第2章 对称图形——圆单元测试卷（困难）（含答案）

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苏科版初中数学九年级上册第二章《对称图形——圆》单元测试卷
考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
如图，在平面直角坐标系中，、，以点为圆心、为半径的上有一动点连接，若点为的中点，连接，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
如图，在等边中，，点在边上，，为中点，为内一点，且，则线段的最小值为【】
A. B. C. D.
如图，是的直径，，是半径上的一动点，交于点，在半径上取点，使得，交于点，点，位于两侧，连接交于点，点从点出发沿向终点运动，在整个运动过程中，与的面积和的变化情况是( )
A. 一直减小 B. 一直不变 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大
如图，为的直径，为延长线上的一点，在上不与点，点重合，连结交于点，且设，，下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
如图，是圆的内接正三角形，弦过的中点，且，若，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
如图，等腰直角三角形的顶点都在上，点为上一点，连接，，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
如图，在矩形中，，以为直径作将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切于点，则的长为( )
A. B.
C. D.
如图，边长为的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，那么经过第次旋转后，顶点的坐标为( )
A. B. C. D.
如图所示，矩形的边长，，为正三角形若半径为的圆能够覆盖五边形即五边形的每个顶点都在圆内或圆上，则的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
如图一个扇形纸片的圆心角为，半径为将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
如图，的半径为，边长为的正六边形的中心与重合，、分别是、的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积是( )
A.
B.
C.
D.
如图，圆锥的底面半径为，母线长为，一只蜘蛛从底面圆周上一点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点的最短路程是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
如图，点、的坐标分别为、，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为______．
在中，，，，则的长的取值范围是______．
如图所示的网格由边长为个单位长度的小正方形组成，点、、在直角坐标系中的坐标分别为，，，则内心的坐标为______．
用一块圆心角为的扇形铁皮做一个高为的圆锥形工件接缝处忽略不计，则这块扇形铁皮的半径是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
如图，在矩形中，，，连接，．
过点作于点，过点作于点，求，的长．
以点为圆心画圆，使，，，，个点中至少有个点在圆内，且至少有个点在圆外，并求的半径的取值范围．
赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约年，历经无数次洪水冲击和次地震却安然无恙．如图，若桥跨度约为米，主拱高约米，
如图，尺规作图，找到桥弧所在圆的圆心保留作图痕迹；
如图，求桥弧所在圆的半径．
如图，已知为圆的弦非直径，为的中点，的延长线交圆于点，，且交的延长线于点：：，，求圆的半径．
已知是的直径，点，是上的点，，，连接，，
如图，求的大小：
如图，分别过点，作，的垂线，相交于点，连接，交于点已知的半径为，求及的长．
如图，以 的边为直径的交对角线于点，交于点连结过点作于点，是的切线．
求证： 是菱形；
已知，求的长．
如图，是的外接圆，，延长到点，使得，连接交于点，过点做的平行线交于点．
求证：．
求证：为的切线；
若，，求弦的长．
如图，在的正方形网格中的每个小正方形边长都是，线段交点称做格点．任意连接这些格点，可得到一些线段．按要求画图：
请画出的高；
请连接格点，用一条线段将图中分成面积相等的两部分；
直接写出的面积是______．
在等腰中，，以为直径的分别与，相交于点，，过点作，垂足为点．
求证：是的切线；
分别延长，，相交于点，，的半径为，求阴影部分的面积．
蜂窝煤是由煤炼制而成的．如图，每个蜂窝煤中都有个相同的空心小圆柱，每个蜂窝煤底面的直径为，高为，其中空心小圆柱底面的直径均为．
求一个蜂窝煤大约需要用煤多少立方厘米结果保留？
如图，现有一堆煤，近似于一个圆锥，它的底面直径为米，高为米，如果用这堆煤来制作图中的蜂窝煤，可以制作多少个蜂窝煤？
如图，若将个这种蜂窝煤按如图所示的方式放入有盖的包装箱内，则这个箱子的表面积至少是多少箱子厚度忽略不计？
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了图形与坐标的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、圆的性质、两点之间线段最短，确定出最小时点的位置是解题关键，也是本题的难点．确定点的运动路径是：以为圆心，以为半径的圆，当、、共线时，的长最小，先求的半径为，说明是的中点，根据直角三角形斜边中线是斜边一半可得，所以的最小值是．
【解答】
解：当点运动到的延长线上时，即如图中点，是的中点，
当点在线段上时，是中点，取的中点为，
点的运动路径是以为圆心，以为半径的圆：：，则点轨迹和点轨迹相似，所以点的轨迹就是圆，当、、共线时，的长最小，
设线段交于，
中，，，
，
的半径为，
，，
是的中点，
，，
是的中点，
，
，即的半径为，
，
，
，
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查最短路线问题、等边三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键，以为直径作圆，连接交圆于点，则的长度最小，即最小，过作于，先利用等边三角形的性质求出，再利用勾股定理求出，在直角中，利用股定理求出，从而可以得出结论．
【解答】
解：如图：以为直径作圆，连接交圆于点，则的长度最小，即最小，过作于，
是等边三角形，
，，
，为中点，
，
在直角中，，，
，
，
，
在直角中，，，
，
，
即线段的最小值为．
故选C．
3.【答案】
【解析】解：连接，，，设，，，
，，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，，，设，，，利用分割法求出阴影部分的面积，再求出即可判断；
本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分割法求面积，属于中考选择题中的压轴题．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，三角形内角和定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键连接，，利用半径相等和等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理得到和的数量关系，然后根据选项中角的度数，分别代入求解，得出正确结论即可．
【解答】
解：如图所示：连接，，
，
，，，
，
，
，
，
即，
，
A.若，则，，故A错误．
B.若，则，，故B错误．
C.若，则，，所以，故C正确；
D.若，则，，所以，故D错误．
故选C．
5.【答案】
【解析】解：如图．过作于，交于，
，
．
根据圆和等边三角形的性质知：必过点．
，是的中点，
是的中位线，
；
是等边三角形，，
；
，由垂径定理得：，
．
弦、相交于点，
，即；
解得负值舍去．
故选：．
设与交于点，由于，且是中点，易得是的中位线，即；易知是等腰三角形，可过作的垂线，交于，交于；然后证，根据相交弦定理得，而、的长易知，，由此可得到关于的方程，即可求得的长．
本题考查三角形外接圆与外心，等边三角形的性质、垂径定理、三角形中位线定理、相交弦定理等知识，能够证得、的数量关系是解答此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
．
设，交于点，
为等腰直角三角形，，
．
，
，
，
故选B．
由等腰直角三角形的性质及圆的概念与性质可求解，设，交于点，由三角形外角的性质可得，，进而可求解的值．
本题主要考查三角形外角的性质，圆的概念与性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用三角形外角的性质求解角的度数是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：连接并延长交线段于点，过点作于点，如图，
边与相切于点，
．
四边形是矩形，
，．
四边形为矩形．
．
为的直径，
．
．
，，
．
．
由旋转的性质可得：．
，．
，，
，．
，．
．
．
故选：．
连接并延长交线段于点，过点作于点，由题意可得：四边形为矩形，则，由勾股定理可求线段的长；由旋转的性质可得：，则，；利用直角三角形的边角关系可求和，最后利用勾股定理可得结论．
本题主要考查了矩形的判定与性质，圆的切线的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系，旋转的性质，连接，利用切线的性质得到，是解决此类问题常添加的辅助线．
8.【答案】
【解析】解：如图，连接，．
在正六边形中，，，，
，
在中，，，
，
，
，
，
将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，
次一个循环，
，
经过第次旋转后，顶点的坐标与第三次旋转得到的的坐标相同，
与关于原点对称，
，
经过第次旋转后，顶点的坐标，
故选：．
如图，连接，首先确定点的坐标，再根据次一个循环，由，推出经过第次旋转后，顶点的坐标与第三次旋转得到的的坐标相同，由此即可解决问题．
本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法．
9.【答案】
【解析】解：如图，连接，，，取中点，连接，
四边形是矩形，
，，，，
，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
，，
≌，
，
即是等腰三角形，
五边形是轴对称图形，其对称轴是直线，
能覆盖五边形的最小圆的圆心在线段上，
且此圆只要覆盖住必能覆盖五边形，
从而此圆的圆心到的三个顶点距离相等．
设此圆圆心为，则，
是中点，
，，
，
，
在中，，
即，
解得．
则的最小值是．
故选：．
连接，，，取中点，连接，根据矩形性质和等边三角形的性质证明是直角三角形，证明≌，可得是等腰三角形，因为五边形是轴对称图形，其对称轴是直线，能覆盖五边形的最小圆的圆心在线段上，且此圆只要覆盖住必能覆盖五边形，从而此圆的圆心到的三个顶点距离相等．设此圆圆心为，则，根据勾股定理即可求出值，进而可得结论．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆与外心，多边形与圆，解决本题的关键是综合运用以上知识．
10.【答案】
【解析】解：连接，如图，
扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，
，
，
，
，，
由弧、线段和所围成的图形的面积，
阴影部分的面积为，
故选：．
连接，如图，利用折叠性质得由弧、线段和所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，，则，，从而得到，，然后根据扇形面积公式，利用由弧、线段和所围成的图形的面积，能进而求出答案．
本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．记住扇形面积的计算公式．也考查了折叠的性质，注意：圆心角是，半径为的扇形的面积．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了正多边形与圆的关系，阴影部分的面积，解答本题的关键是掌握利用“割补法”求阴影部分面积的思路与方法；连接、、、，交于，交于，过点作于，然后观察图形，利用“割补法”求出阴影部分的面积即可．
【解答】
解：连接、、、，交于，交于，过点作于，如图：
则，，
，，
，
，
在中，，，，
，
，
．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：圆锥的底面周长，
设侧面展开图的圆心角的度数为．
，
解得，
圆锥的侧面展开图，如图所示：
最短路程为：，
故选D．
易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可．
求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长．
13.【答案】
【解析】解：如图，点为坐标平面内一点，，
在上，且半径为，
取，连接，
，，
是的中位线，
，
当最大时，即最大，而，，三点共线时，当在的延长线上时，最大，
，，
，
，
，即的最大值为，
故答案为：．
根据同圆的半径相等可知：点在半径为的上，通过画图可知，在与圆的交点时，最小，在的延长线上时，最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定为最大值时点的位置是关键，也是难点．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的三边关系、直角三角形的性质、等边三角形的性质；作出的外接圆进行推理计算是解题的关键。作的外接圆，求出当时，是直径最长；当时，是等边三角形，，根据进行解答即可；
【解答】
解：作的外接圆，如图所示：
，，
当时，是直径且最长，
，
，
设圆心为点，连接，
且，
为等边三角形，
，
，，
当时，是等边三角形，，
，
长的取值范围是
故答案为
15.【答案】
【解析】解：如图，点即为的内心．
所以内心的坐标为．
故答案为：．
根据点、、在直角坐标系中的坐标分别为，，，建立直角坐标系，根据等腰三角形三线合一，利用网格确定内心的坐标即可．
本题考查了三角形的内切圆与内心、坐标与图形性质，解决本题的关键是掌握三角形的内心定义．
16.【答案】
【解析】略
17.【答案】解：如图所示．
在矩形中，，，
．
，
．
同理可得．
在中，．
画图答案不唯一，如图所示．
由可得
若以点为圆心画圆，，，，，个点中至少有个点在圆内，且至少有个点在圆外，则点必在圆内，点，必在圆外，
的半径的取值范围为．

【解析】见答案
18.【答案】解：如图所示；
连接如图．
由中的作图可知：为直角三角形，是的中点，，
．
，
．
在中，由勾股定理得，，
．
解得：．
即桥弧所在圆的半径为米．
【解析】由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作，的中垂线交于点，则点是桥弧所在圆的圆心；
首先连接，由可得：为直角三角形，是的中点，，即可求得的长，然后在中，由勾股定理得，，即可求得拱桥的半径．
此题考查了垂径定理的应用．此题难度不大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
19.【答案】解：是的中点，
，即，分
，，分
，分
∽，分
：：：，分
，分
又，分
而，
，
，分
圆的半径分
【解析】根据为的中点，则，根据，可以得到∽，根据相似三角形的对应边的比相等，可以求出，在中，根据勾股定理，就得到半径．
本题主要考查了垂径定理，利用勾股定理把求半径的问题转化为解方程的问题．
20.【答案】解：，，
，，
，，
，
，
是等边三角形，
；
，，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，．
【解析】根据等腰三角形的性质得到，，求得，推出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论；
根据垂直的定义得到，求得，推出，得到垂直平分，求得，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
21.【答案】证明：如图，连接，
是的切线，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
是菱形；
如图，连接，
由得，，，
，
：：，
点是的中点，
四边形是菱形，
经过点，
是的直径，
，
，
，
∽，
：：：：，
，，
在中，设，则，
由勾股定理得，，
解得：，
．
【解析】如图，连接，根据切线的性质得到，根据平行四边形的性质得到，推出，于是得到结论；
如图，连接，由得，：：，得到点是的中点，根据圆周角定理得到，根据相似三角形的性质得到，，由勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
22.【答案】证明：，
，
又，
，
．
证明：
又，
，
点为弧的中点，
连接，则，
又，
，
为圆的切线．
解：在和中，
，
∽，
，
，
，
由得，，
，
，
，
．
【解析】欲证明，只要证明即可．
欲证明是的切线，只要证明即可．
利用相似三角形的性质求出即可解决问题．
本题属于圆综合题，考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】
【解析】解：的高如图所示．
如图线段将分成面积相等的两部分．
．
故答案为．
根点画的垂线段即可，的高如图所示．
取的中点，如图线段将分成面积相等的两部分．
根据计算即可；
本题考查作图与应用设计、三角形的高、面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】证明：连接，如图所示：
，，
，，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：，，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积的面积扇形的面积
．
【解析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，是一道综合题，难度中等．
连接，由等腰三角形的性质证出，得出，证出，即可得出结论；
证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，求出，由直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，阴影部分的面积的面积扇形的面积，即可得出答案．
25.【答案】解：煤球的体积：立方厘米，
煤球的个圆柱形孔的体积是：立方厘米，
煤球的体积是：立方厘米．
圆锥的体积立方厘米，
个，
这堆煤来制作图中的蜂窝煤，可以制作个蜂窝煤．
这个长方体的长为厘米，宽为厘米，高为厘米，
所以这个长方体的表面积为：平方厘米．
【解析】求一块蜂窝煤的用煤量，就用这块蜂窝煤的总体积减去个圆柱形小孔的体积；由此根据圆柱的体积公式 分别求出蜂窝煤的体积和圆孔的体积，再用蜂窝煤的总体积减去个圆孔的体积即可；
求出圆锥的体积，可得结论；
判断出长方体的长，宽，高，可得结论．
本题考查作图应用与设计作图，圆柱，圆锥的的体积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
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