A[线段垂直平分线、垂线的作法]
一、选择题
1.[2021·河北] 如图,在平面内作已知直线m的垂线,可作垂线的条数有 ( )
A.0条 B.1条
C.2条 D.无数条
2.[2021·成都] 如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点B和点C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于点M和点N;②作直线MN交AC于点D,连接BD.若AC=6,AD=2,则BD的长为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.6
3.已知△ABC(AC
二、填空题
4.如图,在△ABC中,分别以点A,C为圆心,以大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN分别交BC,AC于点D,E.若AE=3 cm,△ABD的周长为13 cm,则△ABC的周长为 .
三、解答题
5.如图,已知△ABC.
(1)作BC边的垂直平分线交BC于点D,连接AD(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的基础上,若△ABC的面积为6,求△ABD的面积.
6.如图所示,在公路a同侧有两个居民小区A,B,现要在公路旁建一个液化气站.
(1)若液化气站的气能同时到达居民小区A,B,则这个液化气站P应建在什么地方
(2)若液化气站到A,B的距离和最短,则这个液化气站Q应建在什么地方
[操作计算题] 如图所示,△ABC是等边三角形,D是AC的中点,延长BC到点E,使CE=CD.
(1)用尺规作图的方法,过点D作DM⊥BE,垂足是M(不写作法,保留作图痕迹);
(2)求证:BM=EM.
答案
A[线段垂直平分线、垂线的作法]
A
1.D 在平面内,过任意一点都能作出直线m的一条垂线,故这样的垂线有无数条.故选D.
2.C 由作图知,MN是线段BC的垂直平分线,∴BD=CD.∵AC=6,AD=2,∴BD=CD=4.故选C.
3.D D选项中作的是AB的垂直平分线,∴PA=PB,∴PA+PC=PB+PC=BC.
4.19 cm 由尺规作图可知,MN是线段AC的垂直平分线,∴DA=DC,AC=2AE=6.
∵△ABD的周长为13,∴AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=13,则△ABC的周长为AB+BC+AC=13+6=19(cm).
5.解:(1)如图.
(2)因为BD=CD,
所以S△ABD=S△ADC=S△ABC=×6=3.
6.解:(1)如图所示,作线段AB的垂直平分线,交直线a于点P,则P为所求的点.
(2)如图所示,作点A关于直线a的对称点A',连接A'B,交直线a于点Q,则Q为所求的点.
[素养提升]
(1)按照过直线外一点作已知直线的垂线的步骤作图;(2)要证BM=EM,可证BD=DE,根据等腰三角形“三线合一”得出BM=EM.
解:(1)如图所示.
(2)证明:∵△ABC是等边三角形,D是AC的中点,
∴BD平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠DBE.
∵CE=CD,∴∠E=∠CDE.
又∵∠ACB=∠E+∠CDE,
∴∠ACB=2∠E.
又∵∠ABC=∠ACB,∴2∠DBC=2∠E,
∴∠DBC=∠E,
∴BD=DE.
又∵DM⊥BE,∴BM=EM.[线段垂直平分线的性质和判定]
一、选择题
1.如图所示,AB是CD的垂直平分线,若AC=2.3 cm,BD=1.6 cm,则四边形ACBD的周长是( )
A.3.9 cm B.7.8 cm
C.4 cm D.4.6 cm
2.在△ABC中,PA=PB=PC,则P是 ( )
A.三条角平分线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
3.如图,在△ABC中,∠B=40°,AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E,且∠EAB∶∠CAE=3∶1,则∠C等于( )
A.28° B.25° C.22.5° D.20°
4.如图所示,MN是线段AB的垂直平分线,点C在MN外,且与点A在MN的同一侧,BC交MN于点P,则 ( )
A.BC>PC+AP B.BCC.BC=PC+AP D.BC≥PC+AP
5.[2021·邵阳六中期末] 如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠BAC=20°,D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点,连接AD,则∠CAD的度数为 ( )
A.40° B.30° C.20° D.10°
6.如图所示,已知AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E,则有下列结论:(1)∠C=72°;(2)BD是∠ABC的平分线;(3)△ABD是等腰三角形.其中正确的有 ( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
7.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与直线AC相交所成的锐角为40°,则此等腰三角形的顶角的度数为( )
A.50° B.60°
C.150° D.50°或130°
二、填空题
8.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD平分∠ABC交AC于D,则点D在________上.
9.如图,已知在△ABC中,DE是BC的垂直平分线,垂足为E,交AC于点D.若AB=6,AC=9,则△ABD的周长是 .
10.如图所示,在△ABC中,PM,QN分别是AB,AC的垂直平分线,点P,Q在线段BC上.如果∠BAC=110°,那么∠PAQ的度数为 .
11.如图,AB=AC,AC的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,BC=6,△CDB的周长为15,则AC= .
三、解答题
12.如图,在△ABC中,AB=AC,D是AB的中点,且DE⊥AB,交AC于点E,△BCE的周长为8 cm,且AC-BC=2 cm.求AB,BC的长.
13.如图所示,已知AB∥CD,∠BAE=∠DCF,AC,EF相交于点M,且AM=CM.
(1)求证:AE∥CF;
(2)若AM平分∠FAE,求证:EF垂直平分AC.
14.如图所示,平面上的四边形ABCD是一只“风筝”的骨架,其中AB=AD,CB=CD.小杰观察了这个“风筝”的骨架后,他认为AC垂直平分BD,小明认为AC与BD互相垂直平分.你认为谁的判断是正确的 请说明理由.
15.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F.
求证:BM=MN=NC.
16.如图所示,在△ABC中,OE,OF分别是AB,AC的垂直平分线,∠ABO=20°,∠ABC=45°,求∠BAC和∠ACB的度数.
[规律探究题] 如图所示,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于点M.
(1)若∠A=40°,求∠NMB的度数;
(2)如果将(1)中∠A的度数改为70°,其余条件不变,求∠NMB的度数;
(3)你发现有什么规律 试证明.
答案
[线段垂直平分线的性质和判定]
1.B 因为AB是线段CD的垂直平分线,所以AC=AD,BC=BD,所以四边形ACBD的周长=2(AC+BD)=2×(2.3+1.6)=7.8(cm).
2.B ∵PA=PB,
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
∵PA=PC,
∴点P在线段AC的垂直平分线上,
∴P是△ABC三边垂直平分线的交点.
3.A
4.C
5.B ∵D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点,∴DA=DB,
∴∠DAB=∠ABC=50°,
∴∠CAD=∠DAB-∠BAC=50°-20°=30°.
6.A ∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=×(180°-36°)=72°,∴(1)正确;∵DE垂直平分AB,∴DA=DB,即△ABD是等腰三角形,∴(3)正确;∴∠ABD=∠A=36°,∴∠CBD=72°-∠ABD=36°,则BD是∠ABC的平分线,∴(2)正确.故选A.
7.D 此题根据△ABC中∠BAC为锐角与钝角分为两种情况解答:(1)当AB的垂直平分线与AC相交时易得∠BAC=90°-40°=50°;(2)当AB的垂直平分线与CA的延长线相交时,易得∠BAC=130°.故选D.
8.AB的垂直平分线
9.15 ∵DE是BC的垂直平分线,∴DB=DC,∴△ABD的周长是AB+DB+DA=AB+DC+DA=AB+AC=6+9=15.
10.40° ∵在△ABC中,PM,QN分别是AB,AC的垂直平分线,∴PA=PB,AQ=CQ,∴∠PAB=∠B,∠CAQ=∠C.∵∠BAC=110°,∴∠B+∠C=180°-∠BAC=70°,∴∠PAB+∠CAQ=70°,∴∠PAQ=∠BAC-(∠PAB+∠CAQ)=110°-70°=40°.
11.9 因为DE垂直平分AC,所以CD=AD.又BC=6,△CDB的周长为15,所以CD+DB=15-6=9=AD+BD=AB.因为AB=AC,所以AC=9.
12.解:∵D是AB的中点,且DE⊥AB,
∴AE=BE.
∵△BCE的周长为8 cm,
∴BE+CE+BC=8 cm,
∴AC+BC=8 cm,①
∵AC-BC=2 cm,②
①+②,得2AC=10 cm,即AC=5 cm,
故AB=5 cm.
①-②,得2BC=6 cm,即BC=3 cm.
故AB=5 cm,BC=3 cm.
13.证明:(1)∵AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA.
又∵∠BAE=∠DCF,
∴∠EAM=∠FCM,∴AE∥CF.
(2)∵AM平分∠FAE,∴∠FAM=∠EAM.
由(1)知∠EAM=∠FCM,
∴∠FAM=∠FCM,
∴△FAC是等腰三角形.
又∵AM=CM,
∴FM⊥AC,即EF垂直平分AC.
14. 根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”来判定.点A,C都在线段BD的垂直平分线上.
解:小杰的判断是正确的.理由如下:
∵AB=AD,
∴点A在BD的垂直平分线上.
∵CB=CD,
∴点C在BD的垂直平分线上.
∴AC垂直平分BD.
根据题目条件,不能判定BD垂直平分AC.
15.证明:连接AM,AN.∵AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N,交AC于点F,
∴BM=AM,CN=AN,
∴∠MAB=∠B,∠CAN=∠C.
∵∠BAC=120°,AB=AC,
∴∠B=∠C=30°,∴∠AMN=∠ANM=60°,
∴△AMN是等边三角形,则AM=MN=AN,
∴BM=MN=NC.
16.解:如图,连接AO并延长,交BC于点D.
∵OE,OF分别是AB,AC的垂直平分线,
∴OB=OA,OC=OA,
∴OC=OB,∠ABO=∠BAO=20°,∠CAO=∠ACO,
∴∠CBO=∠BCO.
∵∠ABC=45°,
∴∠CBO=∠BCO=25°,
∴∠BOC=180°-∠CBO-∠BCO=130°.
∵∠BOD=∠ABO+∠BAO,
∴∠BOD=40°,∴∠COD=90°.
∵∠COD=∠CAO+∠ACO,
∴∠CAO=∠ACO=45°,
∴∠BAC=∠BAO+∠CAO=65°,∠ACB=∠BCO+∠ACO=70°.
[素养提升]
解:(1)∵在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,
∴∠ABC=∠ACB=70°.
∵AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于点M,∴MN⊥AB,
∴∠NMB=90°-∠ABC=20°.
(2)∵在△ABC中,AB=AC,∠A=70°,
∴∠ABC=∠ACB=55°.
∵AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于点M,∴MN⊥AB,
∴∠NMB=90°-∠ABC=35°.
(3)∠NMB=∠A.
证明:∵在△ABC中,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=.
∵AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于点M,
∴MN⊥AB,∴∠NMB=90°-∠ABC=∠A.