浙江省杭州市重点中学2022-2023学年高二上学期8月开学考试数学试卷（Word版含解析）

杭州市重点中学2022-2023学年高二上学期8月开学考试
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知为虚数单位，复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线，与平面，，，则能使成立的充分条件是（ ）
A．， B．，
C．， D．，，
4．已知圆台下底面半径是上底面半径的2倍，若从该圆台中挖掉一个圆锥，圆锥的底面是圆台的上底面，圆锥的顶点是圆台下底面的圆心，则圆锥的侧面积是圆台侧面积的（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．已知在某滨海城市A附近的海面出现台风活动，据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向，距该城市300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动．已知该台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为km．则城市A受台风影响的时间为（ ）
A．4h B．h C．5h D．
7．由，可得与最接近的数是（ ）
A． B． C． D．
8．已知球的直径，和是该球球面上的两点，，，则棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．若，则下列不等式恒成立的有（ ）
A． B．
C． D．
10．已知且，函数与函数在同一个坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．函数满足，且在上单调，若在上存在最大值和最小值，则实数可以是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，已知边长为1的正方形是线段上的动点（包括端点），分别是上动点，且分别是中点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则的最小值为
C．若，则的最小值为
D．若，则的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．棣莫佛（Demoivre，是出生于法国的数学家．由于在数学上成就卓著，他被选为柏林科学院和巴黎科学院的外籍院士．棣莫佛定理为：，这里．若，则_________．
14．一水平放置的平面图形按“斜二测画法”得到直观图为斜边等于的等腰直角三角形，则原平面图形的面积为______．
15．如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2.则AE=______．
16．已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的.当时，都有，则关于的不等式在区间上的解集为______．
四、解答题:本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知.
（1）求的值；
（2）若，且，求角.
18．如图，在直三棱柱中，，，点为中点，连接，交于点，点为中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
19．在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解决该问题.
问题：已知的内角及其对边，若，且满足___________.求的面积的最大值(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
20．如图，在中，已知D，E分别是的中点，，与交于点O.
（1）若，求的值；
（2）若，求的长.
21．如图1，在矩形中，已知，E为的中点.将沿向上翻折，进而得到多面体（如图2）.
（1）求证：；
（2）在翻折过程中，求二面角的最大值.
22．已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数，
若方程有实根，且的实根都是的根；反之，方程的实根都是的实根．
（1）求d的值；
（2）若，求c的取值范围；
（3）若，，求c的取值范围．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【详解】解：因为，，
所以.
故选：A.
2．B
【详解】，因此，复数的共轭复数为.
故选：B.
3．C
【详解】选项A中条件得出与可能相交可能平行，不一定垂直，A错；
选项B中条件得出与可能相交可能平行，不一定垂直，B错；
选项C中条件，则与过的平面与的交线（设为）平行，由得，从而可得，C正确；
选项D中，得不出与内两条相交直线垂直，从而不能得出线面垂直、面面垂直，D错．
故选：C．
4．B
【详解】设圆台上底面半径为r，则圆台下底面半径为2r，圆锥的底面半径为r，
设圆台的高为h，则圆锥的的高为h
则圆台母线长为，圆锥的母线长为
则圆锥的侧面积为
圆台侧面积为，则圆锥的侧面积是圆台侧面积的
故选：B
5．A
【详解】因为向量在向量上的投影为，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：A
6．D
【详解】如图，，，台风中心沿方向以的速度移动，
台风中心距离城市A的最短距离为
又台风中心为圆心的圆形区域，半径为km．
则台风中心在以城市A为圆心半径为km的圆内时，城市A受台风影响
以城市A为圆心半径为km的圆截直线所得弦长为
km
则城市A受台风影响的时间为
故选：D
7．B
【详解】解：由，又，由①得与②得，即，故.
故选：B.
8．C
【详解】设球心为点，作中点，连接、、．因为线段是球的直径，
所以它也是大圆的直径，则易得
所以在中，， 可得，，
又在中，， 可得， ，
所以，，
因为点是的中点所以在等腰三角形中，且，
在等腰三角形中，且，
又，平面，所以平面 ，
即棱锥的体积，
因为，，，
所以由余弦定理得，
所以，
由三角形面积公式得的面积
所以棱锥的体积
故选：C．
9．ACD
【详解】解：对于A，由基本不等式得，则，故A正确；
对于B，令时，，故不成立，故B错误；
对于C，由A选项得，所以，故C正确；
对于D，根据基本不等式的“1”的用法得，故D正确；
故选：ACD．
10．BC
【详解】当时，是增函数，只有B、D满足，此时的最高点大于1，故B满足，D不满足；
当时，是减函数，只有A、C满足，此时的最高点大于0，小于1，故C满足，A不满足；
故选：BC．
11．AD
【详解】∵函数在上单调，
∴，
∴，
又函数满足，且，
所以为函数对称轴，
∴，即，
故当时，，
当时，
∵在上存在最大值和最小值，
∴或，
∴或.
故选：AD.
12．ABD
【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
设，
可得，
其中，则，
（1）由，所以正确；
（2）由，
当时，，所以正确；
（3）由（2）知时，
若则，
此时，所以不正确；
（4）由（2）知时，，
则，
上式里的“”可以取“”，条件是.
而时，有，
即，所以，
当的条件是的条件是，且时，
即，且时，即，，所以正确.
故选：ABD.
13．2
【详解】由，
于是有，因为所以有，
于是有：，
当为偶数时，显然有，该方程无实根，
当当为奇数时，显然有，而，
故答案为：2
14．
【详解】如图，若直观图为，，则，所以在原图中，，所以面积为；
若直观图为，，则，所以在原图中，，所以面积为.
故答案为：.
15．
【详解】在中，，由正弦定理得,
故
16．
17．【详解】（1）由已知得即
因为，且，所以，故
（2）因为且，所以
又
所以
因为，所以
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【详解】（1）直三棱柱，四边形为平行四边形
为的中点 为的中点，
又平面，平面，平面
（2）四边形为平行四边形，
平行四边形为菱形，即
三棱柱为直三棱柱
平面
平面
，


，，平面
平面
平面，，
，，平面，
平面，
平面 ，
平面平面
19．条件选择见解析；最大值为.
【详解】选择条件①：因为，所以，
根据正弦定理可得，
由余弦定理得：，
又由，可得，
根据余弦定理得，
则，
所以，
所以当且仅当时，面积取得最大值，最大值为.
选择条件②：因为，
由余弦定理得，
所以，
，
所以当且仅当时，面积取得最大值，最大值为.
选择条件③：因为，
由余弦定理得：，
因为，可得，
又由余弦定理得：，
所以，
，
所以当且仅当时，面积取得最大值，最大值为.
20．（1）；（2）2.
【详解】解：（1）在中，，
由正弦定理可得，所以.
设.
因为D为中点，所以.
又因为，
所以.
（2）因为D，E分别是的中点，且与交于点O，
所以O为的重心，所以.
又因为，
.
所以
，
所以.
因为，，所以.
即，解得或（舍去），
所以.
21．（1）证明见解析；（2）.
【详解】解：（1）如图1，连接交于F.
因为，且E为的中点，，
在矩形中，因为，
所以，所以，
所以，
所以，即.
由题意可知平面，
所以平面.
因为平面，所以.
（2）如图2，过作，垂足为H，过H作，垂足为G，连接.
因为平面平面，所以.
又因为平面，所以平面.
因为平面，所以.
又因为平面，所以平面.
因为平面，所以.
所以是二面角的平面角.
在翻折过程中，设.
在矩形中，由，E为的中点，
得.
在直角三角形中，，所以，
因为，所以，所以，
所以.
在直角三角形中，.
设，所以.
所以，即.
解得，当时，等号成立，故，
因为，所以，
所以二面角的最大值为.
22．（1）；（2）；（3）．
【详解】
试题解析：（1）设r是方程的一个根，即，由题设得，
于是，即，即；
（2）由题设及（1）知，．
由得b，c是不全为零的实数，且，
则，
方程就是 ①
方程就是 ②
（a）当时，方程①②的根都为，符合题意；
（b）当时，方程①②的根都为，符合题意；
（c）当时，方程①的根都为，，它们也都是方程②的根，但它们不是方程
的实根，由题意，方程无实根，
故，得．
综上所述，c的取值范围是．
（3）由，，得，，
③
由可以推断出，知方程的根一定是方程的根．
当时，符合题意；
当时，，方程的根不是方程 ④的根，
因此，根据题意，方程④应无实根，那么
当，即时，，符合题意；
当，即或时，方程④得，
即 ⑤，则方程⑤应无实根，所以有
且．
当时，只需，解得：，矛盾，舍去；
当时，，解得：，因此．
综上所述，c的取值范围是．
答案第1页，共2页