福建省泉州科技中学2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题（Word版含解析）

泉州科技中学2021-2022学年高二下学期期末考试
数学试题
第 I 卷（选择题 共 60 分）
一、单选题: 本题共8小题, 每小题5分, 共40分. 在每小题给出四个选项中, 只有一项是符合题目要求.
1. 已知（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. 5 D. 6
3．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，如．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在“2，3，5，7，11”这5个素数中，任取两个素数，其和不是合数的概率是( )
A． B． C． D．
4．甲 乙两组数据的频率分布直方图如图所示，两组数据采用相同的分组方法，用和分别表示甲 乙的平均数，，分别表示甲 乙的方差，则( )
， B．，
C．， D．，
5. 如图，已知中，为边上靠近点的三等分点，连接， 为 线 段的中点，若，则( )
A. B． C． D．
6、比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述错误的是（ ）
A．甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值
B．乙的数学建模能力指标值优于甲的直观想象能力指标值
C．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值 整体水平
D．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值
7. 如图，已知平行六面体的各棱长相等，
则“”是“⊥”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8、已知函数在区间上至少存在两个不同的满足，且在区间上具有单调性，点和直线分别为图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ）
A．在区间上的单调性无法判断 B．图象的一个对称中心为
C．在区间上的最大值与最小值的和为
D．将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位得到的图象，则
二、多选题: 本题共4小题, 每小题5分, 共20分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求, 全部选对的得5分, 部分选对的得2分, 有选错的得0分.
9. 已知集合 A = {x | 2},B ={2,} , 若 B A，则实数a的值可能是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10.下列命题中是真命题的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件；
B. 命题“，都有”的否定是“，使得”；
C. 数据，，，的平均数为6，则数据，，，的平均数是6；
D. 若随机变量服从正态分布，，则．
11、已知是定义在R上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（ ）
A．是以2为周期的周期函数 B．点是函数的一个对称中心
C． D．函数有3个零点
12．如图，在四面体中，，， 若用一个与，都平行的平面截该四面体，下列说法中正确的是　　
A．异面直线与所成的角为
B．平面截四面体所得截面周长不变
C．平面截四面体所得截面不可能为正方形
D．该四面体的外接球表面积为
三 、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 已知幂函数为奇函数, 且在上单调递减,
则________.
14、的值为 .
15. 已知函数 的值域为, 则实数的取值范围是________.
16、已知、、分别为的三个内角、、的对边，且，点是边上的中点，若，则的面积最大值为________．
四、解答题(本题共6小题．共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17、在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为O，始边为x轴的正半轴，终边经过点P（－3，m），且．
（1）求实数m的值； （2）求的值．
18.已知向量＝(，)，＝(，)．
（1）求向量与的夹角；（2）若⊥，求实数的值．
19. 在中，角的对边分别为．
(1)求角； (2)若点满足，且，求面积的取值范围．
20、 (12分)为了解学校学生的睡眠情况, 决定抽取20名学生对其睡眠时间进行调查, 统计如下:
性别/睡眠时间 足 8 小时 不足 8 小时足 7 小时 不足 7 小时
男生 3 5 1
女生 1 7 3
(I) 记“足8小时”为睡眠充足, “不足8小时”为睡眠不充足, 完成下面的列联表, 并判断是否有的把握认为 “睡眠充足与否”与性别有关;
睡眠情况 性别 合计
男生 女生
睡眠充足
睡眠不充足
合计
（II ) 现从抽出的11位女生中再随机抽取3人, 记为睡眠时间“不足8小时足7小时”的女生人数, 求的分布列和均值.
附:
k
21. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，M为线段PC的中点，，N为线段BC上的动点．
(1)证明：平面平面
(2)当点N在线段BC的何位置时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°？指出点N的位置，并说明理由．
对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数.
(1)当时，求函数的不动点；
(2)若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；
(3)若的两个不动点为，且，当时，求实数的取值范围.
泉州科技中学2021-2022学年高二下学期期末考试
数学试题答案
第 I 卷（选择题 共 60 分）
一、单选题: 本题共8小题, 每小题5分, 共40分. 在每小题给出四个选项中, 只有一项是符合题目要求.
1. D【详解】因为复数，
所以，所以复数在复平面对应的点位于第四象限.故选：D.
2. 【答案】C【详解】解：,,即,解得,故选：C
3． 【答案】B 【解析】在“2，3，5，7，11”这5个素数中任取两个，
其和有10种不同的情况如下：5、7、8、9、10、12、13、14、16、18，
其中两素数之和不是合数的有5，7，13共3种，
所以任取两个素数，其和不是合数的概率为.故选：B.
4．【答案】B【解析】平均数是每个矩形的底边中点的横坐标乘以本组频率（对应矩形面积）再相加，
因为两组数据采取相同分组且面积相同，故，
由图观察可知，甲的数据更分散，所以甲方差大，即，故选B．
5. A【详解】依题意得，，
故，
所以故．故选：A﹒
6、【答案】D【解析】对于A选项，甲的逻辑推理能力指标值为4，乙的逻辑推理能力指标值为3，所以甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值，故选项A正确；
对于B选项，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的数学建模能力指标值优于甲的直观想象能力指标值，故选项B正确；
对于C选项，甲的六维能力指标值的平均值为，乙的六维能力指标值的平均值为，所以乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平，所以选项C正确；
对于D选项，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，所以选项D错误.
7. 【答案】B 【解析】选取空间内基底，则，，，，即，亦即. 故选B.
8、【答案】BC【解析】由题意得，，即，
，则，此时，，∵
∴，∴在区间上单调递减，故A错误，由，∴不为图象的一个对称中心，故B错误，∵，，，，∴最大值与最小值的和为，故C正确，将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，到的图象，再向左平移个单位，得到，即故D错误，C正确
二、多选题: 本题共4小题, 每小题5分, 共20分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求, 全部选对的得5分, 部分选对的得2分, 有选错的得0分.
9. 【答案】ABC【解析】因为B A,所以,,解得.故选:ABC
10.
11、【答案】BD【解析】依题意，为偶函数，
且，有，即关于对称，
则
，
所以是周期为4的周期函数，故A错误；
因为的周期为4，关于对称，所以是函数的一个对称中心，故B正确；
因为的周期为4，则，，
所以，故C错误；
作函数和的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有3个交点，
所以函数有3个零点，故D正确.故选：BD.
12．【解答】解：对于，如图，取得中点，连接和，
，，，，
又，且，平面，平面，平面，，
即异面直线与所成的角为，故正确；对于，如图，平面与四面体的交点分别为，，，，，平面，且平面，，则，
同理得，，，
，，
，
即平面截四面体所得截面周长不变，为，故正确；
对于，当时，即、分别是，的中点，此时，，
且、共面，，所以四边形为正方形，故错误；
对于，作的中点，连接，取中点，易得，
则为四面体外接球的球心，，，
则半径，，故正确． 故选：．
13. -1
14、【答案】 【解析】原式，其中.
15.
16、【答案】【解析】因为，所以，，
即，所以，．，解得．
，
所以，，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，即的最大值为，
所以，．故答案为．
四、解答题(本题共6小题．共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17、【解析】（1）由于角的终边经过点，且，所以，且，从而，即，解得.
（2）由（1）知，所以，所以
.
18.（1）设向量与的夹角为，
　　因为，，
　　所以．
考虑到，得向量与的夹角．
（2）若，则，即， 因为，， 所以，解得．
19. 【答案】(1)因为，所以，且．
(2)，
．
，．．
因为点满足，所以,．
20、
21.
(1)证明：因为底面ABCD，底面ABCD，所以，
因为，，所以平面，
因为平面，所以，
因为四边形为正方形，，所以，
因为在中，，M为线段PC的中点，所以，
因为，所以平面，因为平面，所以平面平面，
(2)当点N在线段BC的中点时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°，理由如下：
因为底面，平面，所以，
因为，所以两两垂直，
所以以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则，
设，则，
设为平面的法向量，则，令，则，
设为平面的法向量，则，令，则，
因为平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°，所以，
化简得，得，
所以当点N在线段BC的中点时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°
22.对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数.
(1)当时，求函数的不动点；
(2)若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；
(3)若的两个不动点为，且，当时，求实数的取值范围.
22. (1)解：当时，，设为不动点，因此，
解得或，所以为函数的不动点.
(2)因为恒有两个不动点，即恒有两个不等实根，
整理为，所以且恒成立.
即对于任意恒成立.
令，则，解得.
(3)因为恒有两个不动点，即恒有两个不等实根，
整理为，+=--
因为，
所以，
设，因为，所以，
由P函数性质得在上单调递增
所以，
所以，所以