第二十一章 一元二次方程单元复习卷（含解析）

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2022年九年级上册《一元二次方程》单元复习卷
一．选择题（共10小题）
1．已知关于x的方程：（1）ax2+bx+c＝0；（2）x2﹣4x＝8+x2；（3）1+（x﹣1）（x+1）＝0；（4）（k2+1）x2+kx+1＝0中，一元二次方程的个数为（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B．且k≠1 C． D．且k≠1
3．方程2x2﹣3x+1＝0化为（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，正确的是（　　）
A．（x﹣）2＝16 B．（2x﹣）2＝
C．（x﹣）2＝ D．以上都不对
4．已知一元二次方程mx2+n＝0（m≠0，n≠0），若方程有解，则必须（　　）
A．n＝0 B．m，n同号
C．n是m的整数倍 D．m，n异号
5．若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式m﹣的值为（　　）
A．1 B． C． D．不能确定
6．若关于y的一元二次方程y2+my+n＝0的两个实数根互为相反数，则（　　）
A．m＝0且n≥0 B．n＝0且m≥0 C．m＝0且n≤0 D．n＝0且m≤0
7．已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2﹣5x+6＝0的一个根，则这个三角形的周长是（　　）
A．11 B．12 C．11或12 D．15
8．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0，若a+b+c＝0，则该方程一定有一个根为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
9．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　）
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
10．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（　　）
A．2x% B．1+2x% C．（1+x%）x% D．（2+x%）x%
二．填空题（共6小题）
11．方程x（2x﹣1）＝5（x+3）的一般形式是　 　，其中一次项系数是　 　，二次项系数是　 　，常数项是　 　．
12．已知：一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为2，则另一根为　 　．
13．已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　 　．
14．关于x的一元二次方程x2﹣5x+k＝0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为　 　．
15．庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有 　 　队参加比赛．
16．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，所列方程是　 　．
三．解答题（共8小题）
17．解方程：2x2﹣7x+3＝0．
18．解方程：x2+2x﹣5＝0．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．
20．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
21．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为多少米？
22．果农李明种植的草莓计划以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．李明为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售．
（1）求李明平均每次下调的百分率；
（2）小刘准备到李明处购买3吨该草莓，因数量多，李明决定再给予两种优惠方案以供其选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小刘选择哪种方案更优惠，请说明理由．
23．商场销售一批衬衫，每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利1200元，每件衬衫降价多少元？
24．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．
2022年九年级上册《一元二次方程》单元复习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知关于x的方程：（1）ax2+bx+c＝0；（2）x2﹣4x＝8+x2；（3）1+（x﹣1）（x+1）＝0；（4）（k2+1）x2+kx+1＝0中，一元二次方程的个数为（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）是整式方程．
【解答】解：（1）ax2+bx+c＝0中，a可能为0，所以不一定是一元二次方程；
（2）x2﹣4x＝8+x2化简后只含有一个未知数，是一元一次方程；
（3）1+（x﹣1）（x+1）＝0和（4）（k2+1）x2+kx+1＝0符合定义，是一元二次方程．
一元二次方程的个数为2个．
故选：B．
2．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B．且k≠1 C． D．且k≠1
【分析】根据已知得出方程为一元二次方程，即k﹣1≠0且（﹣2k）2﹣4×（k﹣1）×（k﹣3）＞0，求出即可．
【解答】解：①当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为﹣2x﹣2＝0，此时方程有一个解，不符合题意；
②当k≠1时，∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，
∴（﹣2k）2﹣4×（k﹣1）×（k﹣3）＞0，
解得：k＞且k≠1．
故选：B．
3．方程2x2﹣3x+1＝0化为（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，正确的是（　　）
A．（x﹣）2＝16 B．（2x﹣）2＝
C．（x﹣）2＝ D．以上都不对
【分析】先把二次项系数化为1得到x2﹣x＝﹣，然后把方程两边同时加上一次项系数一半的平方后利用完全平方公式即可得到答案．
【解答】解：x2﹣x＝﹣，
x2﹣x+（）2＝﹣+（）2，
（x﹣）2＝．
故选：C．
4．已知一元二次方程mx2+n＝0（m≠0，n≠0），若方程有解，则必须（　　）
A．n＝0 B．m，n同号
C．n是m的整数倍 D．m，n异号
【分析】首先求出x2的值为﹣，再根据x2≥0确定m、n的符号即可．
【解答】解：mx2+n＝0，
x2＝﹣，
∵x2≥0，
∴﹣≥0，
∴≤0，
∵n≠0，
∴mn异号，
故选：D．
5．若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式m﹣的值为（　　）
A．1 B． C． D．不能确定
【分析】把方程的根m代入方程，由题意可以判断m≠0，然后两边同时除以m可以求出代数式的值．
【解答】解：把m代入方程有：
m2﹣m﹣1＝0
方程的两边同时除以m得：
m﹣1﹣＝0
∴m﹣＝1．
故选：A．
6．若关于y的一元二次方程y2+my+n＝0的两个实数根互为相反数，则（　　）
A．m＝0且n≥0 B．n＝0且m≥0 C．m＝0且n≤0 D．n＝0且m≤0
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系及相反数的定义列出方程，求出未知数的值即可．
【解答】解：∵关于y的一元二次方程y2+my+n＝0的两个实数根互为相反数，
∴x1+x2＝﹣m＝0，解得m＝0；
又∵Δ＝m2﹣4n≥0，
∴n≤0，
故选：C．
7．已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2﹣5x+6＝0的一个根，则这个三角形的周长是（　　）
A．11 B．12 C．11或12 D．15
【分析】求出方程的解，根据三角形的三边关系定理看看是否符合，再求出三角形的周长即可．
【解答】解：x2﹣5x+6＝0，
（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0，x﹣3＝0，
x1＝2，x2＝3，
根据三角形的三边关系定理，第三边是2或3都行，
①当第三边是2时，三角形的周长为2+4+5＝11；
②当第三边是3时，三角形的周长为3+4+5＝12；
故选：C．
8．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0，若a+b+c＝0，则该方程一定有一个根为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【分析】将c＝﹣a﹣b代入原方程左边，再将方程左边因式分解即可．
【解答】解：依题意，得c＝﹣a﹣b，
原方程化为ax2+bx﹣a﹣b＝0，
即a（x+1）（x﹣1）+b（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（ax+a+b）＝0，
∴x＝1为原方程的一个根，
故选：B．
9．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　）
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
【分析】先将x＝2代入x2﹣2mx+3m＝0，求出m＝4，则方程即为x2﹣8x+12＝0，利用因式分解法求出方程的根x1＝2，x2＝6，分两种情况：①当6是腰时，2是底边；②当6是底边时，2是腰进行讨论．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．
【解答】解：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，
∴22﹣4m+3m＝0，m＝4，
∴x2﹣8x+12＝0，
解得x1＝2，x2＝6．
①当6是腰时，2是底边，此时周长＝6+6+2＝14；
②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．
所以它的周长是14．
故选：B．
10．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（　　）
A．2x% B．1+2x% C．（1+x%）x% D．（2+x%）x%
【分析】设第一季度产值为1，第二季度比第一季度增长了x%，则第二季度的产值为1×（1+x%），那么第三季度的产值是由第二季度产值增长了x%来确定，则其产值为1×（1+x%）×（1+x%），化简即可．
【解答】解：第三季度的产值比第一季度的增长了（1+x%）×（1+x%）﹣1＝（2+x%）x%．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．方程x（2x﹣1）＝5（x+3）的一般形式是　2x2﹣6x﹣15＝0　，其中一次项系数是　﹣6　，二次项系数是　2　，常数项是　﹣15　．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此即可求解．
【解答】解：原方程可化为2x2﹣x＝5x+15，
移项合并同类项得：2x2﹣6x﹣15＝0，
故一次项系数是﹣6，二次项系数是2，常数项是﹣15．
12．已知：一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为2，则另一根为　4　．
【分析】设方程另一根为t，根据根与系数的关系得到2+t＝6，然后解一次方程即可．
【解答】解：设方程另一根为t，
根据题意得2+t＝6，
解得t＝4．
故答案为4．
13．已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　﹣1　．
【分析】直接利用一元二次方程的定义得出|m|＝1，m﹣1≠0，进而得出答案．
【解答】解：∵方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，
∴|m|＝1，m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．关于x的一元二次方程x2﹣5x+k＝0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为　6　．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣5）2﹣4k＞0，解不等式得k＜，然后在此范围内找出最大整数即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣5）2﹣4k＞0，
解得k＜，
所以k可取的最大整数为6．
故答案为6．
15．庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有 　10　队参加比赛．
【分析】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次比赛的总场数为：场．根据题意可知：此次比赛的总场数＝45场，依此等量关系列出方程求解即可．
【解答】解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为场，
根据题意列出方程得：＝45，
整理，得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意舍去），
所以，这次有10队参加比赛．
答：这次有10队参加比赛．
16．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，所列方程是　560（1﹣x）2＝315　．
【分析】设每次降价的百分率为x，根据题意可得，560×（1﹣降价的百分率）2＝315，据此列方程即可．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，
由题意得，560（1﹣x）2＝315．
故答案为：560（1﹣x）2＝315．
三．解答题（共8小题）
17．解方程：2x2﹣7x+3＝0．
【分析】本题可以运用因式分解法解方程．因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0即可求解．
【解答】解：原方程可变形为（2x﹣1）（x﹣3）＝0
∴2x﹣1＝0或x﹣3＝0，∴．
18．解方程：x2+2x﹣5＝0．
【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：∵x2+2x﹣5＝0，
∴x2+2x＝5，
∴x2+2x+1＝5+1，
∴（x+1）2＝6，
∴x+1＝±，
∴x＝﹣1±．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝6，x1x2＝2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，
解得m≤4；
（2）根据题意得x1+x2＝6，x1x2＝2m+1，
而2x1x2+x1+x2≥20，
所以2（2m+1）+6≥20，解得m≥3，
而m≤4，
所以m的范围为3≤m≤4．
20．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
【分析】本题可设每轮感染中平均一台会感染x台电脑，则第一轮后共有（1+x）台被感染，第二轮后共有（1+x）+x（1+x）即（1+x）2台被感染，利用方程即可求出x的值，并且3轮后共有（1+x）3台被感染，比较该数同700的大小，即可作出判断．
【解答】解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意得：1+x+（1+x）x＝81，
整理得（1+x）2＝81，
则x+1＝9或x+1＝﹣9，
解得x1＝8，x2＝﹣10（舍去），
∴（1+x）2+x（1+x）2＝（1+x）3＝（1+8）3＝729＞700．
答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．
21．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为多少米？
【分析】假设出修建的路宽应x米，利用图形的平移法，将两条道路平移的耕地两边，即可列出方程，进一步求出x的值即可．
【解答】解：设修建的路宽应x米，可列出方程：
（20﹣x）（30﹣x）＝551，
整理得：x2﹣50x+49＝0，
解得：x1＝1米，x2＝49米（不合题意舍去），
答：修建的道路宽为1米．
22．果农李明种植的草莓计划以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．李明为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售．
（1）求李明平均每次下调的百分率；
（2）小刘准备到李明处购买3吨该草莓，因数量多，李明决定再给予两种优惠方案以供其选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小刘选择哪种方案更优惠，请说明理由．
【分析】（1）设出平均每次下调的百分率，根据从15元下调到9.6列出一元二次方程求解即可；
（2）根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果．
【解答】解 （1）设平均每次下调的百分率为x．
由题意，得15（1﹣x）2＝9.6．
解这个方程，得x1＝0.2，x2＝1.8．
因为降价的百分率不可能大于1，所以x2＝1.8不符合题意，
符合题目要求的是x1＝0.2＝20%．
答：平均每次下调的百分率是20%．
（2）小刘选择方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为：9.6×0.9×3000＝25920（元），
方案二所需费用为：9.6×3000﹣400×3＝27600（元）．
∵25920＜27600，
∴小刘选择方案一购买更优惠．
23．商场销售一批衬衫，每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利1200元，每件衬衫降价多少元？
【分析】可设每件衬衫降价x元，利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可．
【解答】解：设每件衬衫应降价x元．
根据题意，得 （40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵为了扩大销售减少库存，
∴x1＝10应略去，
∴x＝20．
答：每件衬衫应降价20元．
24．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．
【分析】（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．
（2）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm2．
【解答】解：（1）设 经过x秒以后△PBQ面积为6cm2，则
×（5﹣x）×2x＝6，
整理得：x2﹣5x+6＝0，
解得：x＝2或x＝3．
答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2 ．
（2）设经过x秒以后△PBQ面积为8cm2，则
×（5﹣x）×2x＝8，
整理得：x2﹣5x+8＝0，
△＝25﹣32＝﹣7＜0，
所以，此方程无解，
故△PQB的面积不能等于8cm2．
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