[已知两边及其夹角、两角及其夹边作三角形]
一、选择题
1.[2021·河北] 如图,已知∠ABC,用尺规作它的角平分线.
步骤如下:如图,第一步:以B为圆心,以a为半径画弧,分别交射线BA,BC于点D,E;
第二步:分别以D,E为圆心,以b为半径画弧,两弧在∠ABC内部交于点P;
第三步:画射线BP,射线BP即为所求.
下列正确的是( )
A.a,b均无限制
B.a>0,b>DE的长
C.a有最小限制,b无限制
D.a≥0,b2.已知线段a,b和∠α,求作△ABC,使BC=a,∠C=∠α,AC=b.要用到下列基本作图“①作一个角等于已知角;②在直线上截取一条线段等于已知线段;③过两点作线段;④作已知线段的垂直平分线;⑤平分已知角”中的 ( )
A.2种 B.3种 C.4种 D.全部
二、填空题
3.已知等腰三角形的底角及底边,求作该等腰三角形的理论依据是 .
4.[2021·潍坊] 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=20°,PQ垂直平分AB,垂足为Q,交BC于点P.按以下步骤作图:①以点A为圆心,以适当的长为半径作弧,分别交边AC,AB于点D,E;②分别以点D,E为圆心,以大于DE的长为半径作弧,两弧相交于点F;⑤作射线AF.若AF与PQ的夹角为α,则α= °.
三、解答题
5.已知∠AOB,求作∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB.
(1)如图①,以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D;
(2)如图②,画一条射线O'A',以点O'为圆心,OC长为半径画弧,交O'A'于点C';
(3)以点C'为圆心,CD长为半径画弧,与第(2)步中所画的弧交于点D';
(4)过点D'画射线O'B',则∠A'O'B'=∠AOB.
根据以上作图步骤,请你证明∠A'O'B'=∠AOB.
[方案设计题] 小明所在的数学兴趣小组研究一个课题“如何根据条件作出唯一的三角形 ”研究后他们发现这与“如何作一个三角形与已知三角形全等”是一样的,如果提供的条件可以证明两个三角形全等,那么这些条件下作出的三角形肯定是唯一的.
(1)如果下列条件肯定可以作三角形,那么其中不唯一的是 ( )
A.已知两条边和夹角
B.已知三边
C.已知两角和夹边
D.已知两条边和一边的对角
(2)如果线段AB=4 cm,AC=5 cm,AD=3 cm,以AB,AC作为△ABC的两边,AD为BC边上的高,请你设计一个方案作出满足如上条件的△ABC,并简要说明理由.
答案
[已知两边及其夹角、两角及其夹边作三角形]
1.B 当a>0时,以B为圆心,以a为半径的弧才能分别与射线BA,BC相交于点D,E;当b>DE的长时,分别以D,E为圆心,以b为半径的两弧才能相交于点P.故选B.
2.B 已知两边和夹角作三角形,作法第一步是作夹角;第二步是作两边;第三步是连接第三边,∴要用到的基本作图是“作角”“截取线段”“连接两点”这3种.故选B.
3.ASA
4.55 如图,根据直角三角形两锐角互余得∠BAC=70°,由角平分线的定义得∠BAF=35°,由线段垂直平分线的性质可得△AQM是直角三角形,故可得∠AMQ=55°,最后根据对顶角相等求出α.
5.证明:由作法,得OD=OC=O'D'=O'C',CD=C'D'.
在△OCD和△O'C'D'中,
∴△OCD≌△O'C'D',
∴∠COD=∠C'O'D',
即∠A'O'B'=∠AOB.
[素养提升]
解:(1)D
(2)满足条件的三角形有两个,方案:如图,先作以AC为斜边,AD为一直角边的直角三角形.再以A为圆心,4 cm长为半径画弧,交直线CD于点B(点B有两个).
理由:根据作图步骤得AD=3 cm,AC=5 cm,AB=AB'=4 cm,且AD为BC边上的高,故△ABC和△AB'C是符合要求的.[已知三边作三角形]
一、选择题
1.已知线段a,b,c,求作△ABC,使BC=a,AC=b,AB=c,下面作法的合理顺序为 ( )
①分别以B,C为圆心,以c,b为半径画弧,两弧交于点A;
②作射线BP,在BP上截取BC=a;
③连接AB,AC,△ABC为所求作的三角形.
A.①②③ B.②①③ C.①③② D.②③①
2.[2021·深圳] 如图,在△ABC中,AB=AC,在AB,AC上分别截取AP,AQ,使AP=AQ,再分别以点P,Q为圆心,以大于PQ的长为半径作弧,两弧在∠BAC内交于点R,作射线AR,交BC于点D.若BC=6,则BD的长为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.如图所示,△ABC是不等边三角形,DE=BC,以D,E为两个顶点作位置不同的三角形,使所作三角形与△ABC全等,这样的三角形最多可以作出 ( )
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
二、填空题
4.已知:∠AOB,求作:∠AOB的平分线.作法:如图,①以O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点M,N;②分别以M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB内交于点C;③画射线OC.射线OC即所求.上述作图用到了全等三角形的判定方法,这个方法是 .
5.如图,在△ABC中,AC=BC,∠A=40°,观察图中尺规作图的痕迹可知∠BCG的度数为 .
三、解答题
6.已知:线段a,b,如图所示.
求作:△ABC,使AB=a,BC=b,AC=2a.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
7.已知:线段a,m(如图所示).
求作:等腰三角形ABC,使底边BC=a,底边上的中线AD=m.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
[操作题] [2021·陕西] 如图,已知△ABC,AC>AB,∠C=45°,请用尺规作图法,在AC边上求作一点P,使∠PBC=45°.(保留作图痕迹,不写作法)
答案
[已知三边作三角形]
1.B 作三角形,使三角形的三边等于已知边,作图的顺序应该是:②作射线BP,在BP上截取BC=a;①分别以B,C为圆心,以c,b为半径画弧,两弧交于点A;③连接AB,AC,△ABC为所求作的三角形.故作法的合理顺序为②①③.
2.B 由尺规作图可知AD平分∠BAC;由AB=AC,根据“等腰三角形三线合一”,可得BD=BC=×6=3,因此本题选B.
3.B 可以作出4个,分别是以D为圆心,AB长为半径作圆;以E为圆心,AC长为半径作圆.两圆相交于两点(DE上下各一个),经过连接后可得到2个三角形.然后以D为圆心,AC长为半径作圆;以E为圆心,AB长为半径作圆.两圆相交于两点(DE上下各一个),经过连接后可得到2个三角形.共4个.
4.三边分别相等的两个三角形全等
5.50° 由作法得CG平分∠ACB.
∵AC=BC,∴∠A=∠B=40°.
∴∠ACB=180°-40°-40°=100°,
∴∠BCG=∠ACB=50°.
6.解:如图所示,△ABC即所求.
7. 可先作出底边BC=a,作出底边的垂直平分线DM交BC于点D,在射线DM上截取AD=m,连接AB,AC即可.
解:如图所示.
[素养提升]
解:法一:作BC的垂直平分线交AC于点P,点P为所求.如图①所示.
法二:作BP⊥AC,垂足为P,点P为所求.如图②所示.
