分别是，边上的点，且，将绕点逆时针旋转得到．
求证：
当时，求的长．
如图，在中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点．
指出旋转中心，并求出旋转的度数
求出的度数和的长．
如图，，都是等边三角形．与有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？
如图，中，，，是由绕点按顺时针方向旋转得到的，连接、相交于点．
求证：；
当四边形为菱形时，求的长．
如图在一平面内，从左到右，点、、、、均在同一直线上．线段，线段，分别是、的中点．如图，固定点以及线段，让线段绕点顺时针旋转连接、、、．
求证：四边形为平行四边形；
当时，求四边形的周长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
由平行线的性质可得，由外角的性质可求的度数．
【解答】
解：如图，设与交于点，
，
，
，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：如图，作轴于，轴于．
，
，
，
≌，
，，
．
故选：．
如图，作轴于，轴于利用全等三角形的性质解决问题即可．
本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
3.【答案】
【解析】解：，，
，
将绕点逆时针方向旋转得到，
，，
是等边三角形，
，
，
，
设，则，，
，
，
与的面积之比为．
故选：．
由旋转的性质得出，，则是等边三角形，，得出，设，则，，求出，可求出答案．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查旋转的性质，掌握旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上是关键．
根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，交点即为旋转中心．
【解答】
解：连接，，分别作出，的垂直平分线，如图所示：
，的垂直平分线的交点为，所以旋转中心是点．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
连接，根据垂直平分，即可得出，设，则，，再根据中，，即可得到的长．
【解答】
解：如图所示，连接，
由旋转可得，≌，
，，
又，
为的中点，
垂直平分，
，
设，则，，
，
，
中，，即，
解得，
的长为，
故选B．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据旋转的性质得到，，，故A错误，C错误；得到，根据三角形的内角和得到，，求得，故D正确；由于不一定等于，于是得到不一定等于，故B错误．
【解答】
解：将绕点顺时针旋转得到，
，，，故A错误，C错误；
，
，，
，故D正确；
不一定等于，
不一定等于，故B错误．
故选D．
7.【答案】
【解析】解：绕点逆时针旋转得到，
故正确；
绕点逆时针旋转，
．
，
．
，
．
故正确；
在中，
，，
．
．
与不垂直．故不正确；
在中，
，，
．
故正确．
这三个结论正确．
故选：．
根据旋转的性质可得，，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对四个结论进行判断即可．
本题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小．
8.【答案】
【解析】解：过点作轴于点，过点作轴于点，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，，，
，
在中，，
点是的中点，
，
，，
点坐标为，
将平行四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，
当旋转次时，点位置与原位置关于原点成中心对称，当旋转次时，点位置与原位置重合，
，
当旋转次时，点位置与原位置关于原点成中心对称，
当旋转次时，坐标为．
故选：．
过点作轴于点，过点作轴于点，结合平行四边形的性质及直角三角形的性质可求解，，确定点坐标为，根据旋转方式可得当旋转次时，点位置与原位置关于原点成中心对称，当旋转次时，点位置与原位置重合，由可得当旋转次时，点位置与原位置关于原点成中心对称，进而可求解．
本题主要考查旋转的性质，平行四边形的性质，找规律，点的坐标的确定，求解旋转后的点坐标规律是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：是等边三角形，
，
将绕点顺时针旋转到位置，
≌，
，，，，
，
是等边三角形，的面积，故A正确，D错误；
，
，，
，
，即是直角三角形，的面积，故C正确，
是等边三角形，
，
，故B正确．
故选：．
根据等边三角形性质以及勾股定理的逆定理，即可判断、；依据是等边三角形，即可得到，进而得出，即可判断、选项．
本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质和判定、勾股定理的逆定理的应用，解题关键是综合运用定理进行推理．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了生活中的旋转现象，理清题意，得出从号旋转到号旋转的角度占圆大小比例是解答本题的关键．
先求出从号旋转到号旋转的角度占圆大小比例，再根据旋转一圈花费分钟解答即可．
【解答】
解：分钟．
所以经过分钟後，号车厢才会运行到最高点．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：在 中，，
，
将绕点顺时针旋转后，得到，
≌，
，，，
，，
，
，故正确；
即，
在和中
，
≌，
，
即平分，故正确；
，
将绕点顺时针旋转后，得到，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
，故正确；
与不一定相等，
与不一定全等，不能推出，故错误；
故选：．
根据等腰直角三角形求出，根据旋转得出，，，，即可判断，证≌，即可判断，求出，，根据勾股定理即可判断，根据已知判断即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，旋转的性质的应用，能证得≌是解此题的关键．
12.【答案】
【解析】解：点绕点逆时针旋转，得到点，
向下平移个单位，得到，
故选：．
先求出点绕点逆时针旋转后的坐标为，再求向下平移个单位后的点的坐标即可．
本题考查坐标与图形变化，能够根据题意画出线段旋转、平移后的图形是解题的关键．
13.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了等边三角形的性质和旋转的性质，关键是掌握旋转前、后的图形全等．
首先根据等边三角形的性质可得，然后再根据旋转可得，进而可得的度数．
【解答】
解：是等边三角形，
，
绕点逆时针旋转到的位置，
，
．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质． 根据正方形的性质得，，，在中利用勾股定理可计算出，由于顺时针旋转，得，根据旋转的性质得，，则可判断为等腰直角三角形，然后根据进行计算即可．
【解答】
解：四边形为正方形，
，，，
在中，，，
，
顺时针旋转，得，
，，
为等腰直角三角形，
．
故答案为：．

15.【答案】
【解析】解：作轴于点，
由旋转可得，轴，
四边形为矩形，
，，
点坐标为．
故答案为：．
作轴于点，由旋转的性质可得，，进而求解．
本题考查平面直角坐标系与图形旋转的性质，解题关键是通过添加辅助线求解．
16.【答案】
【解析】解：过点作轴于点．
，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
故答案为：．
过点作轴于点证明≌，推出，，可得结论．
本题考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
17.【答案】
理由如下：
如图，四边形为正方形，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
在和中
，
≌，
．
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和正方形的性质．
如图，利用旋转的性质得到，再根据正方形的性质得到，从而得到；
如图，利用正方形的性质得，，再利用为等腰直角三角形得到，利用的结论得到，则可证明≌，从而得到．
【解答】
解：如图，
绕点逆时针旋转角，
，
四边形为正方形，
，
；
故答案为；
见答案．
18.【答案】证明：逆时针旋转得到，
，
、、三点共线，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：设，
，且，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
即，
解得：，
则．
【解析】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
由旋转可得，为直角，可得出，由，得到为，可得出，再由，利用可得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等可得出；
由第一问的全等得到，正方形的边长为，用求出的长，再由求出的长，设，可得出，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为的长．
19.【答案】解：逆时针旋转一定角度后与重合，为顶点，
旋转中心是点，
根据旋转的性质可知，
旋转角度是；
由可知，
由旋转可知，
，，
又为的中点，
．
【解析】本题主要考查了旋转的基本性质，解答本题的关键是掌握利用旋转的基本性质求角的度数，求线段长的思路与方法．
根据旋转前后点的位置不变确定点为旋转中心，根据旋转的性质和三角形的内角和定理求出，即可得出旋转角的度数；
根据的结论和周角的概念求出的度数，根据旋转的性质和线段中点的概念求出的长即可．
20.【答案】解：．
理由如下：和都是等边三角形，
，，，
， 即，
绕点顺时针旋转，使与重合，则与完全重合，
．
【解析】见答案
21.【答案】证明：由旋转可知， ，，，
，即，
又，
，
≌，

解：四边形是菱形，，
，，
又，
，
又，
，
，
，
即的长为．

【解析】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形判定、勾股定理、旋转的性质和菱形的性质有关知识．
根据旋转的性质，旋转前后的两个三角形全等，再根据解之间的等量关系得到与中的，从而证得≌，于是得到
根据当四边形为菱形时的条件，对边平行且相等，得到 ，最后得到是直角三角形，由勾股定理求得斜边长，即可求出．
22.【答案】证明：如图，
是，的中点，
，，
故四边形为平行四边形；
解：当时，如下图：
，，
，
即四边形为菱形，
，，
，，
，
四边形的周长为．
【解析】根据对角线互相平分证四边形为平行四边形即可；
当时，则四边形为菱形，根据勾股定理求出边长即可解答．
本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定，勾股定理是解题的关键．
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