[分式方程的应用]
一、选择题
1.[2021·长沙] 随着5G网络技术的发展,市场对5G产品的需求越来越大,为满足市场需求,某大型5G产品生产厂家更新技术后,加快了生产速度,现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品,现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同,设更新技术前每天生产x万件,依据题意得 ( )
A.= B.=
C.= D.=
2.[2021·荆州] 八年级学生去距学校10千米的荆州博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20分钟后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的
2倍,求骑车学生的速度.若设骑车学生的速度为x 千米/时,则可列方程为 ( )
A.-=20 B.-=20
C.-= D.-=
3.衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树,原计划总产值30万千克,为了满足市场需要,决定改良梨树品种,改良后平均每亩的产量是原来的1.5倍,总产量比原计划增加了6万千克,种植亩数减少了10亩,则原来平均每亩的产量是多少万千克 设原来平均每亩的产量为x万千克,根据题意,列方程为 ( )
A.-=10 B.-=10
C.-=10 D.+=10
二、填空题
4.某商场购进一批服装,每件的进价为200元,由于换季滞销,商场决定将这种服装按标价的六折销售,若打折后每件服装仍能获利20%,则该服装的标价是 元.
5.某市今年起调整居民用水价格,每立方米水的费用上涨20%,小方家去年12月份的水费是26元,而今年5月份的水费是50元.已知小方家今年5月份的用水量比去年12月份多8立方米.设去年居民用水价格为x元/米3,则所列方程为 .
6.[2021·江西] 斑马线前“车让人”,不仅体现着一座城市对生命的尊重,也直接反映着城市的文明程度.如图所示,某路口的斑马线路段A-B-C横穿双向行驶车道,其中AB=BC=6米,在绿灯亮时,小明共用11秒通过AC,其中通过BC的速度是通过AB速度的1.2倍,求小明通过AB时的速度.设小明通过AB时的速度是x米/秒,根据题意列方程为 .
三、解答题
7.张家界到长沙的距离约为320千米,小明开着大货车,小华开着小轿车,都从张家界出发同时去长沙,已知小轿车的速度是大货车的1.25倍,小华比小明提前1小时到达长沙,则大货车和小轿车的速度分别是多少
8.某校进行期末体育达标测试,甲、乙两班的学生数相同,甲班有48人达标,乙班有45人达标,甲班的达标率比乙班高6%,求乙班的达标率.
9.[2021·威海] 小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球.他们两家到体育公园的距离分别是1200米、3000米.小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍,若二人同时到达,则小明需提前4分钟出发,求小明和小刚两人的速度.
10.[2021·张家界] 今年疫情防控期间,某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要.随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足,消毒液每瓶下降了2元,学校又购买了一批消毒液,花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等,求第一批购进的消毒液的
单价.
11.为落实党中央“长江大保护”的新发展理念,我市持续推进长江岸线的保护,还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌.某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除,回填土方和复绿施工,为了缩短工期,该工程队增加了人力和设备,实际工作效率比原计划提高了20%,结果提前11天完成任务,求实际平均每天施工多少平方米.
[方案决策问题] 某服装店用4500元购进一批衬衫,很快售完,服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫,进货量是第一次的一半,但进价每件比第一批降低了10元.
(1)这两次各购进这种衬衫多少件
(2)若第一批衬衫的售价是200元/件,老板想让这两批衬衫售完后的总利润为1950元,则第二批衬衫每件的售价为多少元
答案
1.B 根据题意可知生产时间=数量÷效率,而且生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同,所以=,因此本题选B.
2.C 设骑车学生的速度为x千米/时,则汽车的速度为2x千米/时.依题意,得-=.因此本题选C.
3.A 本题的等量关系为原计划种植的亩数-改良后种植的亩数=10,据此可列出方程-=10.故选A.
4.400
5.-=8
本题的等量关系是“今年5月份的用水量-去年12月份的用水量=8立方米”.
6.+=11 小明通过AB时的速度是x米/秒,则通过BC时的速度是1.2x米/秒,根据题意列方程,得+=11.
7.解:设大货车的速度是x千米/时,则小轿车的速度是1.25x千米/时.
由题意,得-=1,解得x=64.
经检验,x=64是原方程的解,且符合题意,
则1.25x=1.25×64=80.
答:大货车的速度是64千米/时,小轿车的速度是80千米/时.
8.解:设乙班的达标率是x,则甲班的达标率为x+6%.依题意,得=,解这个方程,得x=0.9.
经检验,x=0.9是所列方程的根,且符合题意.
答:乙班的达标率为90%.
9.解:设小明的速度为x米/分,则小刚的速度为3x米/分.
根据题意,得-4=,
解得x=50.
经检验,x=50是原分式方程的解.
3x=150.
答:小明的速度是50米/分,小刚的速度是150米/分.
10.解:设第一批购进的消毒液的单价为x元/瓶.
根据题意,得=,
解得x=10.
经检验:x=10是原分式方程的根,且符合题意.
答:第一批购进的消毒液的单价为10元/瓶.
11.解:设原计划平均每天施工x平方米,则实际平均每天施工(1+20%)x平方米.
依题意,得-=11,解得x=500,
经检验x=500是原分式方程的解,且符合题意.
实际平均每天施工(1+20%)×500=600(米2).
答:实际平均每天施工600平方米.
[素养提升]
解:(1)设第一次购进这种衬衫x件,则第二次购进这种衬衫x件.
根据题意,得-10=,
解得x=30.
经检验,x=30是原方程的解,且符合题意,
则x=15.
答:第一次购进这种衬衫30件,第二次购进这种衬衫15件.
(2)设第二批衬衫每件的售价为y元.
根据题意,得
200-×30+15y-=1950.
解得y=170.
答:第二批衬衫每件的售价为170元才能使两批衬衫售完后的总利润为1950元.[可化为一元一次方程的分式方程]
一、选择题
1.下列关于x的方程中,是分式方程的是 ( )
A.-1= B.+x=2
C.+1= D.+3=1
2.把分式方程=转化为一元一次方程时,方程两边需同乘 ( )
A.x B.2x
C.x+4 D.x(x+4)
3.[2021·成都] 已知x=2是分式方程+=1的解,那么k的值为 ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
4.[2021·株洲] 关于x的分式方程-=0的解为 ( )
A.x=-3 B.x=-2
C.x=2 D.x=3
5.对于有理数a,b,定义一种新运算“ ”为a b=,这里等式右边是通常的有理数运算.例如:1 3==-,则方程x (-2)=-1的解是 ( )
A.x=4 B.x=5
C.x=6 D.x=7
二、填空题
6.[2021·岳阳] 分式方程=的解为x= .
7.若代数式-1的值为零,则x= .
8.若代数式与的值相等,则x= .
9.[2021·潍坊] 若关于x的分式方程=+1有增根,则m= .
10.若关于x的分式方程+=2a无解,则a的值为 .
三、解答题
11.解分式方程:
(1)=; (2)=;
(3)+=0; (4)+=.
12.小明解方程-=1的过程如下:
解:方程两边同乘最简公分母x,得
1-(x-2)=1,……①
去括号,得1-x-2=1,……②
合并同类项,得-x-1=1,……③
移项,得-x=2,……④
解得x=-2,……⑤
所以原方程的解为x=-2.……⑥
请指出他解答过程中的错误,并写出正确的解答过程.
13.当a为何值时,方程=2-有增根
14.[2021·乐山] 如图所示,点A,B在数轴上,它们对应的数分别为-2,,且点A,B到原点的距离相等,求x的值.
15.已知y=÷-,当x为何值时y的值为
16.阅读下列材料:=×,=×,=×,…,受此启发,请你解下面的方程:
++=.
[阅读理解] ①解方程:=-1的解为x= ;
②解方程:=-1的解为x= ;
③解方程:=-1的解为x= ;
④解方程:=-1的解为x= ;
……
(1)根据你发现的规律直接写出第⑤,⑥个方程及它们的解.
(2)请你用一个含正整数n的式子表示上述规律,并求出它的解.
答案
1.C 关于x的方程,即x为未知数的方程,故分母中含有x的方程是分式方程.
2.D
3.B 把x=2代入分式方程,得-1=1,解得k=4.故选B.
4.B 方程两边同时乘x(x-3),得2(x-3)-5x=0,解得x=-2.经检验,x=-2是原分式方程的解.故选B.
5.B 根据题意,得=-1.
去分母,得1=2-(x-4).解得x=5.
经检验x=5是原分式方程的解.
故选B.
6.1 去分母,得x+1=2x.解得x=1.经检验x=1是原分式方程的解.
7.3 由题意可得-1=0,方程的两边同时乘(x-1),得2-(x-1)=0.解得x=3.检验:当x=3时,x-1≠0,
所以x=3是原分式方程的解.
8.-12
9.3
10.1或 去分母,得x-3a=2a(x-3),
原方程化为(1-2a)x=-3a.
(1)当1-2a=0,即a=时,原方程无解.
(2)令3-x=0,得x=3,把x=3代入整式方程,得3-3a=2a(3-3),解得a=1.
11.解: (1)方程两边同乘最简公分母(x-3)(x-1),得x-3=3(x-1).
解得x=0.
经检验:x=0是原分式方程的解.
(2)方程两边同乘(x+1)(x-1),得2(x+1)=5.解得x=.
经检验:x=是原分式方程的解.
(3)方程两边同乘(x-1)(x+1),得-5x-5+x+5=0,
解得x=0.
检验:当x=0时,(x-1)(x+1)=-1≠0,
所以原分式方程的解为x=0.
(4)方程两边同乘x(x+1)(x-1),得7(x-1)+3(x+1)=6x.解得x=1.
检验:当x=1时,x(x+1)(x-1)=0,所以x=1是原方程的增根,即原方程无解.
12.解:小明的解法有三处错误:
步骤①去分母有误;步骤②去括号有误;步骤⑥前缺少“检验”步骤.
正确的解答过程如下:
方程两边同乘x,得1-(x-2)=x.
去括号,得1-x+2=x.
移项,得-x-x=-2-1.
合并同类项,得-2x=-3.
两边同除以-2,得x=.
经检验,x=是原方程的解.
所以原方程的解是x=.
13.解: 方程两边同乘最简公分母x-3,得
x-2=2(x-3)+a,
解得x=4-a.
将x=4-a代入x-3=0中,
得4-a-3=0,解得a=1.
所以当a=1时,方程=2-有增根.
14.解:根据题意,得=2,去分母,得x=2(x+1).去括号,得x=2x+2.解得x=-2.
经检验,x=-2是原方程的解.
15.解:y=·-=
-,所以当y的值为时, -=,解得x=-3,经检验x=-3是这个方程的解,且原分式方程有意义, 所以当x=-3时y的值为.
16. 注意++可以变形为++,再两两抵消,化简后把分式方程化为整式方程来解答.
解:++=,
++-=,
=,
2(x+9)-2x=9x,解得x=2.
经检验x=2是原方程的解.
所以原方程的解为x=2.
[素养提升]
解:方程的解依次为0,1,2,3
(1)⑤=-1的解为x=4,
⑥=-1的解为x=5.
(2)=-1的解为x=n-1.
