[等腰(边)三角形的性质]
一、选择题
1.如图,在△ABC中,CA=CB,∠A=20°,则∠BCD的度数是 ( )
A.20° B.40° C.50° D.140°
2.如图,△ABC是等边三角形,点D在AC边上,∠DBC=35°,则∠ADB的度数为( )
A.25° B.60° C.85° D.95°
3.如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD∥BC.若∠1=70°,则∠BAC的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.70°
4.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,∠BAD=35°,则∠C的度数为( )
A.35° B.45° C.55° D.60°
5.如图,在等边三角形ABC中,D为BC边的中点,AE=AD,则∠EDC的度数为 ( )
A.25° B.15° C.45° D.75°
6.如图所示,在△ABC中,D是边BC上一点,已知AB=AC=BD,AD=CD,则∠B的度数为( )
A.30° B.36° C.45° D.50°
7.在如图的三角形中,若AB=AC,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )
A.①②③ B.①②④
C.②③④ D.①③④
二、填空题
8.[2021·兰州] 在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠B= °.
9.[2021·广安] 等腰三角形的两边长分别为6 cm,13 cm,其周长为 cm.
10.如图所示,已知AB∥CD,AB=AC,∠ABC=68°,则∠ACD= °.
11.等边三角形ABC的两条高线BD和CE相交于点O,则∠BOC= °.
12.等腰三角形的一个外角是130°,则它的顶角的度数是 .
13.如图,在△ABC中,D是BC上一点,AC=AD=DB,∠C=70°,则∠B= °.
14.如图,等边三角形三个内角的平分线交于O点,则∠2-∠1= °.
15.如图所示,∠AOB是一角度为10°的钢架,要使钢架更加牢固,需在其内部添加一些钢管EF,FG,GH,…,且OE=EF=FG=GH…,在OA,OB足够长的情况下,最多能添加这样的钢管的根数为 .
三、解答题
16.如图,在△ABC中,AB=AC,D是△ABC内一点,且BD=CD.
求证:∠ABD=∠ACD.
17.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.
求证:∠CBE=∠BAD.
18.如图所示,已知AB=AC=AD.
求证:(1)若AD∥BC,则BD是∠ABC的平分线且∠C=2∠D;
(2)若BD平分∠ABC,则AD∥BC.
如图,已知在△ABC中,AB=AC,D,E分别是线段BC,AC上的点,且AD=AE.
(1)如图①,若∠BAC=90°,D是BC的中点,求∠1的度数;
(2)借助图②探究∠BAD和∠1的数量关系.
答案
[等腰(边)三角形的性质]
1.B ∵CA=CB,∠A=20°,
∴∠B=∠A=20°,
∴∠BCD=∠A+∠B=40°.
2.D ∠ADB=∠DBC+∠C=95°.
3.B 4.C
5.B ∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°.
∵D为BC边的中点,
∴AD⊥BC,∠DAC=∠BAC=×60°=30°.
∵AE=AD,
∴∠ADE=(180°-∠DAC)=×(180°-30°)=75°,
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.
6.B ∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵CD=AD,∴∠C=∠DAC.∵BA=BD,∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B.又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°,∴5∠B=180°,∴∠B=36°.
故选B.
7.D 如图.
故选D.
8.70 ∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=40°,∴∠B=∠C=70°.故答案为70.
9.32 由题意知,应分两种情况:
(1)当腰长为6 cm时,三角形的三边长为6 cm,6 cm,13 cm,6+6<13,不能构成三角形;
(2)当腰长为13 cm时,三角形的三边长为6 cm,13 cm,13 cm,周长为2×13+6=32(cm).故答案为32.
10.44 ∵AB∥CD,
∴∠ABC+∠BCD=180°.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵∠ABC=68°,
∴∠BCD=180°-68°=112°,
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=44°.
11.120 因为等边三角形的三个内角均为60°,所以根据BD⊥AC,CE⊥AB,可得∠OBC=∠OCB=30°.根据三角形的内角和定理,可求得∠BOC=120°.
12.50°或80°
13.35 ∵AC=AD,∠C=70°,
∴∠ADC=∠C=70°.
∵AD=DB,
∴∠B=∠BAD,
∴∠B=∠ADC=35°.
故答案为35.
14.90 ∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=∠BAC=60°.∵O为等边三角形三个内角平分线的交点,∴∠1=∠OAB=∠OBA=×60°=30°,∴∠2=180°-30°-30°=120°,∴∠2-∠1=120°-30°=90°.
15.8 ∵添加的钢管长度都与OE相等,∠AOB=10°,∴∠EFO=10°,∴∠GEF=∠FGE=20°,….从题图中我们会发现有好几个等腰三角形,即第一个等腰三角形的底角是10°,第二个是20°,第三个是30°,第四个是40°,第五个是50°,第六个是60°,第七个是70°,第八个是80°,第九个是90°就不存在了.所以一共可添加8根这样的钢管.
16.证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵BD=CD,
∴∠DBC=∠DCB,
∴∠ABC-∠DBC=∠ACB-∠DCB,
即∠ABD=∠ACD.
17.证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C(等边对等角).
又∵AD是BC边上的中线,
∴AD⊥BC(三线合一),
∴∠BAD+∠ABC=90°.
∵BE⊥AC,∴∠CBE+∠C=90°,
∴∠CBE=∠BAD.
18.证明:(1)∵AB=AC=AD,
∴∠ABC=∠C,∠ABD=∠D.
∵AD∥BC,∴∠D=∠CBD,
∴∠ABD=∠CBD,
即BD是∠ABC的平分线.
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠D+∠D=2∠D,∴∠C=2∠D.
(2)∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
∵AB=AD,
∴∠ABD=∠D,
∴∠CBD=∠D,
∴AD∥BC.
[素养提升]
解:(1)∵AD=AE,
∴∠AED=∠ADE.
∵AB=AC,∠BAC=90°,D是BC的中点,
∴∠BAD=∠BAC=45°,∠B=∠C.
∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠1=∠AED+∠1=∠1+∠C+∠1=2∠1+∠C,
∴∠BAD=2∠1.
∴∠1=22.5°.
(2)∵AD=AE,
∴∠AED=∠ADE.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∴∠B+∠BAD=∠ADE+∠1=∠AED+∠1=∠1+∠C+∠1=2∠1+∠C.
∴∠BAD=2∠1.[等腰(边)三角形的判定]
一、选择题
1.在△ABC中,若∠A=15°,∠B=150°,则△ABC是 ( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.锐角三角形
2.下列条件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是 ( )
A.a=3,b=3,c=4
B.a:b:c=4:5:6
C.∠B=50°,∠C=80°
D.∠A:∠B:∠C=1:1:2
3.如图所示,已知OC平分∠AOB,CD∥OB.若OD=3 cm,则CD的长为 ( )
A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1.5 cm
4.已知等腰三角形的一个外角是120°,则它是 ( )
A.等腰直角三角形 B.一般的等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰钝角三角形
5.如图,∠A=36°,∠C=72°,BE为∠ABC的平分线,DE∥BC,则图中等腰三角形的个数有( )
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
6.在如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A,B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,那么满足条件的点C有 ( )
A.6个 B.7个 C.8个 D.9个
二、填空题
7.已知△ABC,AB=AC,请补充一个条件: ,使△ABC成为等边三角形.
8.如图所示,BD,CE分别是△ABC两个外角的平分线,DE过点A,且DE∥BC.若DE=14,BC=7,则△ABC的周长为 .
9.在一次夏令营活动中,小明同学从营地A出发,要到A地的北偏东60°方向的C处,他先沿正东方向走了200 m到达B地,再沿北偏东30°方向走,恰能到达目的地C(如图所示),由此可知,B,C两地相距 m.
三、解答题
10.如图,在等边三角形ABC中,D是AB上一点,DE⊥BC,垂足为E,EF⊥AC,垂足为F,FD⊥AB.
求证:△DEF为等边三角形.
11.如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为D,DE∥AC交AB于点E.
求证:△BDE是等腰三角形.
12.如图所示,在等边三角形ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,且OD∥AB交BC于点D,OE∥AC交BC于点E.
(1)试判断△ODE的形状,并说明你的理由;
(2)线段BD,DE,EC三者有什么关系 并说明理由.
13.如图所示,已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形,动点P,Q同时从A,B两点出发,分别沿AB,BC方向匀速运动,其中点P运动的速度是1 cm/s,点Q运动的速度是2 cm/s,当点Q到达点C时,P,Q两点都停止运动.设运动时间为t s,解答下列问题:
(1)当点Q到达点C时,PQ与AB的位置关系如何 请说明理由.
(2)在点P与点Q的运动过程中,△BPQ能否成为等边三角形 若能,请求出t值;若不能,请说明理由.
[分类讨论题] 在△ABC中,CA=CB,∠ACB=120°,将一块足够大的三角尺PMN(∠M=90°,∠MPN=30°)按图所示放置,顶点P在线段AB上滑动,三角尺的直角边PM始终经过点C,并且与CB的夹角∠PCB=α,斜边PN交AC于点D.
(1)当PN∥BC时,∠ACP= °.
(2)当α=15°时,求∠ADN的度数.
(3)在点P滑动的过程中,△PCD的形状可以是等腰三角形吗 若不可以,请说明理由;若可以,请求出夹角α的度数.
答案
[等腰(边)三角形的判定]
1.A
2.B 选项A,a=3,b=3,c=4,
∴a=b,
∴△ABC是等腰三角形;
选项B,∵a:b:c=4:5:6,
∴a≠b≠c,
∴△ABC不是等腰三角形;
选项C,∵∠B=50°,∠C=80°,
∴∠A=180°-∠B-∠C=50°,
则∠A=∠B,
∴AC=BC,
∴△ABC是等腰三角形;
选项D,∵∠A:∠B:∠C=1:1:2,
∴∠A=∠B,
∴AC=BC,
∴△ABC是等腰三角形.
故选B.
3.B 根据题意,得∠AOC=∠BOC.因为CD∥OB,所以∠C=∠BOC,所以∠C=∠AOC,则CD=OD.又因为OD=3 cm,所以CD=3 cm.
4.C ①若120°的角为顶角的外角,则顶角为180°-120°=60°,底角为(180°-60°)÷2=60°,三角形为等边三角形;②若120°的角为底角的外角,则底角为180°-120°=60°,顶角为180°-60°×2=60°,所以三角形为等边三角形.综上,该等腰三角形为等边三角形.
5.B △ABC,△ADE,△ABE,△DBE,△BCE是等腰三角形.
6.C 如图,分情况讨论.①AB为等腰三角形ABC的底边时,符合条件的点C有4个;②AB为等腰三角形ABC其中的一条腰时,符合条件的点C有4个.故符合条件的点C共有8个.
7.AB=BC或AC=BC或∠BAC=60°等(答案不唯一) 三边相等或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
8.21
9.200 如图,由已知可得AM∥BN,所以∠MAC=∠ALB=60°.由∠ALB=∠NBC+∠C,∠NBC=30°,得∠C=30°.又因为∠BAC=∠MAB-∠MAC=30°,所以∠C=∠BAC,故BC=AB=200 m.
10.证明:在等边三角形ABC中,∠B=60°.
∵DE⊥BC,∴∠DEB=90°,∴∠BDE=30°.
∵FD⊥AB,∴∠ADF=90°,∴∠EDF=60°.
同理∠DEF=∠DFE=60°,
∴△DEF为等边三角形.
11. 如图,直接利用平行线的性质得出∠1=∠3,进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出∠B=∠BDE,即可得出答案.
证明:如图,∵DE∥AC,
∴∠1=∠3.
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
∴∠2=∠3.
∵AD⊥BD,
∴∠2+∠B=90°,∠3+∠BDE=90°,
∴∠B=∠BDE,∴△BDE是等腰三角形.
12. (1)根据平行线的性质及等边三角形的判定定理可得到△ODE是等边三角形;
(2)根据角平分线的性质及平行线的性质可得到∠DBO=∠DOB,根据等角对等边可得到DB=DO,同理可证明EC=EO.因为DE=OD=OE,所以BD=DE=EC.
解:(1)△ODE是等边三角形.
理由:∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵OD∥AB,OE∥AC,
∴∠ODE=∠ABC=60°,
∠OED=∠ACB=60°,
∴△ODE是等边三角形.
(2)BD=DE=EC.
理由:∵BO平分∠ABC,且∠ABC=60°,
∴∠ABO=∠OBD=30°.
∵OD∥AB,∴∠BOD=∠ABO=30°,
∴∠DBO=∠DOB,∴BD=OD.
同理EC=OE.
∵△ODE是等边三角形,
∴OD=DE=OE,
∴BD=DE=EC.
13.解:(1)当点Q到达点C时,PQ与AB垂直.
理由:∵AB=AC=BC=6 cm,
∴当点Q到达点C时,AP=3 cm,
∴P为AB的中点,
∴PQ⊥AB.
(2)能.
假设在点P与点Q的运动过程中,△BPQ能成为等边三角形,
∴BP=PQ=BQ.
∵∠B=60°,
∴BP=BQ时,△BPQ为等边三角形.
此时有6-t=2t,解得t=2.
∴当t=2时,△BPQ是等边三角形.
[素养提升]
(1)∵PN∥BC,∠MPN=30°,
∴∠PCB=∠MPN=30°.
∵∠ACB=120°,
∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=90°.
解:(1)90
(2)∵∠ACB=120°,∠PCB=15°,
∴∠PCD=∠ACB-∠PCB=105°,
∴∠PDC=180°-∠PCD-∠MPN=180°-105°-30°=45°,
∴∠ADN=∠PDC=45°.
(3)△PCD的形状可以是等腰三角形.
由题意得∠PCD=120°-α,∠CPD=30°.
①当PC=PD时,△PCD是等腰三角形,
∠PCD=(180°-∠CPD)=×(180°-30°)=75°,即120°-α=75°,解得α=45°;
②当PD=CD时,△PCD是等腰三角形,∠PCD=∠CPD=30°,
即120°-α=30°,解得α=90°;
③当PC=CD时,△PCD是等腰三角形,∠PCD=180°-2×30°=120°,
即120°-α=120°,解得α=0°,
此时点P与点B重合,点D与点A重合.
综上所述,当△PCD是等腰三角形时,α的度数是45°或90°或0°.
[点评] 当判定三角形为等腰三角形时,在边的长度不确定的情况下,我们要进行分类讨论,注意要对边相等的情况全面分析,避免漏解.
