第二章《轴对称图形》单元测试卷（困难）（含答案）

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苏科版初中数学八年级上册第二章《轴对称图形》单元测试卷
考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
如图，在中，，，为边上的一个动点不与、重合，连接，则的最小值是( )
A. B. C. D.
下列图形中，对称轴的总条数是：( )
A. B. C. D.
一个多边形纸片剪去一个内角后，得到一个内角和为的新多边形，则原多边形的边数为( )
A. 或或 B. 或或 C. 或 D. 或
如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中画出一个与成轴对称的格点三角形，则可以画出符合条件的三角形有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
如图，中，，，，点是上一动点，于，于，在点的运动过程中，线段的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
如图，正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有几种( )
A. B. C. D.
如图是正方形网络，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形，使黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有个( )
A. B. C. D.
如图，三个小正方形组成的图形，请你在图形中补画一个小正方形，使得补画后的图形为轴对称图形，补画的图形的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：；；；连接，平分其中正确的是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，已知，，点为的中点，于点，于点，连接、张宇同学根据已知条件给出了以下几个结论：；；平分；平分其中正确的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数( )
平分； ；；
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于点，下列四个结论：点到各边的距离相等设，，则其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，为线段上一动点不与点，重合，在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连结以下五个结论：；；；；恒成立的结论有 把你认为正确的序号都填上
图是一张矩形折纸，其中图形，，分别与图形，，关于所在的直线成轴对称，现沿着虚线剪开，部分剪纸拼成不重叠、无缝隙的正方形如图，若正方形边长为，图中所标注的的值为，的值为整数，则图中矩形的宽为______，矩形的长为______．
七巧板是我国古老的益智玩具，受到全世界人的追捧．下图是由一副“现代智力七巧板经无缝拼接且没有重叠的轴对称花朵型图案，直线为对称轴，其中是直径为的圆与半圆，为直角梯形，为等腰直角三角形，是有一组对边平行且锐角皆为的拼板．若已知的周长是的倍，的周长是的倍，则图中线段的长度为______．
已知中，，于点，平分，交于点．
请从，两题中任选一题作答．我选择______题．
A.如图，若，则的长为______．
B.如图，若，，则的长为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
如图所给图形分别为正三角形、正方形、正五边形、正六边形．
分别说出它们各有几条对称轴．
分别画出各图形的所有对称轴．
通过你自己作图与思考，你发现了哪些规律试着写出几条．
同一平面内，我们把正多边形任意边的两顶点都构成等腰三角形的点称为这个正多边形的幸运点，把正边形幸运点的个数记作小明同学在学习了轴对称这一章之后，发现正多边形都是轴对称图形，决定运用轴对称的知识探究一下，请与小明同学一起完成下面的探究
如图，在正五边形中，点是其对称点的交点，显然是这个正五边形的一个幸运点，______度，在对称轴与交于上另一点点与点之间也是一个幸运点，则______度，______
如图，为正方形的对称轴
请在直线画出这个正方形的幸运点
______
______．
在平面直角坐标系中，对于线段，直线和图形给出如下定义：线段关于直线的对称线段为分别是，的对应点若与“均在图形内部包括边界，则称图形为线段关于直线的“对称封闭图形”．
如图，点．
已知图形：半径为的，：以线段为边的等边三角形，：以为中心且边长为的正方形，在，，中，线段关于轴的“对称封闭图形”是______；
以为中心的正方形的边长为，各边与坐标轴平行．若正方形是线段关于直线的“对称封闭图形”，求的取值范围；
线段在由第四象限、原点、轴正半轴以及轴负半轴组成的区域内，且的长度为若存在点，使得对于任意过点的直线，有线段，满足半径为的是该线段关于的“对称封闭图形”，直接写出的取值范围．
如图，在平面直角坐标系中有、两点，请在轴上找一点，将沿翻折，使点的对应点恰好落在轴上．
利用无刻度的直尺和圆规在图中找出所有符合条件的点不写作法，保留作图痕迹
若点的坐标为，点的坐标为，请求出点的坐标．
如图，在“”正方形网格中，已有个小正方形被涂黑．请你分别在下面张图中再将若干个空白的小正方形涂黑，使得涂黑的图形成为轴对称图形．图要求只有条对称轴，图要求只有条对称轴．
如图，、为直线外两点，且到的距离不相等．分别在上求一点，并满足如下条件：
在图中求一点使得最小；
在图中求一点使得最大．
不写作法，保留作图痕迹
如图，在的两边，上分别取，，和相交于点．
求证：点在的平分线上．
已知直线，点、分别为，上的动点，且，平分交于．
若，，如图，求与的度数？
延长交直线于，这时，如图，平分交于点，问是否为定值？若是，请求值；若不是，请说明理由．
如图，在中，为锐角，点为直线上一动点，以为直角边且在的右侧作等腰直角三角形，，．
如果，．
当点在线段上时，如图，线段，的位置关系为________，数量关系为________．
当点在线段的延长线上时，如图，中的结论是否仍然成立，请说明理由．
如图，如果，，点在线段上运动．探究：当多少度时，？请说明理由．
如图，，，，、相交于点，连接．
求证：；
用含的式子表示的度数直接写出结果；
当时，取，的中点分别为点、，连接，，，如图，判断的形状，并加以证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：以为顶点，为一边，在下方作，过作于，交于，如图：
由作图可知：是等腰直角三角形，
，
，
取最小值即是取最小值，此时、、共线，且，的最小值即是的长，
，，
，
，，
的最小值是．
故选：．
以为顶点，为一边，在下方作，过作于，交于，由是等腰直角三角形的，即，故取最小值即是取最小值，此时、、共线，且，的最小值即是的长，根据，，可得，即可得答案．
本题考查三角形中的最小路径，解题的关键是作辅助线，把的最小值转化为求的最小值．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的知识点是轴对称图形，顺利的找出所有图形的对称轴条数是解题的关键，首先将四个图形的对称轴条数分别找出，再将对称轴条数的和找出即可得到答案．
【解答】
解：第一个图形有条对称轴，第二个图形有条对称轴，第三个图形没有对称轴，第四个图形没有对称轴，
对称轴条数之和为条．
故选C．
3.【答案】
【解析】解：设原多边形是边形，分三种情况：
由多边形内角和公式得，
若剪后为边形，
则，
解得；
若剪后为边形，
则，
解得；
若剪后为边形，
则，
解得；
综上所述，原多边形的边数为或或．
故选：．
设原多边形是边形，分三种情况：若剪后为边形，若剪后为边形，若剪后为边形，根据多边形内角和公式，可得答案．
本题考查了剪纸问题，多边形内角与外角，多边形的内角和公式是解题关键．
4.【答案】
【解析】如图，可以画出个格点三角形与成轴对称．
5.【答案】
【解析】解：如图：
，，
，
于，于，
，
，
、、、四点共圆，且直径为，
当时，的值最小四边形、、、四点共圆，是直径，是定值，故直径最小时，所对的弦最小，
在中，，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
∽，
，
设，则，，，
取的中点，连接，则，
，
，
过作于，则，，
，
由勾股定理得：，
，
，即线段的最小值为．
故选：．
当时，线段的值最小，利用四点共圆的判定可得：、、、四点共圆，且直径为，得出，从而可得∽，，设，表示出和的长，代入比例式中，可求出的值．
本题考查了四点共圆，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的判断当时，线段的值最小是解题的关键．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用轴对称设计图案的知识有关知识，根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
【解答】
解：选择一个正方形涂黑，使得个涂黑的正方形组成轴对称图形，
选择的位置有以下几种：处，处，处，处，处，选择的位置共有处．
故选D．
7.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查的是利用轴对称设计图案，解答此题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，可以有种画法．根据轴对称图形的概念求解．
【解答】
解：如图所示，有个位置使之成为轴对称图形．
故选C．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了轴对称图形的性质．利用轴对称图形的性质画图．
【解答】
解：补画一个小正方形，使得补画后的图形为轴对称图形，补画的图形如图所示，一共有四个个情况，
故选C．

9.【答案】
【解析】解：在中，，
，
又、分别平分、，
，
，故正确．
，
又，
，
，
又，
在和中，
，
≌，
，，，故正确．
，，，
在和中，
，
≌，
，故正确．
如图，连接，
的角平分线、相交于点，
点到、的距离相等，点到、的距离相等，
点到、的距离相等，
点在的平分线上，
平分，故正确．
其中正确的是，共个．
故选：．
根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断；根据全等三角形的判定和性质判断；根据角平分线的判定与性质判断．
本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理．掌握相关性质是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图，过点作，交于点，
，
，
点为的中点，
点为的中点，
是梯形的中位线，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
平分，故正确；
，
，
，
，
，
平分，故正确；
，，
，故正确；
平分，
，
平分，
，
，
，
，
，故正确．
综上所述：正确的有，共个．
故选：．
过点作，交于点，证明是梯形的中位线，然后利用角平分线的性质和平行线的性质即可逐一进行判断．
本题考查了梯形的中位线定理，角平分线的性质，平行线的性质，直角三角形的判定，解决本题的关键是掌握梯形中位线定理．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了角平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，掌握角平分线的性质判定是解题的关键．
作于，由角平分线的性质得出，，得出，即可得出正确；
首先证出，证明≌，得出，同理：≌，得出，即可得出正确；
由角平分线和三角形的外角性质得出，，得出，即可得出正确；
由全等三角形的性质得出，，即可得出正确．
【解答】
解：作于，
平分，平分，，，
，，
，
点在的角平分线上，故正确；
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
同理：≌，
，
，
，正确；
平分，平分，
，，
，正确；
≌，
，
同理：≌，
，
，正确；
故选：．
12.【答案】
【解析】略
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
由于和是等边三角形，可知，，，从而证出≌，可得；
由≌得，得到≌，再根据，根据内错角相等，两直线平行，可知正确；
同得：≌，即可得出结论；
根据，且，可知，可知错误；
利用等边三角形的性质，求出，再根据平行线的性质得到，由全等三角形的性质可推出，于是，可知正确．
【解答】
解：和为等边三角形，
，，，
，
在和中，
≌，
，，正确；
，
在和中，
≌．
，，
，
，
，正确；
同得：≌，
，正确；
，且，
，故错误；
，
，
是等边三角形，
，
，
，
由得，
，
，
正确；
故答案为 ．
14.【答案】
【解析】解：如图中，由题意，，设，
则有，
，
如图中，则有，，，，
由∽，
，
，
，，
，
，
，
，，
图中，矩形的长为，宽为．
故答案为：，．
如图中，由题意，，设，利用勾股定理求出，再利用图证明∽，推出，推出，可得，，由此即可解决问题．
本题考查矩形的性质，图形的拼剪，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
15.【答案】
【解析】解：如图，作于设，，．
在中，，
，
由题意：，
是直角梯形，，
，，
，即，
由题意：，解得，，，
，
，
故答案为：．
如图，作于设，，构建方程组求出，，，可得的长即可解决问题．
本题考查轴对称图形的性质，解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
16.【答案】
【解析】解：我选择题．
：过点作于点，
，，
，
于点，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
在中，，
，
解得
故答案为：．
：过点作于点，
，，，
，
于点，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
在中，，
，
解得．
故答案为：：．
：．
：过点作于点，由等腰直角三角形的性质可求解，结合可得，利用证明≌可求的长，进而求出的长，再利用勾股定理可求解的长．
：过点作于点，由勾股定理求解的长，进而可求得的长，再次利用勾股定理求解，利用证明≌可求的长，进而求出的长，再利用勾股定理可求解的长．
本题主要考查角平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识的综合运用，灵活运用勾股定理求解是解题的关键．
17.【答案】解：分别有条、条、条、条对称轴．
略．
正边形有条对称轴，这些对称轴都相交于一点答案不唯一

【解析】见答案
18.【答案】
【解析】解：由题意是正五边形的中心角，
，，
，
正五边形有条对称轴，每条对称轴上有两个幸运点，点重复，
，
故答案为，，；
如图，直线上的幸运点如图所示．
观察上图可知，正方形的幸运点共有个，，
故答案为．
如图观察图象可知，
故答案为．
根据正五边形的性质、幸运点的定义即可解决问题；
根据幸运点的定义画出图形即可解决问题；
幸运点在对称轴上，画出两条对称轴上的幸运点即可解决问题；
幸运点在对称轴上，画出三条对称轴上的幸运点即可解决问题；
本题考查四边形综合题、正五边形、正方形、正三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考创新题目．
19.【答案】解：如图，
关于轴对称的线段是，由图可得：
和在正方形和圆内，不在等边三角形内，
线段关于轴的“对称封闭图形”为和，
故答案为：、；
如图，
点关于对称点在正方形的边上，点关于的对称点在正方形的边上，
；
如图，
令，，
，
点在直线上运动，
当，，时，的值最小，
取点的中点，连接并延长至，使，
，
，
，
，
作点关于的对称点，
四边形是矩形，
，
，
．
【解析】本题考查了新定义，等腰直角三角形性质，轴对称性质，与圆有关位置等知识，解决问题的关键是几何直观能力．
作出图形，观察得出结果；
作出点关于的对称点，须使其对称点在正方形的边上时，是临界值，进而求得结果；
找出当点取，，时，找出此时的最小值，进而求得的范围．
20.【答案】解：如图，以为圆心，为半径画圆交轴于，，作，的平分线交轴于，，点，即为所求．
设满足条件的点坐标为，
，
，
或，
，，
的中点坐标为，已知直线过的中点，故设直线的解析式为，
得到，解得，
直线的解析式为，
，
同理，的中点为，得到的解析式为，可得，
综上所述，满足条件的点坐标为或．
【解析】本题考查作图轴对称变换，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建一次函数解决问题，属于中考常考题型．
如图，以为圆心，为半径画圆交轴于，，作，的平分线交轴于，，点，即为所求．
先根据勾股定理求得点的坐标，接着求出的中点坐标，再求出直线的解析式即可解决问题．
21.【答案】解：如图所示：
．
如图所示：
．
【解析】根据轴对称的特点，作出符合题意的图形即可；
根据轴对称的性质，作图即可．
本题考查了利用轴对称设计图案的知识，解答本题的关键是掌握轴对称的性质及轴对称的特点．
22.【答案】证明：作于，于，如图，
在和中，
，为公共角，，
≌．
．
，
，
，，
，
由三角形面积公式得：，
，又，，
点在的平分线上．
【解析】首先证明≌，然后利用图形中的面积关系求得，已知，两三角形的底相等，所以它们的高也相等，它们的高即是，，所以点在的平分线上．
本题主要考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的逆定理．而且考查了三角形全等判定和性质；所以学生所学的知识要系统．正确作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：如图，作．
，
，
，
，
平分，
，
，
，，
，
，
，
，
．
为定值．
理由：如图中，设，．
则有：
可得：．
【解析】如图，作证明即可解决问题．
结论：为定值．如图中，设，构建方程组即可解决问题．
本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，是中档题．
24.【答案】解：垂直；相等；
成立，理由如下：
，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
；
当时，，
理由：过点作交的延长线于点，则，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
即．
【解析】
【分析】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质．
根据等腰直角三角形的性质得到，，推出≌，根据全等三角形的性质即可得到结论；
由等腰直角三角形的性质，同方法，可推出≌，根据全等三角形的性质得到，，根据余角的性质即可得到结论；
过点作交的延长线于点，于是得到，可推出，证得，再证明≌，根据全等三角形的性质即可得到结果．
【解答】
解：等腰直角三角形中，，
，
，
，
在与中，
≌，
，，
，即；
见答案；
见答案．

25.【答案】解：如图，，
，
在和中，
，
≌，
；
如图，≌，
，
中，，
，
中，
；
为等腰直角三角形．
证明：如图，由可得，，
，的中点分别为点、，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，且，
又，
，
，
为等腰直角三角形．
【解析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
由，，，利用即可判定≌；
根据≌，得出，再根据三角形内角和即可得到；
先根据判定≌，再根据全等三角形的性质，得出，，最后根据即可得到，进而得到为等腰直角三角形．
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