第二章《一元二次方程》单元测试卷(困难)(含答案)

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名称 第二章《一元二次方程》单元测试卷(困难)(含答案)
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资源类型 试卷
版本资源 湘教版
科目 数学
更新时间 2022-08-30 16:18:57

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湘教版初中数学九年级上册第二章《一元二次方程》单元测试卷
考试范围:第二章;考试时间:120分钟;总分120分
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
第I卷(选择题)
一、选择题(本大题共12小题,共36分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
已知一元二次方程的一个根与方程的一个根互为相反数,那么的根是( )
A. , B. , C. , D. ,
为执行“均衡教育”政策,某区年投入教育经费万元,预计到年底三年累计投入亿元若每年投入教育经费的年平均增长百分率为,则下列方程正确的是( )
A.
B.
C.
D.
某超市月份营业额为万元,月、月、月总营业额为万元,设平均每月营业额增长率为,则下面所列方程正确的是( )
A.
B.
C.
D.
是下列哪个一元二次方程的根( )
A. B.
C. D.
已知方程组的解满足,则的值为( )
A. B. C. D.
在解方程时,对方程进行配方,文本框中是嘉嘉作的,文本框中是琪琪作的,对于两人的做法,说法正确的是( )
A. 两人都正确 B. 嘉嘉正确,琪琪不正确
C. 嘉嘉不正确,琪琪正确 D. 两人都不正确
若关于的一元二次方程有实数根,则的取值范围是( )
A. 且 B. 且 C. 且 D.
若关于的方程的根是整数,则满足条件的整数的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
实数,,满足,则( )
A. B. C. D.
某商品的进价为每件元.当售价为每件元时,每星期可卖出件,现需降价处理,为抢占市场份额,且经市场调查:每降价元,每星期可多卖出件.现在要使利润为元,每件商品应降价元.( )
A. B. C. D.
某商品的进价为每件元.当售价为每件元时,每星期可卖出件,现需降价处理,为抢占市场份额,且经市场调查:每降价元,每星期可多卖出件.现在要使利润为元,每件商品应降价元.( )
A. B. C. D.
某商店将进价为元的商品按每件元出售,每天可销售件,现商家采用提高售价,减少进货量的方法增加利润,如果这种商品每件涨元,其销量就会减少件,那么要使利润为元,需将售价定为( )
A. 元 B. 元 C. 元或元 D. 元
第II卷(非选择题)
二、填空题(本大题共4小题,共12分)
若是方程的一个根,则的值是______________.
九章算术卷九“勾股”中记载:今有立木,系索其末,委地三尺.引索却行,去本八尺而索尽.问索长几何?译文:今有一竖立着的木柱,在木柱的上端系有绳索,绳索从木柱上端顺木柱下垂后,堆在地面的部分尚有尺.牵着绳索绳索头与地面接触退行,在距木柱根部尺处时绳索用尽.问绳索长是多少?设绳索长为尺,可列方程为________________.
若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是__________.
如图,某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道,剩余的部分种植花草.如图,要使种植花草的面积为,则小道进出口的宽度为________.
三、解答题(本大题共9小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
如图,≌,,、、在同一条直线上.
若,,连接,求的长.
如图,设、、是和的边长,这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾股方程”.
写出一个“勾股方程”;
判断关于的“勾股方程”根的情况并说明理由;
若是“勾股方程”的一个根,且四边形的周长是,求的面积.
若是关于的一元二次方程,求,的值张敏是这样考虑的:满足条件的,必须满足张敏的这种想法全面吗若不全面,请写出其余满足的条件.
当为何值时,关于的方程为一元二次方程,并求这个一元二次方程的解.
先阅读方框中方程的求解过程,然后解答问题:
解方程:.
解:设,原方程可化为:.
解得,.
当时,.
解得,.
当时,.
解得,.
所以原方程的解为:,,,.
解方程:.
解方程:.
直接写出方程的解.
如图所示,在平面直角坐标系中,点,分别在轴,轴的正半轴上,线段的长是不等式的最大整数解,线段的长是一元二次方程的一个解,将沿折叠,使边落在边所在的轴上,点与点重合.
求,的长.
求直线的解析式.
在坐标平面内是否存在点,使以点,,,为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上,点的坐标为,一次函数的图像与边、分别交于点、,并且满足是线段上的一个动点.
求的值
连接,若的面积与四边形的面积之比为,求点的坐标
设是轴上方平面内的一点,以、、、为顶点的四边形是菱形,求点的坐标.
已知关于的一元二次方程.
证明:不论为何值时,方程总有实数根;
为何整数时,方程有两个不相等的正整数根.
已知关于的一元二次方程
如果该方程有两个不相等的实数根,求的取值范围;
在的条件下,当该方程的根都是整数,且时,求的整数值.
某农村居委会以元的成本收购了一种农产品吨,目前就可以按元吨的价格全部销往外地,如果将该农产品先储藏起来,每星期的重量会损失吨,且每星期需支付各种费用共元,每星期每吨的价格能上涨元,但储藏时间不超过个星期,那么储藏多少个星期出售这种农产品可获利元?
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了相反数、一元二次方程的解,关键是根据相反数的定义得到关于的方程,解方程求得的值根据一元二次方程的一个根与方程的一个根互为相反数,可得关于的方程,解方程可求的值,将的值代入方程求解即可.
【解答】
解:一元二次方程的一个根与方程的一个根互为相反数,



解得舍去,,
把代入得,
解得,.
故选A.
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列出方程设每年投入教育经费的年平均增长百分率为,根据题意可得,年投入教育经费年投入教育经费增长率年投入教育经费增长率亿元,据此列方程.
【解答】
解:设每年投入教育经费的年平均增长百分率为,
由题意得:.
故选D.
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查增长率问题,然后根据增长率和已知条件抽象出一元二次方程.
增长率问题,一般用增长后的量增长前的量增长率,由此可以求出第二个月和第三个月的营业额,而第一季度的总营业额已经知道,所以可以列出一个方程.
【解答】
解:设平均每月营业额的增长率为,
则第二个月的营业额为:,
第三个月的营业额为:,
则由题意列方程为:.
故选D.
4.【答案】
【解析】解:中,,不合题意;
B.中,,不合题意;
C.中,,不合题意;
D.中,,符合题意;
故选D.
用公式法解一元二次方程的一般步骤为:把方程化成一般形式,进而确定,,的值;求出的值若,方程无实数根;在的前提下,把、、的值代入公式进行计算求出方程的根.
本题主要考查了公式法解一元二次方程,熟记求根公式是解题的关键.
5.【答案】
【解析】解:,
得:,即,
代入中,得:,
解得:.
故选C.
首先将方程组中两方程相加表示出,代入中求出的值即可.
此题考查了二元一次方程组,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是配方法解一元二次方程利用完全平方有关知识,首先对该式进行配方,然后再进行解答.
【解答】
解:嘉嘉作法正确,
琪琪的作法也正确,但是在进行配方的时候,等号后面的少了负号,则错误.
故选B.

7.【答案】
【解析】解:关于的一元二次方程有实数根,
且,
解得:且.
故选:.
根据二次项系数非零及根的判别式,即可得出关于的一元一次不等式组,解之即可得出结论.
本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式,根据二次项系数非零结合根的判别式,找出关于的一元一次不等式组是解题的关键.
8.【答案】
【解析】解:当时,原方程为,
解得:,
符合题意;
当时,,
解得:,,
方程的根是整数,
为整数,为整数,

综上可知:满足条件的整数为、和.
故选:.
当时,可求出的值,根据的值为整数可得出符合题意;时,利用分解因式法解一元二次方程可求出的值,再根据的值为整数结合的值为整数即可得出的值.综上即可得出结论.
本题考查了因式分解法解一元二次方程,熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.
9.【答案】
【解析】解:设一元二次方程为
当时,原方程化为
所以一元二次方程为有实数根,
所以.
故选:.
根据根的判别式,一元二次方程有实数根时,.
本题考查了一元二次方程根的判别式,解决本题的关键是用特殊值法.
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用,设应降价元,根据每降价元,每星期可多卖出件,利润为元列出方程,求出的值即可.
【解答】
解:设应降价元,由题意得

解得,,
要抢占市场份额,
每件商品应降价元.
故选A.

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用,设应降价元,根据每降价元,每星期可多卖出件,利润为元列出方程,求出的值即可.
【解答】
解:设应降价元,由题意得

解得,,
要抢占市场份额,
每件商品应降价元.
故选A.

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是一元二次方程的应用.读懂题意,找到等量关系准确的列出方程是解题的关键.设售价为元,则利用每一件的销售利润每天售出的数量每天利润,解方程求解即可.
【解答】
解:设售价为元,根据题意列方程得

整理得:,
解得,.
故将每件售价定为或元时,才能使每天利润为元.
又题意要求采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润,
故应将商品的售价定为元.
故选A.

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
先根据一元二次方程的定义得到,再把变形为,然后利用整体代入的方法计算.
【解答】
解:把代入,得,则.
所以.
故答案是.
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是的应用,读懂题意是解题的关健.
【解答】
解:设绳索长为,
根据题意可得:.
故答案为.
15.【答案】且
【解析】
【分析】
此题考查了一元二次方程根的判别式和一元额度如此方程的定义,根的判别式的值大于,方程有两个不相等的实数根;根的判别式的值等于,方程有两个相等的实数根;根的判别式的值小于,方程没有实数根根据方程有两个不相等的实数根,得到根的判别式的值大于列出不等式,且二次项系数不为,即可求出的范围.
【解答】
解:一元二次方程有两个不相等的实数根,
,且,
解得:且.
故答案为且.
16.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用和图形的平移,解题的关键是利用图形的平移和等面积法,把阴影部分转化为一横和两竖的小道,并列出方程.设小道进出口的宽度为米,然后利用其种植花草的面积为平方米列出方程求解即可.
【解答】
解:若小道进出口的宽度为,
根据题意,得.
整理,得,
解得,不合题意,舍去.
故小道进出口的宽度为.

17.【答案】解:≌,
,,,,





当,,时,勾股方程为;
关于的“勾股方程”必有实数根,
理由:根据题意,得:
,即,
勾股方程必有实数根;
当时,有,即
,即

,,


【解析】由≌知,,,,再证,,利用勾股定理可得答案;
直接找一组勾股数代入方程即可;
通过判断根的判别式的正负来证明结论;
利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值,根据完全平方公式求得的值,从而可求得面积.
本题是四边形的综合问题,考查勾股定理的应用、一元二次方程的根与系数的关系、完全平方公式等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
18.【答案】解:张敏的想法不全面,
由是关于的一元二次方程可得
或或或或
【解析】见答案.
19.【答案】解:根据题意得:

解得:,
即原方程为:,
解得:,.
【解析】根据一元二次方程的定义,得到关于的一元二次方程和关于的不等式,解之即可得到的值,代入原方程解一元二次方程即可.
本题考查了一元二次方程的定义,正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键.
20.【答案】解:设,原方程可化为:.
解得,,
当时,.
解得,;
当时,,
解得,,
所以原方程的解为:,,,;
设,
原方程可化为:,
解得,,
当时,,
解得,;
当时,,此方程没有实数解;
所以原方程的解为,;
设,原方程可化为:,
去分母得,
解得,,
当时,,
去分母得,
解得,;
当时,,
去分母得,此方程没有实数解,
经检验,,为原方程的解,
所以原方程的解为,.
【解析】本题考查了解一元二次方程因式分解法:因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法.也考查了换元法解方程.
设,原方程可化为:,解关于的方程得到和,然后分别解关于的一元二次方程即可;
设,原方程可化为:,解关于的方程得到和,然后分别解关于的一元二次方程即可;
设,原方程可化为,解关于的分式方程得到,,则和,然后分别解关于可化为一元二次方程的分式方程即可.
21.【答案】解:,






,,
,,

答:,;
在中,,,由勾股定理得:,


设,
将沿折叠,使边落在边上,与重合,
,,
,,
在中,由勾股定理得:,
解得:,
即的坐标是:.
设直线的解析式是,
把、的坐标代入得:,
解得:,,
直线的解析式是;
如图所示:
在平面内存在点,使、、、为顶点的四边形为平行四边形,点的坐标是或或.
【解析】本题考查了解一元一次不等式,解一元二次方程,勾股定理,平行四边形性质,折叠问题的应用,能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键.
求出不等式的解集,求出,求出方程的解,得出;
根据对折得出,,设,在中,由勾股定理得出方程,求出,得出的坐标,设直线的解析式是,把、的坐标代入求出即可;
分别以、、为对角线,得出符合条件的四边形有三个,根据、的坐标即可求出的坐标.
22.【答案】解:矩形的顶点的坐标为,
,.
在中,令,得,点的坐标为..
,.点的坐标是.
点在直线上,,
,解得.
答:的值为.
由,得点、的坐标分别为、,
,..
的面积与四边形的面积之比为,

设线段上的点的坐标为,易知,则点到的距离为.
,解得.点的坐标为
答:点的坐标为
设线段上的点的坐标为由,得点、的坐标分别为、,,.
分两种情况讨论:当作为菱形的对角线时,如图,得菱形,
,、互相平分.,解得,
点的坐标为,此时点的坐标为
当作为菱形的一边时,如图,得菱形,
,根据点的坐标为,可得点的坐标为.
过点作轴于点,则在中,,.
由勾股定理,得,
化简,得.
由题意,点不在轴上,即,
在等式两边同时除以,得,解得.
此时点的坐标为
综上所述,满足题意的点的坐标为或
【解析】本题考查大道行思求一次函数的解析式,一次函数图像是点的坐标特征,三角形的面积,矩形的性质,菱形的性质,一元一次方程和一元二次方程的解法,分类讨论的数学数学法,平面直角坐标系中点的坐标的确定,一次函数综合题,难度较大.
首先在一次函数的解析式中令,即可求得的坐标,则的长度即可求得,,则的坐标即可利用表示出来,然后代入一次函数解析式即可得到关于的方程,求得的值;
首先求得四边形的面积,则的面积即可求得,设出的横坐标,根据三角形的面积公式即可求得的横坐标,进而求得的坐标;
分成四边形是菱形和四边形是菱形两种情况进行讨论,四边形是菱形时,是的中垂线与的交点,关于的对称点就是;
四边形是菱形,,在直角上,设出的坐标,根据即可求得的坐标,则根据和的中点重合,即可求得的坐标.
23.【答案】证明:

不论为何值时,,

方程总有实数根;
解:解方程得,,
,,
方程有两个不相等的正整数根,
或,不合题意,

【解析】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用,掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系:方程有两个不相等的实数根;方程有两个相等的实数根;方程没有实数根是解题的关键.
求出方程根的判别式,利用配方法进行变形,根据平方的非负性证明即可;
利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根,根据题意求出的值.
24.【答案】解:由题意,
方程有两个不相等的实数根,
,即,
解得:,
则的取值范围为和;



,,
当是整数时,可得或或,
,不合题意,舍去,
的值为或.
【解析】由方程根的情况,根据根的判别式可得到关于的不等式,则可求得的取值范围;
令,表示出,根据该方程的根都是整数都是整数,根据的范围即可确定出的整数值.
此题考查一元二次方程的定义,根的判别式,熟练掌握公式及法则是解本题的关键.
25.【答案】解:设储藏个星期出售这种农产品可获利元,

解得,,舍去,
即储藏个星期出售这种农产品可获利元.
【解析】根据题意可以列出相应的一元二次方程,从而可以解答本题.
本题考查一元二次方程的应用,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程,注意储藏时间不超过个星期.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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