上海市上海实验学校2022-2023学年高二上学期8月开学考数学试卷（Word版含答案）

上海实验学校2022-2023学年高二上学期8月开学考
数学试卷
一.填空题
1.已知向量,且,则实数 .
2.若是关于的实系数方程的一个复数根,则 .
3.已知向量,则在上的投影向量的坐标为 .
4.记为数列的前项和,若,则 .
5.已知等差数列的公差,且,则的前15项和 .
6.设,则向量与的夹角为 .
7.复数的辐角主值是 .
8.在中,,则 .
9.在矩形中,,垂足为,则的最大值是10.设是定义在上的函数,且对于任意的整数,满足,,则的值为 .
二.选择题
11.在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于第（）象限
A.一 B.二 C.三 D.四
12.设为正整数,则“数列为等比数列”是“数列满足”的（）条件
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分也不必要
13.已知为等比数列,下面结论中正确的是（）
A.
B.
C.若,则
D.若,则
14.2021年第十届中国花卉博览会举办在即,其中,以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人瞩目(如图(1),而美妙的蝴蝶轮廓不仅带来生活中的赏心悦目,也展示了极致的数学美学世界.数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像,探究如下:
如图(2),平面上有两定点,两动点,且绕点逆时针旋转到所形成的角记为,设函数,其中,令,作,随着的变化,就得到了点的轨迹,其形似“蝴蝶”,则以下4幅图中,点的轨迹(考虑蝴蝶的朝向)最有可能为( )
三.解答题
15.已知向量.
(1)若,求的值;
(2)记,求函数的最大值和最小值及对应的的值.16.设复数(其中),(其中).
(1)设,若,求出实数的值;
(2)若复数满足条件:存在实数,使得与是某个实系数一元二次方程的两个虚数根,求符合条件的复数的模的取值范围.
17.为等差数列的前项和,且,记,其中表示不超过的最大整数,如.
(1)求;
(2)求数列的前2022项和.
18.已知是公差为2的等差数列,其前8项和为是公比大于0的等比数列,
(1)求和的通项公式;
(2)记.
(1)证明是等比数列;
(2)证明.
四.附加题
19.设数列的前项和为,若对任意正整数,总存在正整数,使得,则称是“数列”.
(1)若数列的前项和为(,证明:是“数列”;
(2)设是等差数列,其首项,公差.若是“数列”,求的值;
(3)证明:对任意的等差数列,总存在两个“数列”和,使得成立.
20.称一个复数数列为“有趣的”,若,且对任意正整数,均有.求最大的常数,使得对一切有趣的数列及任意正整数,均有.
参考答案
一.填空题
1. 2.2 3. 4.
5.15 6. 7. 8.
9.
【第10题】夹逼得,
即
二.选择题
11.D
三.解答题
15.(1)(2)
16.(1);(2)
17.(1);(2)
18.(1)(2)略
四.附加题
19.(1)略;（2）(3)略
20.(1)