人教A版（2019）选修第一册 2.1.1直线的倾斜角与斜率 课件（共35张ppt）

(共35张PPT)
2.1.1直线的倾斜角与斜率
第 2 章直线和圆的方程
人教A版2019选修第一册
01直线的倾斜角
02直线斜率的计算
目录
03直线的倾斜角及斜率的应用
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的
几何要素.(数学抽象)
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.(数学抽象)
3.掌握倾斜角和斜率之间的关系.(逻辑推理)
4.掌握过两点的直线斜率的计算公式.(数学运算)
学习目标
解析几何是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的，
它的基本内涵和方法是：通过坐标系，把几何的基本元素
——点和代数的基本对象——数(有序数对或数组)对应起来，
在此基础上建立曲线(点的轨迹)的方程，从而把几何问题转化
为代数问题，再通过代数方法研究几何图形的性质. 解析几何
的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学从此进人变量数学
时期，它为微积分的创建奠定了基础.
本章我们将在平面直角坐标系中，探索确定直线位置的几何
要素，建立直线的方程，并通过直线的方程研究两条直线的位
置关系、交点坐标以及点到直线的距离等. 类似地，通过确定
圆的几何要素，建立圆的方程，再通过圆的方程研究与圆相关
的问题；最后应用直线和圆的方程解决一些实际问题.
2.1 直线的倾斜角与斜率
我们知道，点是构成直线的基本元素. 在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，那么，如何用坐标表示直线呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来.
2.1.1 倾斜角与斜率
思考1 确定一条直线的几何要素是什么 对于平面直角坐标系中的一条直线l， 如何利用坐标系确定它的位置
O
y
x
l
1.直线的倾斜角
情景引入
两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线，
设A,B为直线上的两点，则AB就是这条直线的方向向量，所
以，两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条
直线
A
B
直线的倾斜角
问题1：在直角坐标系中，过点P的一条直线绕P点旋转，不管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情形？画图表示。
x
o
y
P
x
o
y
P
x
o
y
P
x
o
y
P
O
x
y
P
α
α
(1)当直线l 与x轴相交时，我们取 x 轴为基准， x 轴正向与直线l 向上方向之间所形成的角α叫做直线l的倾斜角。
l
l
注意：
(1)直线向上方向；
(2)x轴的正方向。
(2)规定当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°
l
1、直线倾斜角的定义：
2、直线倾斜角α的取值范围：
0°≤α＜180°　
倾斜角相同能确定一条直线吗？
x
o
y
一点+倾斜角 确定一条直线
（两者缺一不可）
3、直线倾斜角的意义
体现了直线对x轴正方向的倾斜程度
①平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角;
②倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角;
③倾斜程度相同的直线其倾斜角相同.
思考：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量呢？
x
y
o
α
前进量
升
高
量
“坡度比”
是“倾斜角”
的正切值.
已知直线l过原点,l绕原点按顺时针方向转动角α(0°<α<180°)后,恰好
与y轴重合,求直线l转动前的倾斜角是多少
思路分析:画草图→标记α→找倾斜角与α的关系→求倾斜角
解:由题意画出如下草图.由图可知:
当α为钝角时,倾斜角为α-90°,
当α为锐角时,倾斜角为α+90°,
当α为直角时,倾斜角为0°.
典例1
设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,
得到直线l1,那么l1的倾斜角为(　　)
A.α+45° B.α-135° C.135°-α
D.当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,倾斜角为α-135°
解析:根据题意,画出图形,如图所示:
因为0°≤α<180°,显然A,B,C未分类讨论,均不全面,不合题意.通过画图(如图所示)可知:当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.故选D.
答案:D
练一练
1. 当直线l与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°, 当直线l
与x轴垂直时, 它的倾斜角为90°, 因此, 直线的倾斜角的取值范围为:
[0°, 180°).
注意：
3. 在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，
而且方向相同的直线(平行或重合)，其倾斜程度相同，倾斜角
相等；方向不同的直线(相交)，其倾斜程度不同，倾斜角不相
等. 因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线
的倾斜程度，也就表示了直线的方向.
O
y
x
l1
α1
l2
l3
α2
α3
2. 过一点P且倾斜角为 的直线是唯一的.
2. 直线斜率的计算
探究 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α.
(1) 已知直线l经过O(0, 0), P( , 1), α与O, P的坐标有什么关系
(2) 类似地，如果直线l经过P1(-1, 1), P2( , 0), α与P1, P2的坐标又有什么关系
(3) 一般地，如果直线l经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), x1≠x2, 那么α与P1, P2的坐标有怎样的关系
O
y
x
α
O
y
x
α
α


O
y
x
α
α


思考2 当直线P1P2与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗 为什么
定义：
2. 直线的的斜率
3. 当直线的倾斜角是90°时，直线与x轴垂直，此时直线斜率不存在.
我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率，用小写字母 k 表示，即
1. 倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率，例如，倾斜角 = 60°时，这条直线的斜率为
2. 倾斜角 = 120°时，这条直线的斜率为
4. 日常生活中常用“坡度”表示倾斜面的倾斜程度: 坡度=铅直高度/水平宽度当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的.
注：
5. 如果直线经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), x1≠x2, 那么直线的斜率满足公式:
上述公式叫做直线的斜率公式.
O
思考3 当直线的倾斜角 由0°逐渐增大到180°时,
其斜率k如何变化 为什么
当0°≤ <90°时, k>0, 且k随 的增大而增大.
当90°< <180°时, k<0, 且k随 的增大而增大.
练习1 若45°≤ ≤135°, 则斜率k的取值范围为______________.
练习2 若-1≤k≤1, 则倾斜角 的取值范围为_____________________.
[0°, 45°]∪[135°, 180°)
(-∞, -1]∪[1, +∞)
思考4 (1) 已知直线上的两点A(x1, y1), B(x2, y2), 运用斜率公式计算
直线AB的斜率时, 与A, B两点的顺序有关吗
(2)当直线平行于y轴, 或与y轴重合时, 上述公式还适用吗 为什么
①直线AB的斜率与A, B的顺序无关，即
②当直线平行于y轴，或与y轴重合时，倾斜角为90°，斜率不存在，故不适用斜率公式.
所以若直线一个方向向量的坐标为(x, y), 则
我们知道, 直线AB上的向量 以及与它平行的向量都是直线的方向向量.
因此, 若直线AB的斜率为k, 则它的一个方向向量可以是
也可以是
公式的特点:
(1)与两点的顺序无关;
(2) 公式表明,直线对于x轴的倾斜度,可以通过直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角;
(3)当x1=x2时,公式不适用,此时直线与x轴垂直,α=900
已知A(3, 2)，B(-4, 1)，C(0，-1)过点C的直l线段
AB有公共点，求l的斜率k的取值范围。
O
x
y
A
C
B
典例2
(1)应用斜率公式求斜率时应注意的问题
①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率不存在．
②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．
(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记．
倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率k 0 1 －1
3.直线的倾斜角
及斜率的应用
如图示, 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1),
求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断这些
直线的倾斜角是锐角还是钝角.
O
y
x
A(3,2)
B(-4,1)
C(0,-1)
1
-1
-2
典例3
已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1).
(1)当m为何值时,直线l的斜率是1
(2)当m为何值时,直线l的倾斜角为90°
(2)l的倾斜角为90°,即l平行于y轴,所以m+1=2m,得m=1.
延伸探究1 本例条件不变,试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围.
延伸探究2 若将本例中的“N(2m,1)”改为“N(3m,2m)”,其他条件不变,结果如何
典例4
光线从点A(2,1)射到y轴上的点Q,经y轴反射后过点B(4,3),试求点Q的坐标
及入射光线的斜率.
(方法2)设Q(0,y),如图,点B(4,3)关于y轴的对称点为B'(-4,3),
金题典例
典例5
课本练习
1. 已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率:
2. 已知下列直线的斜率，求直线的倾斜角:
3. 求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角:
(1) C(18, 8)，D(4, -4); (2) P(0, 0)，Q(-1, 3).
4. 已知a, b, c是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的倾斜角:
(1) A(a, c), B(b, c); (2) C(a, b), D(a, c); (3) P(b, b+c), Q(a, c+a).
5. 经过A(0, 2), B(-1, 0)两点的直线的方向向量为(1, k)，求k的值.
变式 经过A(0, 2), B(-1, 0)两点的直线的方向向量为(2, k)，求k的值
巩固提升练
D
1.下列说法中，正确的是 (　　)
A. 直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα
B. 直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α
C. 若直线的倾斜角为α，则sinα＞0
D. 任意直线都有倾斜角α，且α ≠ 90°时，斜率为tanα
2.已知经过A(m,2), B(-m,2m-1)的直线的倾斜角为α,
且45°<α<135°, 试求实数m的取值范围.
解：
A(0,2), B(0, -1),
当m=0时，
直线AB倾斜角α=90°. 符合题意.
直线AB⊥x轴，
直线AB的斜率为
当m≠0时，
或
或
解得
故m的取值范围为
即
或
3.已知直线l的一个方向向量为
求直线l的倾斜角和斜率.
解:
是直线l的一个方向向量,
即
又
∴直线l的倾斜角为 ，斜率为
1．直线的倾斜角
定义 当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
规定 当直线l与x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为0°.
图示
范围
0°≤α<180°
课堂小结
2．直线的斜率
定义(α为直 线的倾斜角) α≠90° 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率
α＝90° 直线的斜率不存在
记法 k，即k＝
范围
tan α
R
公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为
k＝
作用 用实数反映了平面直角坐标系内直线相对于x轴的
倾斜程度