微专题 与两异面直线成等角问题 讲义-2022-2023学年高二上学期数学沪教版（2020）必修第三册

学生版
1、异面直线所成的角
设a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的锐角
(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)；
2、已知直线a，b是两条异面直线， 如何作出这两条异面直线所成的角？
提示：如图，在空间中任取一点O，
作直线a′∥a，b′∥b，
则两条相交直线a′，b′所成的锐角或直角θ，
即两条异面直线a，b所成的角；
3、a′与b′所成角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常点O取在什么位置？
提示：a′与b′所成角的大小只由a，b的相互位置确定，与点O的选择无关，一般情况下为了简便，
点O选取在两条直线中的一条直线上．
例1、如图，在正四面体D－ABC中，P∈平面DBA，
则在平面DAB内过点P与直线BC成60°角的直线共有(　　)
A．0条
B．1条　
C．2条
D．3条
【提示】
【答案】
【解析】
例2、若异面直线所成的角为，则过空间一点且与所成的角都为的直线
有多少条？
【说明】本题借助考查异面直线所成角的定义与作法；渗透了在立体几何中如何考查数形结合与探究、归纳与、证明；
已知异面直线、所成的角为，过空间一点作与、都成角的直线；
则这样的直线的条数
对异面直线所成角问题，关键是“适当”找点；注意数形结合与结合“运动、变化”的趋势；
已知异面直线a，b所成的角为60°，过空间一点O的直线与a，b所成的角均为60°，这样的
直线有（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2、在正方体ABCD-A1B1C1D1各个面的对角线中与AD1所成的角为60°的有（ ）
A．4条 B．6条 C．8条 D．10条
已知异面直线所成角为，过空间一点有且仅有条直线与所成角都是，则的取值
范围是___________.
教师版
1、异面直线所成的角
设a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的锐角
(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)；
2、已知直线a，b是两条异面直线， 如何作出这两条异面直线所成的角？
提示：如图，在空间中任取一点O，
作直线a′∥a，b′∥b，
则两条相交直线a′，b′所成的锐角或直角θ，
即两条异面直线a，b所成的角；
3、a′与b′所成角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常点O取在什么位置？
提示：a′与b′所成角的大小只由a，b的相互位置确定，与点O的选择无关，一般情况下为了简便，点O选取在两条直线中的一条直线上．
例1、如图，在正四面体D－ABC中，P∈平面DBA，
则在平面DAB内过点P与直线BC成60°角的直线共有(　　)
A．0条
B．1条　
C．2条
D．3条
【提示】注意：理解异面直线定义的定义中的“点，平行”等关键词；
【答案】C；
【解析】在平面DAB内过P点与DB或AB平行的直线都与BC成60°的角，
实际上只要求得在平面DAB内过点B且与直线BC成60°角的直线的条数；
在空间过点B与直线BC成60°角的直线构成以BC为轴，BD为母线的圆锥侧面，
此圆锥侧面与平面DAB只有两条交线；因此满足题意的直线只有2条；
例2、若异面直线所成的角为，则过空间一点且与所成的角都为的直线
有多少条？
【提示】 把直线都平移到过点，
如图，由已知，则，
是的平分线，是的平分线，
，，
垂直于直线确定的平面，直线与所确定的平面与垂直，同样直线与确定的平行也与垂直，在这两个平面内与成相等的角且最小的直线是角平分线，即知最小值一个是，一个是，然后根据角的大小可判断各选项，注意成角的直线也只有一条；
【解析】由已知与异面直线所成角都为，则
直线都平移到过点，
如图，由已知，则，
是的平分线，是的平分线，
，，
垂直于直线确定的平面，直线与所确定的平面与垂直，同样直线与
确定的平行也与垂直；
过的直线与所成的角相等，此直线只能在这两个平面内，
直线与平面所成的角是；
由最小角定理，在平面内的直线与直线所成的角最小值，而
直线绕点旋转到位置，角度增大到；
（1）当时，有0条；
（2）当时，有1条；
（3）当时，有2条；
（4）当时，有3条；
（5）当时，有4条；
（6）当时，有1条；
【说明】本题借助考查异面直线所成角的定义与作法；渗透了在立体几何中如何考查数形结合与探究、归纳与、证明；
例3、已知异面直线、所成的角为，过空间一点作与、都成角的直线；则这样的直线的条数
【提示】注意：数形结合地理解与作异面直线所成的角；
【答案】
【解析】过点作异面直线、的平行线、，则直线、交成、两个角.
当时，直线不存在；
当时，直线只能是直线、所夹角的平分线，故有1条；
当时，过点在空间可作2条直线与直线、均成角；
当时，直线可以是角的平分线，再加上前一情况的2条，此时共有3条；
当时，过点在空间可以作4条直线与直线、均成角；
对异面直线所成角问题，关键是“适当”找点；注意数形结合与结合“运动、变化”的趋势；
已知异面直线a，b所成的角为60°，过空间一点O的直线与a，b所成的角均为60°，这样的
直线有（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C；
【解析】把直线平移为相交直线，设这两条相交直线确定的平面为，在平面内作直线夹角的平分线，有两条，一条与它们夹角为30°，记为直线；一条与它们夹角为60°，记为直线，过直线与垂直的平面为，过直线与平面垂直的平面为，在平面内绕的交点旋转直线，可得与 成60°的直线，有两条，在平面内与直线夹角为60°的直线只有1条即为，因此与所成的角均为60°的直线有3条，故选C；
2、在正方体ABCD-A1B1C1D1各个面的对角线中与AD1所成的角为60°的有（ ）
A．4条 B．6条 C．8条 D．10条
【答案】C；
【解析】由图可知△AB1D1和△AD1C均是等边三角形，所以B1D1，AB1，CD1，AC与AD1成60°角．根据平行关系，可知 BD，C1D，A1B，A1C1也与AD1成60°角，故满足题意的面对角线共有8条，故选C；
3、已知异面直线所成角为，过空间一点有且仅有条直线与所成角都是，则的取值范围是___________.
【提示】将直线平移交于点，并作及其外角的角平分线；根据过空间一点有且仅有条直线与所成角都是，可知方向上有两条，方向上不存在，由此可得范围；
【答案】
【解析】将直线平移交于点，设平移后的直线为，
过点作及其外角的角平分线，则；
在方向，要使过空间一点的直线，且与所成角都是的直线有两条，则；
在方向，要使过空间一点的直线，且与所成角都是的直线不存在，则；
综上所述：.
故答案为：.