11.2.2 三角形的外角 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
11.2.2 三角形的外角
人教版八年级上册
知识回顾
1.三角形内角和定理：
2.直角三角形性质：
3.直角三角形判定：
三角形三个内角的和等于180°.
直角三角形的两个锐角互余.
有两个角互余的三角形是直角三角形.
4.如图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°,则∠ACB= ，∠ACD= .
A
B
C
D
50 °
130°
教学目标
1.了解三角形外角的概念.
2.理解三角形外角性质及三角形外角和的探究.
3.熟练掌握并运用三角形外角性质解决实际问题.
新知导入
4.如图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°,则∠ACB= ，∠ACD= .
A
B
C
D
50 °
130°
通过第4题，我们可以发现虽然∠ACD在△ABC的外部，但∠ACD的度数却与△ABC的内角度数有着紧密的关系，由题中已知可以发现：
∠ACD+ =180°，∠ACD= + .
∠A
∠B
∠ACB
所以，这个与三角形内角密切相关的角“∠ACD”，就是今天的主角
新知探究
知识点 1
三角形的外角的概念
A
B
C
D
概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
如图，∠ACD是△ABC的一个外角.
问题1：如图，延长AC到E，∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？
E
C
B
A
D
∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角.
新知探究
答：在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；
如图，在三角形的每个顶点处有多少个外角？∠ACD与∠BCE有什么关系？
问题2：
E
C
B
A
D
问题3：△ABC共有几个外角呢
每一个三角形都有6个外角．且每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
新知探究
在第4题中我们知道，∠A=70°, ∠B=60°,则∠ACB= ，外角∠ACD= .
A
B
C
D
50 °
130°
进而发现∠ACD= + .
∠CAB
∠ABC
E
F
问题4：是不是所有外角都有这种数量关系？
证明：∵∠EAB+∠BAC=∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°
∴∠EAB= + 。
同理：∠CBF= + 。
∠CAB
∠ACB
∠ABC
∠ACB
你能总结三角形外角的性质吗？
三角形的外角性质
知识点 2
新知小结
三角形外角的性质
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
应用格式：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角，
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
A
B
C
D
新知典例
例1．如图，∠A＝65°，∠B＝45°，则∠ACD＝（　　）
A．65° B．60° C．45° D．110°
D
例2．如图，已知∠1＝58°，∠B＝60°，则∠2＝（　　）
A．108° B．62° C．118° D．128°
C
新知典例
例3．如图，∠A＝40°，∠ABD＝38°，∠ACB＝80°，且CD平分∠ACB，求∠BDC的度数．
A
B
C
D
解：延长BD交AC于点E
∵∠A＝40°，∠ABD＝38°，
∴∠BEC＝∠A+∠ABD＝40°+38°＝78°，
∵CD平分∠ACB且∠ACB=80°
∴∠ACE＝ ∠ACB＝40°，
∴∠BDC＝∠EDC+∠DCE＝78°+40°＝118°
E
课堂练习
1.有一个零件如图所示，现已知∠A＝10°，∠B＝75°，∠C＝15°，则∠ADC为多少度？
解：连接BD，设点E为BD延长线上一点，
∵∠ADE＝∠A+∠ABD，∠CDE＝∠C+∠CBD，
∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE，
＝（∠A+∠ABD）+（∠C+∠CBD），
＝∠A+∠C+（∠ABD+∠CBD），
＝∠A+∠C+∠ABC，
∵∠A＝10°，∠ABC＝75°，∠C＝15°
∴∠ADC＝10°+15°+75°，
＝100°．
F
如果延长AD与BC交于点F，这道题应该如何求解？
新知探究
三角形的外角和定理
知识点 3
三角形内角和为180°，那外角是否也有同样的情况呢？
如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3，
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
新知小结
三角形的三个外角和等于360°.
注意：三角形的每一个顶点处各有两个外角，三角形的外角和不是指六个外角的总和，而是说在三角形的每一个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角和叫做三角形的外角和.
数学语言表示：
如图所示，∠CAD+∠CBE+∠BCF=360°.
三角形的外角和定理
A
B
E
F
C
D
1
2
3
新知典例
例4 下列对三角形的外角和叙述正确的是(　　)
A．三角形的外角和等于180°
B．三角形的外角和就是所有外角的和
C．三角形的外角和等于所有外角和的一半
D．以上都不对
C
课堂练习
1.如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠A的度数为（　　）
A．56° B．34° C．36° D．24°
B
课堂练习
2．一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
B
课堂练习
3．一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　）
A．105° B．75° C．110° D．120°
B
课堂练习
4．将一副直角三角板如图放置，∠A＝30°，∠F＝45°．若边AB经过点D，则∠EDB＝　 　°．
75
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵∠ABC＝∠F+∠BDF，∠F＝45°，
∴∠BDF＝∠ABC﹣∠F＝60°﹣45°＝15°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠EDB＝∠EDF﹣∠BDF＝90°﹣15°＝75°，
课堂练习
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，AF平分外角∠BAD，BE与FA交于点E，则∠E的度数为 　 　．
45°
解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝
∵AF平分外角∠BAD，
∴∠FAB＝
又∵∠BAD＝∠C+∠ABC＝90°+∠ABC，
∴∠FAB＝
又∵∠FAB＝∠E+∠ABE，
∴∠E＝∠FAB﹣∠ABE＝45°+ - =45°
课堂练习
6. 2016年2月6日凌晨，宝岛高雄发生6.7级地震，得知消息后，中国派出武警部队探测队，探测队探测出某建筑物下面有生命迹象，他们在生命迹象上方建筑物的一侧地面上的A，B两处，用仪器探测生命迹象C，已知探测线与地面的夹角分别是30°和60°（如图），则∠C的度数是　 　．
30°
课堂练习
7．如图，∠ABC＝∠ACB，AD，BD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，求证：AD∥BC．
解：∵∠EAC为△ABC的外角，
∴∠EAC＝∠ABC+∠ACB，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAC＝2∠ACB，
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠DAC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC．
∴∠E＝∠4﹣∠2＝ （∠ACD﹣∠ABC）
＝ ∠A＝ ×58°＝29°；
课堂练习
8．∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．
（1）若∠A＝58°，求：∠E的度数．
（2）猜想∠A与∠E的关系，并说明理由．
解：（1）∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠2＝ ∠ABC，∠4＝ ∠ACD，
课堂总结
三角形的外角
定义
性质
三角形
外角和
三角形的外角和等于360°
角的一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形的另一边的延长线
三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和
谢谢
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