[三角形的高、角平分线和中线]
一、选择题
1.下列选项中画△ABC的一边上的高的画法正确的是 ( )
2.有下列说法:①三角形的角平分线、中线、高线都是线段;②直角三角形只有一条高线;③三角形的中线可能在三角形的外部;④三角形的高线都在三角形的内部,并且相交于一点.其中说法正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,下列结论错误的是( )
A.AD 是△ABC的角平分线
B.CE是△ACD的角平分线
C.∠3=∠ACD
D.CE是△ABC的角平分线
4.如图所示,在△ABC中,已知D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点,且S△ABC=4 cm2,则S阴影的值为( )
A.2 cm2 B.1 cm2 C. cm2 D. cm2
二、填空题
5.如图,在△ABC中,BD是角平分线,BE为中线.如果AC=12 cm,那么AE= cm;如果∠ABC=80°,那么∠ABD= °.
6.如图,AD是△ABC的中线,已知△ABD的周长为22 cm,AB比AC长3 cm,则△ACD的周长为 .
三、解答题
7.如图所示,在△ABC中,AB=3 cm,AC=4 cm,AD是BC边上的中线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高.求DE∶DF的值.
8.如图所示.
(1)在△ABC中,BC边上的高是 ;
(2)在△AEC中,AE边上的高是 ;
(3)在△FEC中,EC边上的高是 ;
(4)若AB=CD=2 cm,AE=3 cm,求S△AEC和CE的长.
[讨论分析题] 学校有一块菜地,示意图如图所示,现计划从点D表示的位置(BD∶DC=2∶1)开始挖一条小水沟,希望小水沟两边的菜地面积相等.有人说:如果D是BC的中点的话,由点D笔直地挖至点A就可以了,现在D不是BC的中点,问题就无法解决了,有人对此表示怀疑,说认真研究,一定能办到.你认为上面两种意见中的哪种对呢 请说出你的理由.
答案
[三角形的高、角平分线和中线]
1.C
2.A 只有说法①正确.
3.D
4.B 根据三角形的面积公式,得等底等高的两个三角形的面积相等,S阴影=S△BCE=S△ABC=1 cm2.故选B.
5.6 40 6.19 cm
7.解:因为AD是BC边上的中线,所以S△ABD=S△ACD,所以AB·DE=AC·DF,所以AB·DE=AC·DF,即3DE=4DF,所以DE∶DF=4∶3.
8.解:(1)AB (2)CD (3)FE
(4)因为AE=3 cm,CD=2 cm,
所以S△AEC=AE·CD=×3×2=3(cm2).
因为S△AEC=AB·CE=3 cm2,AB=2 cm,
所以CE=3 cm.
[素养提升]
解:后一种意见对.理由:根据等高的两个三角形的面积比等于它们底边的比,由BD∶DC=2∶1,得△ABD的面积∶△ACD的面积=2∶1,只需把△ABD的面积的分割给△ACD即可.如取AB的中点E,再取AE的中点F,则由点D笔直地挖至点F就可以了.[三角形的有关概念及三边关系]
一、选择题
1.如图所示,∠BAC的对边是 ( )
A.BD B.DC
C.BC D.AD
2.下列长度的三根小木棒不能搭成三角形的是( )
A.2 cm,4 cm,4 cm B.1 cm,1 cm,3 cm
C.3 cm, 4 cm,5 cm D.4 cm,5 cm, 6 cm
3.[2021·徐州] 若一个三角形的两边长分别为3 cm,6 cm,则它的第三边的长可能是( )
A.2 cm B.3 cm C.6 cm D.9 cm
4.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”,则图中以BC为公共边的“共边三角形”有( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.6对
5.有长分别为10,7,5,2的四根木条,选其中三根能组成三角形的是( )
A.10,7,5 B.10,7,2
C.10,5,2 D.7,5,2
6.已知a,b,c是△ABC的三条边长,化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为( )
A.2a+2b-2c B.2a+2b
C.2c D.0
二、填空题
7.图中有 个三角形,用符号表示这些三角形为__________________.
8.三角形的两边长分别为5 cm和12 cm,第三边与前两边中的一边相等,则三角形的周长为 .
9.已知以a,b,c为三边长的三角形,此三角形的周长为18 cm,且a+b=2c,b-a=0,则此三角形是 (填“不等边三角形”“等腰三角形”或“等边三角形”).
三、解答题
10.用一条长为21 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的3倍,求各边长;
(2)能围成一边长为5 cm的等腰三角形吗 为什么
11.如图,线段AB,CD相交于点O,试确定AB+CD与AD+BC的大小,并加以说明.
[操作探究题] 在平面内,分别用3根、5根、6根……火柴首尾依次相接(每根火柴的长度均为1),能搭成什么形状的三角形呢 通过尝试,列表如下.
火柴数 3 5 6 …
示意图 …
形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 …
(1)4根火柴能搭成三角形吗
(2)8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形 并画出它们的示意图.
答案
[三角形的有关概念及三边关系]
1.C
2.B
3.C 根据三角形三边的关系来进行判别,因为这个三角形的两边长分别为3 cm,6 cm,所以它的第三边长c的取值范围为3 cm4.B 以BC为公共边的“共边三角形”有△BDC与△BEC,△BDC与△BAC,△BEC与△BAC,共3对.
5.A
6.D 根据三角形三边满足的条件:任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,即可确定a+b-c>0,c-a-b<0,所以|a+b-c|-|c-a-b|=a+b-c+c-a-b=0.
7.5 △ABE,△ADE,△CDE,△ABD,△ACD 图中以E为顶点的三角形有△ABE,△ADE,△CDE,不以E为顶点的三角形有△ABD,△ACD,所以共有5个三角形.
8.29 cm 当第三边为5 cm时,此时三角形的三边长分别为5 cm,5 cm和12 cm,因为5+5<12,所以不能组成三角形;当第三边为12 cm时,此时三角形的三边长分别为5 cm,12 cm和12 cm,能组成三角形,此时周长为5+12+12=29(cm).
9.等边三角形 由题意得
解得a=b=c=6,所以此三角形是等边三角形.
10.解:(1)设底边长为x cm,则腰长为3x cm.由题意得3x+3x+x=21,解得x=3,所以各边长分别为9 cm,9 cm,3 cm.
(2)能围成一个底边长为5 cm,腰长为8 cm的等腰三角形.
理由:当腰长为5 cm时,等腰三角形的三边长分别为5 cm,5 cm,11 cm.因为5+5<11,所以此三角形不存在;当底边长为5 cm时,等腰三角形的三边长分别为5 cm,8 cm,8 cm.因为5+8>8,所以能围成一个底边长为5 cm,腰长为8 cm的等腰三角形.
11.解:AB+CD>AD+BC.理由:
在△AOD中,AO+OD>AD,
在△BOC中,CO+OB>BC.
因为AB+CD=AO+OB+CO+OD=(AO+OD)+(CO+OB),
所以AB+CD>AD+BC.
[素养提升]
解:(1)4根火柴不能搭成三角形.理由:因为4只能分成1,1,2三个正整数之和,而1+1=2,所以不能搭成三角形.
(2)8根火柴能搭成1种三角形.
示意图:
等腰三角形
12根火柴能搭成3种不同形状的三角形.示意图:[三角形内角和定理]
一、选择题
1.[2021·湘潭] 如图,∠ACD是△ABC的外角,若∠ACD=110°,∠B=50°,则∠A等于( )
A.40° B.50° C.55° D.60°
2.图是一块三角形木板的残余部分,量得∠A=100°,∠B=40°,则这块三角形木板另外一个角的度数是( )
A.60° B.20° C.40° D.30°
3.下列各组角的度数中,哪一组是同一个三角形的内角度数 ( )
A.95°,80°,5° B.63°,70°,67°
C.34°,36°,50° D.25°,160°,15°
4.在△ABC中,∠A=20°,∠B=60°,则△ABC的形状是 ( )
A.等腰三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
5.在△ABC中,∠A=40°,∠B=∠C,则∠C的度数为 ( )
A.40° B.60° C.70° D.80°
6.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=2∶2∶5,则∠C的度数为 ( )
A.40° B.60° C.100° D.120°
7.如图,将△ABC沿BC向右平移后得到△DEF,∠A=65°,∠B=30°,则∠DFC的度数是( )
A.65° B.35° C.80° D.85°
8.[2021·眉山] 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,∠B=30°,∠ADC=70°,则∠C的度数是( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
9.如图,已知AB∥CD,∠A=60°,∠C=25°,则∠E等于 ( )
A.60° B.25° C.35° D.45°
10.[2021·大庆] 如图,在△ABC中,BE是∠ABC的平分线,CE是外角∠ACM的平分线,BE与CE相交于点E,若∠A=60°,则∠BEC的度数为 ( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
二、填空题
11.在△ABC中,若∠B=∠C=2∠A,则∠C的度数为 .
12.如图,∠A=45°,∠C=55°,∠E=50°,则∠B= °.
13.[2021·衡阳] 一副三角尺如图摆放,且AB∥CD,则∠1的度数为 .
14.如图所示,∠1+∠2+∠3+∠4= °.
15.将一副三角尺ABC和EDF按图所示方式放置(其中∠A=60°,∠F=45°),使点E落在AC边上,且ED∥BC,则∠CEF的度数为 .
16.当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°,那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 .
三、解答题
17.如图所示,在△ABC中,AE平分∠BAC,∠B=52°,∠C=78°.求∠AEB的度数.
18.如图所示,C岛在A岛的北偏东50°方向上,B岛在A岛的北偏东80°方向上,C岛在B岛的北偏西40°方向上,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是多少度
19.已知:如图所示,在△ABC中,D为BC边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=120°.求∠DAC的度数.
[规律探究题] 如图,在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB.
(1)若∠A=60°,则∠BOC的度数为 ;
(2)若∠A=100°,则∠BOC的度数为 ;
(3)若∠A=α,求∠BOC的度数.
答案
[三角形内角和定理]
1.D 因为∠ACD是△ABC的外角,∠B=50°,所以∠ACD=∠B+∠A,所以∠A=∠ACD-∠B=110°-50°=60°.
2.C 因为∠A=100°,∠B=40°,所以另外一个角的度数=180°-∠A-∠B=40°.
3.A 三角形的内角和是180°,95°+80°+5°=180°.故选A.
4.D 因为∠A=20°,∠B=60°,
所以∠C=180°-∠A-∠B=180°-20°-60°=100°,所以△ABC是钝角三角形.
5.C
6.C 设∠A=2x°,则∠B=2x°,∠C=5x°,则2x+2x+5x=180,解得x=20,所以5x=100,即∠C=100°.
7.D
8.C 因为∠ADC=70°,∠B=30°,所以∠BAD=∠ADC-∠B=70°-30°=40°.因为AD平分∠BAC,所以∠BAC=2∠BAD=80°,所以∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-30°-80°=70°.故选C.
9.C 设AE和CD相交于点O,因为AB∥CD,∠A=60°,所以∠AOD=120°,所以∠COE=120°.因为∠C=25°,所以∠E=35°.
10.B 因为∠ACM=∠A+∠ABC,所以∠ECM=30°+∠EBC.又因为∠ECM=∠EBC+∠E,所以∠E=30°.故选B.
11.72°
12.60 设AC与BE交于点O.在△EOC中,因为∠C=55°,∠E=50°,所以∠EOC=180°-∠C-∠E=180°-55°-50°=75°.在△AOB中,因为∠A=45°,∠AOB=∠EOC=75°,所以∠B=180°-∠A-∠AOB=180°-45°-75°=60°.故答案为60.
13.105° 因为AB∥CD,∠D=45°,所以∠AFE=∠D=45°.因为∠1是△AEF的外角,所以∠1=∠AFE+∠EAF=45°+60°=105°.答案为105°.
14.280 因为∠1+∠2=180°-40°=140°,∠3+∠4=180°-40°=140°,所以∠1+∠2+∠3+∠4=280°.
15.15° 在△ABC中,∠B=90°,∠A=60°,所以∠ACB=180°-∠A-∠B=30°.在△DEF中,∠D=90°,∠F=45°,所以∠DEF=180°-∠D-∠F=45°.因为ED∥BC,
所以∠DEC=∠ACB=30°,所以∠CEF=∠DEF-∠DEC=45°-30°=15°.
16.30° 根据题目给予的定义,得α=100° 2β=100° β=50°,进一步求出最小内角的度数是180°-100°-50°=30°.
17. 由三角形的内角和等于180°可求出∠BAC=50°,再根据角平分线的性质可得出∠BAE=25°.在△ABE中再由三角形内角和等于180°求出∠AEB的度数.
解:由三角形内角和等于180°,可知
∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-52°-78°=50°.
又因为AE平分∠BAC,所以∠BAE=25°.
因为在△ABE中,∠AEB+∠B+∠BAE=180°,
所以∠AEB=180°-∠B-∠BAE=180°-52°-25°=103°.
18.解:因为∠CAB=80°-50°=30°,
∠CBA=180°-80°-40°=60°,
所以∠ACB=180°-30°-60°=90°.
19. 根据三角形的内角、外角性质即可解决.
解:因为在△ABC中,∠BAC=120°,
所以∠2+∠3=60°.①
因为∠1=∠2,
所以∠3=∠4=∠1+∠2=2∠2.②
把②代入①,得3∠2=60°,∠2=20°,
即∠1=20°,
所以∠DAC=∠BAC-∠1=120°-20°=100°.
[素养提升]
解:(1)因为BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,∠A=60°,
所以∠CBO+∠BCO=(180°-∠A)=(180°-60°)=60°,
所以∠BOC=180°-(∠CBO+∠BCO)=180°-60°=120°.
故答案为120°.
(2)同理,若∠A=100°,则∠BOC=180°-(180°-∠A)=90°+∠A=140°.
故答案为140°.
(3)同理,若∠A=α,则∠BOC=180°-(180°-∠A)=90°+α.
