湖南省长沙麓山国际实验学校2022-2023学年高二上学期入学考试数学试题（PDF版无答案）

2022-2023-1 麓山国际高二入学考试
数 学
时量：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题，本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题
目要求)
1 i
1.设 z 2i ，则 z z ( )
1 i
1
A. 0 B.1 C. D. 2
4
2.某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生
健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人
数为( )
A.80 B.96 C.108 D.110
3.为保障妇女权益、促进妇女发展、推动男女平等，我国于2011年颁布实施《中国妇女发展纲要( 2011年)》
(以下简称(《纲要》).《纲要》实施以来，我国积极推动和支持妇女参政议政，妇女参与决策和管理的比例
明显提高，妇女的政治权利得到有力保障和加强. 2018年召开的第十三届全国人民代表大会共有女代表
742 名，政协第十三届( 2018年)全国委员会中有女委员440 人.第一到十三届历届全国人大女代表、政协
女委员所占比重如图：
下列结论错误的是( )
A.第十三届全国人大女代表所占比重比第十一届提高3.6个百分点
B.第十三届全国政协女委员所占比重比第四届提高10个百分点以上
C.从第一到第十三届全国政协女委员所占比重的平均值低于12%
D.第十三届全国人大代表的人数不高于3000人
4.设非零向量a，b 的夹角为 ，定义运算a b a b sin ，下列叙述错误的是( )
A.若a b 0 ，则a / /b
B. a b c a b a c ( c 为任意非零向量)
C.设在△ABC 中， AB a， AC b ，则2S△ ABC a b
D.若 a b 1，则 a b 1
max
5.在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为a，b ，c，若bc 4 3 ，sin A 2sin BcosC 0，则△ABC
面积的最大值为( )
A.1 B. 3 C. 2 D. 2 3
6.如图，四棱锥 P ABCD的外接球的球心为O，其中底面 ABCD为正方形，若平面 ABCD过球心O，
1
且 PBD 45 ， tan PAC ，则异面直线PA ，CD所成角的余弦值为( )
2
5
A.
5
10
B.
5
10
C.
10
3 10
D.
10
7.有5个相同的球，分别标有数字1， 2 ，3， 4 ，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示
事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2 ”，丙表示事件“两次取出
的球的数字之和是7 ”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6 ”，则( )
A.甲与丙相互独立 B.乙与丁不相互独立
C.甲与丁相互独立 D.乙与丙相互独立
8. 如 图 ， 正 方 体 A B C D 1 A1B1C 1中D， AN NA1 ， A1M MD1 ，
B E B C ，当直线DD1与平面MNE 所成的角最大时， ( ) 1 1
1 1
A. B.
2 3
1 1
C. D.
4 5
二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要
求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分)
9.给定组数5， 4 ，3，5，3，2 ， 2 ，3，1， 2 ，则这组数据的( )
8
A.中位数为3 B.方差为
5
C.众数为2 和3 D.第85%分位数为4.5
10.在某次数学考试中，对多项选择题的要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分
选对的得 2 分，有选错的得0 分.”已知某道多项选择题的正确答案是 ABC ，且某同学不会做该题，下列
结论正确的是( )
1
A.该同学仅随机选一个选项，能得分的概率是
2
4
B.该同学随机至少选择二个选项，能得分的概率是
11
1
C.该同学仅随机选三个选项，能得分的概率是
4
4
D.该同学随机选择选项，能得分的概率是
15
1
11.如图，直角梯形 ABCD， AB / /CD， AB BC， BC CD AB 1， E 为 AB 中点，以DE 为
2
折痕把 ADE 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且PC 3 ，则( )
A.平面PED 平面EBCD
B. PC 与平面PED 所成角的正切值为 2

C.二面角P DC B的大小为
4
D. PC ED
12.设△ABC 的内角 A ， B ，C 所对的边分别为a，b ， c，下列结论正确的是( )

A.若a 1，b 2，则 A 可以是
3

B.若 A ，a 1，c 3 ，则b 1
6
C.若△ABC 是锐角三角形，a 2，b 3，则边长c的取值范围是 5, 13

D.若sin2 A sin2 B sin2 C sin AsinC，则角 A 的取值范围是 0,
3

二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13.复数 z 满足 z z 2 2i ，则 z 的最小值为________.
1
14.如图，在△ABC 中，AN NC ，P 是线段BN 上的一点，若 AP mAB
2
1
AC ，则实数m ________.
5
15.三棱柱 ABC A1B1C1中，D ，E ，F 分别为 A1B1 ，B1C1，C1A1的中点，AB 2 ，M 为BD的中点，
下列说法正确的是________.
① AF ， BE 为异面直线；
② EM / /平面 ADF ；
2
③若BE CF ，则 AA ； 1
2
④若 BEC 60 ，则直线 A1C与平面BCC1B1所成的角为45 .
16.如图所示，要修建一个形状为等腰直角三角形的广场 ABC ， ABC 90 ，且在广场外修建一块三角
形草地BCD，满足BD 2，CD 1.

①若 BDC ，则 AD ________；
3
②欲使 A 、D 之间距离最长，则cos BDC ________.
四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分，其中 17 题 10 分，其余每题 12 分.解答题应写出文字说明过程或演
算步骤)
17.(10 分)已知向量a 1, 3 ，b 2,0 .
(Ⅰ)求a b 的坐标以及a b 与a之间的夹角；
1
(Ⅱ)当 t 1, 时，求 a tb 的取值范围.
2
18.(12 分)随着金融市场的发展，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，下面将 A 市把黄金作为理
财产品的投资人的年龄情况统计如图所示.
(1)求a的取值，以及把黄金作为理财产品的投资者的年龄的中位数；(结果用小数表示，小数点后保
留两位有效数字)
(2)现按照分层抽样的方法从年龄在 40,50 和 60,70 的投资者中随机抽取5人，再从这5人中随机
抽取 2 人进行投资调查，求至少有1人年龄在 60,70 的概率.
2 2 2
19.(12 分)在三角形 ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为a，b ，c，已知 a b c tan B 3ac .
(1)求角 B 的大小；
(2)当角 B 为钝角时，若点 E 满足 AE 2EC ， AB 3 ， BE 1，求BC 的长度.
20.(12 分)为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均
须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概
5 3 2 3
率分别为 ， ；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为 ， .甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出
6 5 3 4
互不影响.
(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
21.(12 分)如图，在等腰直角△ABC 中， ABC 90 ，腰长为2 ，P 为△ABC 外一点， BPC 90 .
(1)若 PC 3 ，求PA 长；
(2)若 APB 30 ，求 tan PBA .
22.(12 分)已知在长方形 ABCD中， AD 2AB 2 2 ，点 E 是 AD 的中点，沿 BE 折起平面 ABE ，使
平面 ABE 平面BCDE .
(1)求证：在四棱锥 A BCDE 中， AB AC ；
3 13
(2)在线段 AC 上是否存在点F ，使二面角 A BE F 的余弦值为 ？若存在，找出点F 的位置；
13
若不存在，请说明理由.