[定理、基本事实]
一、选择题
1.下列命题中是真命题的是( )
A.x=1是方程3x-2=1的根
B.互补的角是邻补角
C.相等的角是对顶角
D.同位角相等
2.下面关于基本事实和定理的说法中不正确的是( )
A.基本事实和定理都是真命题
B.基本事实就是定理,定理也是基本事实
C.基本事实和定理都可以作为推理论证的依据
D.基本事实的正确性不需要证明,定理的正确性需要证明
3.下列定理中,没有逆定理的是 ( )
A.两直线平行,内错角相等
B.直角三角形的两锐角互余
C.若两数相等,则它们的绝对值一定相等
D.两直线平行,同旁内角互补
4.下列各项中不是基本事实的是( )
A.两点确定一条直线
B.两点之间线段最短
C.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.若a·b>0,则a>0或b>0
5.[2021 ·常州] 判断命题“如果n<1,那么n2-1<0”是假命题只需举出一个反例,则反例中的n可以为 ( )
A.-2 B.- C.0 D.
二、填空题
6.如图所示,O是直线l上一点,∠AOB=100°,根据上述条件用“如果……那么……”的形式写出一个真命题: .
7.举反例说明下面的命题是假命题.
命题:若ab<0,则a<0,b>0.
反例: .
8.“a为任意数时,a2一定为正数”,这个命题是 命题(填“真”或“假”),因为 .
三、解答题
9.判断下列两个定理是否有逆定理,若有,请写出它的逆定理;若没有,请说明理由.
(1)两直线平行,同位角相等;
(2)对顶角相等.
10.判断下列命题是真命题还是假命题,如果是假命题,请举出一个反例.
(1)两个锐角的和是钝角;
(2)如果a=b,那么=.
[探究题] 一天,老师在黑板上写下了三个命题:①垂直于同一条直线的两条直线平行;②若a2=b2,则a=b;③若∠α和∠β的两边所在的直线分别平行,则∠α=∠β.
小明和小丽对话如下:
小明:“命题①是真命题,好像可以证明.”
小丽:“命题①是假命题,好像少了一些条件.”
(1)结合小明和小丽的对话,谈谈你的观点.如果你认为命题①是真命题,试说明理由;如果你认为它是假命题,请增加一个适当的条件,使之成为真命题.
(2)请在命题②③中任选一个,如果你认为所选的命题是真命题,试说明理由;如果你认为它是假命题,请举出反例.
答案
[定理、基本事实]
1.A
2.B
3.C
4.D
5.A
6.O是直线l上一点,如果∠AOB=100°,那么∠1+∠2=80°.
7.a=2,b=-3(答案不唯一)
8.假 当a=0时,a2=0
9. 先写出逆命题,再分析该命题是不是真命题,若是真命题,则它就是原定理的逆定理;若是假命题,则原定理没有逆定理.
解:(1)有逆定理.逆定理:同位角相等,两直线平行.
(2)没有逆定理.理由:“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”,它是假命题.
10.解:(1)假命题,反例不唯一,如:若∠α=20°,∠β=50°,则∠α+∠β=70°不是钝角.
(2)假命题,如:当c=0时,分式的值不存在.
[素养提升]
解:(1)命题①是假命题,增加“在同一平面内”这个条件,即可为真命题.
(2)命题②是假命题,反例不唯一,如:当a=1,b=-1时,a2=b2,但a≠b.
命题③是假命题,反例不唯一,如:如图所示,∠α和∠β的两边所在的直线分别平行,∠α+∠β=180°,但∠α≠∠β.(任选一个命题即可)[定义、命题]
一、选择题
1.下列不属于定义的是( )
A.两点之间线段的长度,叫作这两点之间的距离
B.分母中含有未知数的方程叫作分式方程
C.连接A,B两点
D.由不等号连接的式子叫不等式
2.下列语句不是命题的是 ( )
A.两点之间,线段最短
B.不平行的两条直线有一个交点
C.x与y的和等于0吗
D.若x=y,则x2=y2
3.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是 ( )
A.垂直
B.两条直线
C.同一条直线
D.两条直线垂直于同一条直线
二、填空题
4.把命题“等角的余角相等”改写成“如果……,那么……”的形式为 .
5.[2021·安徽] 命题“如果a+b=0,那么a,b互为相反数”的逆命题为 .
6.“相等的角是对顶角”,这句话 (填“是”或“不是”)定义.
7.有下列语句:①画∠AOB的平分线;②同位角相等吗 ③若|b|=5,则b=5;④三角形是多边形.属于命题的是 .(填序号)
8.命题“任意两个直角都相等”的条件是 ,结论是 .
三、解答题
9.叙述下列概念的定义:
(1)一元一次方程;
(2)最简分式.
10.指出下列命题的条件和结论:
(1)如果两个数互为相反数,那么这两个数的商为-1;
(2)两直线平行,同旁内角互补;
(3)绝对值相等的两个数相等;
(4)如果AB⊥CD,垂足是O,那么∠AOC=90°.
11.写出下列命题的逆命题:
(1)如果一个整数的个位数字是5,那么这个整数能被5整除;
(2)如果两个角都是直角,那么这两个角相等.
[开放性题] 如图所示,B,A,E三点共线,(1)AD∥BC,(2)∠B=∠C,(3)AD平分∠EAC.请你用其中两个作为条件,另一个作为结论,构造命题,并说明你构造的命题是否正确.
图
答案
[定义、命题]
1.C 2.C
3.D
4.如果两个角是相等角的余角,那么这两个角相等
5.如果a,b互为相反数,那么a+b=0
6.不是
7.③④ ③④正确,符合命题的定义;①②错误,它们都不属于判断语句,故不是命题.
8.两个角都是直角 这两个角相等
9.解:(1)只含有一个未知数,且含未知数的项的最高次数为1且两边都为整式的方程,叫作一元一次方程.
(2)分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式.
10.解:(1)条件:两个数互为相反数,结论:这两个数的商为-1.
(2)条件:两条平行直线被第三条直线所截,结论:同旁内角互补.
(3)条件:两个数的绝对值相等,结论:这两个数相等.
(4)条件:AB⊥CD,垂足是O,
结论:∠AOC=90°.
11.解:(1)如果一个整数能被5整除,那么这个整数的个位数字是5.
(2)如果两个角相等,那么这两个角都是直角.
[素养提升]
本题答案不唯一,如可以用(1)和(2)作为已知条件,(3)作为结论,构造命题.再结合图形说明命题是否正确.
解:答案不唯一,如选(1)(2)作为条件,(3)作为结论构成命题:B,A,E三点共线,如果AD∥BC,∠B=∠C,那么AD平分∠EAC.
说明:因为AD∥BC,
所以∠B=∠EAD,∠C=∠DAC.
又因为∠B=∠C,
所以∠EAD=∠DAC,
即AD平分∠EAC,故命题正确.[命题的证明]
一、选择题
1.下列关于“证明”的说法正确的是( )
A.证明是一种命题
B.证明是一种定理
C.证明是一种推理过程
D.证明就是举例说明
2.下列推理中,错误的是( )
A.在同一个平面内,若a⊥b,b⊥c,则a⊥c
B.因为∠α=∠β,∠β=∠γ,所以∠α=∠γ
C.因为a∥b,b∥c,所以a∥c
D.因为AB=CD,CD=EF,所以AB=EF
3.对于图中标记的各角,下列条件能够推理得到a∥b的是 ( )
A.∠1=∠2 B.∠2=∠4
C.∠3=∠4 D.∠1+∠4=180°
4.如图,直线EF分别交CD,AB于点M,N,且∠EMD=65°,∠MNB=115°,则下列结论正确的是( )
A.∠A=∠C B.∠E=∠F
C.AE∥FC D.AB∥DC
5.用反证法证明“在一个三角形中,最多有一个内角为钝角”时,首先应该假设 ( )
A.有一个内角为钝角
B.有两个内角为钝角
C.有三个内角为钝角
D.至少有两个内角为钝角
6.如图,把三角形纸片ABC沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE的内部时,∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变,试着找一找这个规律,你发现的规律是 ( )
A.∠1+∠2=2∠A B.∠1+∠2=∠A
C.∠A=2(∠1+∠2) D.∠1+∠2=∠A
二、填空题
7.如图所示,已知AD∥BC,∠BAD=∠BCD.求证:AB∥CD.
证明:∵AD∥BC(已知),
∴∠1= ( ).
又∵∠BAD=∠BCD( ),
∴∠BAD-∠1=∠BCD-∠2,即∠3=∠4,
∴AB∥ ( ).
8.完成下面的证明,用反证法证明“两条直线被第三条直线所截,如果同位角不相等,那么这两条直线不平行”.
已知:如图所示,直线a,b被直线c所截,∠1≠∠2.
求证:直线a与直线b不平行.
证明:假设 ,
那么∠1=∠2( ),这与已知的 矛盾,
∴假设 不成立,
∴直线a与直线b不平行.
9.在同一平面内,OA⊥MN,OB⊥MN,所以OA,OB在同一条直线上,理由是 .
10.小聪、小玲、小红三人参加“普法知识竞赛”,其中前5题是选择题,每题10分,每题有A,B两个选项,且只有一个选项是正确的,三人的答案和得分如下表,则这5道题的正确答案(按1~5题的顺序排列)是 .
题号答案选手 1 2 3 4 5 得分
小聪 B A A B A 40
小玲 B A B A A 40
小红 A B B B A 30
三、解答题
11.已知直线a,b,c,且a∥b,c与a相交.求证:c与b也相交.
12.已知:如图所示,AE⊥BC,FG⊥BC,∠1=∠2.求证:AB∥CD.
13.如图,已知点A,E,F,B共线,点M,C,D共线,CH交AB于点F,∠1=115°,∠2=50°,∠3=65°,EG为∠NEF的平分线.求证:AB∥CD,EG∥FH.
14.如图,求证:∠1-∠2=∠A-∠B.
[一题多变] 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.
(1)如图①,AB∥CD,当点P在AB,CD的同一侧时,求证:∠B=∠BPD+∠D;
(2)如图②,AB∥CD,将点P移到AB,CD之间,则∠BPD,∠B,∠D之间又有什么数量关系 请说明理由;
(3)在图②中,若∠B=40°,∠D=25°,则∠BPD的度数是多少
(4)在图②中,将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q,如图③,则∠BPD,∠B,∠D,∠BQD之间有什么数量关系 请加以证明.
答案
[命题的证明]
1.C
2.A 由条件,得a∥c,故A选项错误;由∠α=∠β,∠β=∠γ,根据角的等量代换可知∠α=∠γ,故B选项正确;由a∥b,b∥c,根据平行的传递性可知a∥c,故C选项正确;根据线段长度的等量代换可知AB=EF,易知D选项正确.
3.D ∠1的对顶角与∠4是a,b被截得的同旁内角,故由∠1+∠4=180°可得a∥b.故选D.
4.D ∵∠EMD=65°,∠MNB=115°,
∴∠CMN=∠EMD=65°,∴∠CMN+∠MNB=180°,∴AB∥DC.故选D.
5.D
6.A 由题图知2∠AED+∠1=180°,2∠ADE+∠2=180°,而∠A+∠AED+∠ADE=180°,所以∠1+∠2=2∠A.故选A.
7.∠2 两直线平行,内错角相等 已知
CD 内错角相等,两直线平行
8.a∥b 两直线平行,同位角相等
∠1≠∠2 a∥b
9.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
10.BABBA 根据得分可得小聪和小玲都只有一题答错,小红有两题答错.第5题,三人选项相同,若不是选A,则小聪和小玲的其他题目的答案一定相同,与已知矛盾,则第5题的答案是A;第3题和第4题小聪和小玲都不同,则一定在这两题上其中一人有错误,则第1,2题正确,则第1题的答案是B,第2题的答案是A;则小红的错题是第1题和第2题,则第3题和第4题正确,则第3题和第4题的答案都是B.综上,这5道题的正确答案(按1~5题的顺序排列)是BABBA.
11.证明:假设c∥b.
因为a∥b,所以c∥a,
这和c与a相交矛盾,所以假设不成立,
所以c与b也相交.
12.证明:∵AE⊥BC,FG⊥BC,
∴AE∥FG,∴∠A=∠1.
又∵∠1=∠2,∴∠A=∠2,∴AB∥CD.
13.证明:因为∠1=115°,所以∠FCD=65°.
因为∠3=65°,所以∠FCD=∠3,
所以AB∥CD.
因为∠2=50°,所以∠NEF=130°.
因为EG为∠NEF的平分线,
所以∠GEF=130°÷2=65°.
因为∠3=65°,所以∠GEF=∠3,
所以EG∥FH.
14.证明:∵∠1=∠3+∠A,∠2=∠4+∠B,
∴∠1-∠2=∠3+∠A-∠4-∠B=∠3-∠4+∠A-∠B.
又∵∠3=∠4,∴∠1-∠2=∠A-∠B.
[素养提升]
(1)由AB∥CD,得∠B=∠BOD,再利用∠BOD是△OPD的一个外角,由此可得出三个角的关系.
(2)如图①,过点P作平行于AB的直线,根据内错角相等可得出三个角的关系.
(3)根据(2)的关系可得出答案.
(4)如图②,连接QP并延长至点E,则∠BPD=∠BPE+∠EPD=(∠B+∠BQP)+(∠D+∠DQP)=∠B+∠D+∠BQD.
解:(1)证明:∵AB∥CD,∴∠B=∠BOD.
∵三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,
∴∠BOD=∠BPD+∠D,
∴∠B=∠BPD+∠D.
(2)∠BPD=∠B+∠D.
理由:如图①,过点P作平行于AB的直线PO.
∵OP∥AB,AB∥CD,∴OP∥CD,∠BPO=∠B,
∴∠OPD=∠D.
∵∠BPD=∠BPO+∠OPD,
∴∠BPD=∠B+∠D.
(3)由(2),得∠BPD=∠B+∠D=40°+25°=65°.
(4)∠BPD=∠B+∠D+∠BQD.
证明:如图②,连接QP并延长至点E.
∵∠BQP+∠B=∠BPE,∠DQP+∠D=∠DPE,
∴∠BPD=∠BPE+∠DPE=∠B+∠D+∠BQD.
