第二章《三角形》单元测试卷（困难）（含答案）

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湘教版初中数学八年级上册第二章《三角形》单元测试卷
考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，若，则为( )
A. B. C. D.
如图，在，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：；；；，正确的是( )
A.
B.
C.
D.
下列命题：
同旁内角互补；
若，则；
直角都相等；
相等的角是对顶角．
其中，真命题的个数有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
下列命题：直角三角形两锐角互余；全等三角形的对应角相等；两直线平行，同位角相等：对角线互相平分的四边形是平行四边形．其中逆命题是真命题的个数是( )
A. B. C. D.
如图，在中，，，则边上的高的长为( )
A.
B.
C.
D.
如图，在四边形中，，，，将四边形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为( )
A. B. C. D.
三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的( )
A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点
C. 三条高的交点 D. 三条角平分线的交点
如图，等边三角形的边长为，是三边垂直平分线的交点，，的两边、与、分别相交于点、，绕点顺时针旋转时，下列结论：；；；周长的最小值是其中正确的结论有 ( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接下列结论：；；平分；平分其中正确的结论有( )
A. B. C. D.
如图，在和中，，，，连接，交于点，连接下列结论：
，，平分，平分其中正确的结论个数有个．( )
A. B. C. D.
已知，用尺规作图的方法在上取一点，使，下列选项正确的是：
A. B.
C. D.
下列关于尺规的功能说法不正确的是( )
A. 直尺的功能是：在两点间连接一条线段，将线段向两方向延长
B. 直尺的功能是：可作平角和直角
C. 圆规的功能是：以任意长为半径，以任意点为圆心作一个圆
D. 圆规的功能是：以任意长为半径，以任意点为圆心作一段弧
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
在非直角三角形中，，高和高所在的直线相交于点，则 ．
如图，设是等边内的一点，，，，则的度数是______．
如图，在中，，、分别是、边上的高，在上取点，使，在射线上取点，使，连接、，若，，则______
如图，在矩形中，按以下步骤作图：分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；作直线交于点若，，则对角线的长为________．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
【推理证明】
如图，，求证；
小勇同学给出了如下证明，请在下面括号内填写上小勇推理的根据
证明：过点作
______
，______
等量代换
备注：小勇同学在证明过程中，先过点作，是证明本题关键的一步，小勇同学作的这条线，叫做“辅助线”，通常用虚线表示，在几何证明过程中有时会用到．
【类比探究】
在小学我们已知道“三角形内角和等于”这个结论，下面请作出合适的辅助线并用所学到的平行线的相关知识证明这个结论．
如图，已知三角形，求证：请写出证明过程不写推理根据
【综合运用】
请运用的经验和结论解答下列问题：
如图，和交于点，，，的平分线和的平分线交于点，若，直接写出的度数______．
已知命题：“是等边内的一点，若到三边的距离相等，则”
写出它的逆命题．判断其逆命题成立吗？若成立，请给出证明．
进一步证明：点到等边各边的距离之和为定值．
在中，，相交于点，试在下列设定的条件中选择若干个条件作为题设，另一个条件作为结论，组合成一个真命题，并写出证明．
；
，分别是，的平分线；
，是的两条高；
；
．
在等腰中，，高，所在的直线相交于点，将沿直线翻折，点的对称点落在直线上，连接．
如图，当时，
求证：；
求的度数．
当时，补全图，并求证：．
在等边中，，，分别是边，，上的动点，满足，且作点关于的对称点，连接，．
当点，，在如图所示的位置时，请在图中补全图形，并证明四边形是平行四边形；
当，时，求的度数．
如图，在中，是边上的高，是边上的中线，且求证：
点在的垂直平分线上；
．
如图，在中，点是上一点，，过点作，且．
求证：≌；
若，，，求的度数．
如图，和中，，，，边与边交于点不与点、重合，点、在异侧，为的内心三条角平线的交点．
求证：；
当时，
若，时，求线段的最大值；
若，的取值范围为，求、的值．
定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．
数学学习小组的同学从根等长的火柴棒每根长度记为个单位中取出 若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动．
小亮用根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；
小颖分别用根和根火柴棒摆出直角“整数三角形”；
小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”．
请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；
你能否也从中取出若干根摆出等边“整数三角形”？如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：如图，连接，，设的面积为．
，
的面积为，的面积为，
，
的面积的面积，
，
的面积，的面积，
，
的面积的面积，
的面积，
，
的面积为，
故选：．
如图，连接，，设的面积为利用等高模型的性质，用表示出各个三角形的面积，可得的面积为，构建方程，可得结论．
本题考查三角形的面积，等高模型的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．
2.【答案】
【解析】解：设交于点．
，
，
，
，
，
正确；
平分，
，
，
，
，
，
正确；
，
，
，
，
由得，，
，
；
正确；
，
，
，
，，
，
，
正确，
故选：．
根据，和，证明结论正确；
根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；
证明，根据的结论，证明结论正确；
根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．
本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：同旁内角互补，错误，是假命题；
若，则，错误，是假命题；
直角都相等，正确，是真命题；
相等的角是对顶角，错误，是假命题，
故选A．
利用平行线的性质、不等式的性质、直角的定义及对顶角的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、不等式的性质、直角的定义及对顶角的性质等知识，难度较小．
4.【答案】
【解析】解：直角三角形两锐角互余逆命题是如果两个角互余那么这个三角形是直角三角形是真命题；
全等三角形的对应角相等逆命题是对应角相等的两个三角形全等是假命题；
两直线平行，同位角相等逆命题是同位角相等，两直线平行是真命题：
对角线互相平分的四边形是平行四边形逆命题是如果平行四边形，那么它的对角线互相平分是真命题；
故选：．
首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．
本题主要考查了写一个命题的逆命题的方法，首先要分清命题的条件与结论．
5.【答案】
【解析】解：过作于点，
，
是等腰三角形，
，
，
在中，，
，
，
解得．
故选：．
过作于点，根据勾股定理计算出底边上的高的长，然后计算三角形的面积，再以为底，利用三角形的面积计算出边上的高即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形底边上的高和中线重合．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是等腰三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，轴对称的性质，轴对称变换的有关知识，连接，，证出是等边三角形得到，然后利用特殊角的三角函数值求出，再利用等腰三角形的判定及性质得到，最后利用勾股定理进行求解即可．
【解答】
解：如图，连接，，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
将四边形折叠，使点与点重合，折痕为，
是等腰三角形，，
，
，
在中，
，
解得：．
故选A．
7.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得答案．
【解答】
解：三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的三边垂直平分线的交点，
故选：．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的概念及其性质以及点线之间垂线段最短．
根据垂直平分线的性质，因为是三边垂直平分线的交点，得到，计算出角度，证出三角形全等，根据三角形全等得到，作辅助线，得到，从而计算出四边形面积为定值，最后根据点线之间垂线段最短，求得周长的最小值．
【解析】
解：如图，连接，，
利用等边三角形的性质得易证，则≌，，，故正确；
由可得，故错误；
作于点，则，，易得，而随的变化而变化，，为定值，故错误；
的周长为，由垂线段最短知，当时，最小，此时，周长的最小值为，故正确．
故选B．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识证明三角形全等是解题的关键由证明得出，，正确
由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，正确
作于，于，如图所示：则，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，正确
由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故错误即可得出结论．
【解答】
解：，
，
即，
在和中，
，
，
，，正确
，
由三角形的外角性质得：，
，正确
作于，于，如图所示：
则，
在和中，
，
，
平分，正确
，
当时，才平分，
假设
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
与矛盾，
错误
正确的是
故选D．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
由证明≌得出，，正确；
由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，正确；
作于，于，如图所示：则，由证明≌，得出，由角平分线的判定方法得出平分，正确；
假设平分，则，由全等三角形的判定定理可得≌，得，而，所以，而，故错误；即可得出结论．
【解答】
解：，
，
即，
在和中，
≌，
，，故正确；
由三角形的外角性质得：
，
得出，故正确；
作于，于，如图所示，
则，
在和中，
，
≌，
，
平分，故正确；
假设平分，则，
在与中，
≌，
，
，
，
而，故错误；
正确的个数有个；
故选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作由和易得，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点在的垂直平分线上，于是可判断选项正确．
【解答】
解：，
而，
，
点在的垂直平分线上，
即点为的垂直平分线与的交点．
故选B．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了尺规作图．考查在尺规作图过程中直尺和圆规的作用．直尺指没有刻度的尺子，作用是作线段、直线和射线，圆规的作用是画圆和弧，据此可直接判断各选项的正误．
【解答】
解：根据直尺和圆规的作用可知：、、选项正确，选项错误．
故选B．

13.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，分为锐角三角形及为钝角三角形两种情况，找出的度数是解题的关键．
当为锐角三角形时，连接，延长交于点，利用三角形内角和定理可求出，的度数，利用三角形的外角性质可得出，，再结合即可求出的度数；当为钝角三角形时，利用三角形内角和定理及对顶角相等，可得出的度数，进而可得出的度数．
【解答】
解：
当为锐角三角形时，连接，延长交于点，如图所示．
，，
，．
又，，
；
当为钝角三角形时，如图所示．
，，
，，
，
．
故答案为或．
14.【答案】
【解析】解：为等边三角形，
，
可将绕点逆时针旋转得，
连，如图，
，，，
为等边三角形，
，，
在中，，，，
，
为直角三角形，且，
．
故答案为．
将绕点逆时针旋转得，根据旋转的性质得，，，则为等边三角形，得到，，在中，，，，根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得到的度数．
本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．
15.【答案】
【解析】解：、分别是、两边上的高，
，
，，
，
在和中
，
≌，
，
，，
，
，，
，
即，
故答案为：．
首先证明≌可得，然后根据直角三角形两个锐角互余可得，进而可以解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到≌．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理的有关知识，属于中档题．
连接，如图，利用基本作图得到垂直平分，则，然后利用勾股定理先计算出，再计算出．
【解答】
解：连接，如图
由作法得垂直平分，
，
在中，，
在中，．
故答案为．
17.【答案】两直线平行内错角相等 平行于同一条直线的两直线平行
【解析】解：【推理证明】
证明：过点作，
，
两直线平行内错角相等，
，，
平行于同一条直线的两直线平行，
．
，
等量代换，
故答案为：两直线平行内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行；
【类比探究】
证明：过点作，
，，
；
【综合运用】
解：，，，
，
，
，
的平分线和的平分线交于点，
，，
，
，
，
，即，
，
，
解得，
，即，
，
，
．
故答案为：．
【推理证明】利用平行线的判定与性质可证明结论；
【类比探究】过点作，根据平行线的性质可证明；
【综合运用】由平行线的判定与性质可得，利用角平分线的定义及三角形外角的性质可证明，结合可求解的度数，即可求得的度数，再利用三角形的内角和定理可求解的度数．
本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质求解角的关系是解题的关键．
18.【答案】解：逆命题： 是等边三角形 内的一点，若 ，则 到三边的距离相等． 该逆命题成立．
证明如下：，
在 的垂直平分线上，
，
在 的垂直平分线上，
是 的垂直平分线，
平分，
同理， 平分， 平分，
是 三个角的角平分线的交点，
．
且 ，
由面积法可得 点到各边的距离之和任意边上的高线长，即为定值．
【解析】将原命题的题设与结论交换位置即可写出其逆命题；可证明其逆命题成立．先由，，根据线段垂直平分线的判定得出是的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质得出平分，同理，平分，平分，那么是三个角的角平分线的交点，根据角平分线的性质即可得出．
本题考查了命题与定理，角平分线、线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，难度适中．利用数形结合是解题的关键．
19.【答案】解：已知：，、是的两条高，如图，
求证：．
证明：、是的两条高，
，，
，
，
．
【解析】略
20.【答案】证明：是的高，，
，，
是的高，
，
在和中，
，
≌，
；
解：如图：
由知：≌，
，
将沿直线翻折，点的对称点落在直线上，
，
，
是等腰直角三角形，
；
补全图形如下：
，
，
是的高，
是等腰直角三角形，
，
，是的高，
，
，
，
≌，
，
将沿直线翻折，点的对称点落在直线上，
，
，
，
，
．
【解析】由是的高，，可得，，又是的高，有，即可证≌，得；
由≌，得，而将沿直线翻折，点的对称点落在直线上，有，可得是等腰直角三角形，故；
根据已知补全图形即可，由，得是等腰直角三角形，，又，是的高，可证≌，得，根据将沿直线翻折，点的对称点落在直线上，有，知，故，从而，．
本题考查等腰三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用全等三角形判定和性质定理．
21.【答案】解：如图，即为补全的图形，
证明：在等边中，，
点，点关于对称，
，，
，
，
即，
，，
，
在中，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
四边形是平行四边形；
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，，
是等边三角形，
，
点，点关于对称，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
．
【解析】根据题意即可补全图形；然后证明≌可得，进而可以解决问题；
根据题意证明是等边三角形，可得，由点，点关于对称，可得，，所以，进而可以解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到≌．
22.【答案】解：连接，
是边上的高，
，
是边上的中线，
，
，
，
，
点在的垂直平分线上；
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
连接，根据垂直的定义得到，根据直角三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论；
根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．
23.【答案】证明：，
，
在和中，，
≌；
解：≌，
，
由三角形的外角性质得，，
在中，．
【解析】根据两直线平行，内错角相等可得，再利用“边角边”证明即可；
根据全等三角形对应角相等可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，再根据三角形的内角和等于列式计算即可得解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．
24.【答案】证明：在与中，
，
≌，
，
，
即；
在中，，
由勾股定理，得，
，而，
当时，最小，最大，
此时，，
即，
解得，，
的最大值为：；
如图，，
，
设，则，，
为的内心，
、分别平分，，
，，
，
，
，
即，
，．
【解析】通过全等三角形的判定定理“边角边”证≌，推出，可进一步推出；
在中，由勾股定理，求得的长，当时，最小，最大，由面积法求出的长，即可求出的最大值；
如图，由已知可推出，设，则，，推出，因为，可推出，即可写出，的值．
本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，三角形的内心，三角形的内角和定理等，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用三角形的内角和定理等．
25.【答案】解：小颖摆出如图所示的“整数三角形”：
小辉摆出如图所示三个不同的等腰“整数三角形”：

不能摆出等边“整数三角形”．
理由如下：设等边三角形的边长为，则等边三角形面积为．
因为，若边长为整数，那么面积一定非整数．
所以不存在等边“整数三角形”．
【解析】根据为“整数三角形”的定义画出图形即可．
不存在．设等边三角形的边长为，则等边三角形面积为因为，若边长为整数，那么面积一定非整数，由此即可判断．
本题考查作图应用设计作图、“整数三角形”的定义，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
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