[全等三角形性质和判定的应用]
一、选择题
1.如图所示,有一池塘,要测池塘两端A,B间的距离,可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A,B的点C,连接AC并延长至点D,使CD=CA,连接BC并延长至点E,使CE=CB,连接DE.若量出DE=58米,则A,B间的距离为( )
A.29米
B.58米
C.60米
D.116米
2.萧寒家有两块三角形的菜地,他想判断这两块三角形菜地的形状、大小是否完全一样,他设想了如下四种方法,下列方法中,不一定能判定两三角形全等的是 ( )
A.测量出两边及其夹角对应相等
B.测量出两角及其夹边对应相等
C.测量出三边对应相等
D.测量出两边及除夹角外的另一角对应相等
3.如图,已知∠BAC=∠DAC,那么添加下列条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )
A.CB=CD B.AB=AD
C.∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D
4.我国的纸伞工艺十分巧妙.如图所示,伞不论张开还是缩拢,伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC,从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动.为了证明这个结论,我们的依据是( )
A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
5.如图,△ABC中BC边上的高为h1,△DEF中DE边上的高为h2,下列结论正确的是( )
A.h1>h2 B.h1C.h1=h2 D.无法确定
二、填空题
6.[2021·北京] 在△ABC中,AB=AC,点D在BC上(不与点B,C重合).只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD,这个条件可以是 (写出一个即可).
7.如图所示,AB⊥BC于点B,AE⊥BD于点E,AB∥DC.若AB=BD=6,DE-DC=1,则DE的长为 .
8.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,AB=AC-BD,则∠B∶∠C的值是 .
三、解答题
9.如图,小明为了测量河的宽度,他先站在河边的点C面向河对岸,压低帽檐使目光(点D)正好落在河对岸的岸边点A处,然后他姿态不变原地转了180°,正好看见他所在岸上的一块石头点B,他量出BC=30米,则河有多宽
10.[2021·哈尔滨] 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E在边BC上,BD=CE,连接AD,AE.
(1)如图①,求证:AD=AE;
(2)如图②,当∠DAE=∠C=45°时,过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图②中的四个等腰三角形,使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°.
11.如图,已知AC,BD交于点O,AC=BD,AB=DC.
求证:OA=OD.
[探索拓展题] (1)问题背景:如图①所示,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°,探究图中线段BE,EF,DF之间的数量关系.
小王同学探究此问题的方法如下:延长FD到点G.使DG=BE.连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是 ;
(2)探索延伸:如图②,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立 并说明理由.
答案
A[全等三角形性质和判定的应用]
A
1.B
2.D
3.A
4.A 根据伞的结构,AE=AF,伞骨DE=DF,AD是公共边.
∵在△ADE和△ADF中,
∴△ADE≌△ADF(SSS),
∴∠DAE=∠DAF,即AP平分∠BAC.
5.C 如图,过点A作AM⊥BC于点M,过点F作FN⊥DE交DE的延长线于点N,
则有AM=h1,FN=h2.
在△AMC和△FNE中,∵AM⊥BC,FN⊥DE,
∴∠AMC=∠FNE.
∵∠FED=115°,
∴∠FEN=65°=∠ACB.
∵又AC=FE,∴△AMC≌△FNE.
∴AM=FN,∴h1=h2.
6.答案不唯一,如∠BAD=∠CAD或BD=CD或AD⊥BC
7.3.5 根据题意,可证得△ABE≌△BDC,即得BE=DC.又根据AB=BD=6,DE-DC=1,DE+DC=6,即可解出DE的长.
8.2 如图,在AC上截取CE=BD=x,于是AB=AE.
又∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠EAD.
又∵AD=AD,∴△ABD≌△AED,
∴∠1=∠B,DE=BD=CE=x,
则在等腰三角形DEC中,∠B=∠1=2∠C,
∴∠B∶∠C=2.
9.解:∵小明姿态不变原地转了180°,
∴∠ACD=∠BCD=90°.
∵帽檐的位置没动,
∴帽檐与小明自身的角度不变,
即∠ADC=∠BDC.
在△ACD和△BCD中,
∴△ACD≌△BCD,∴AC=BC=30米.
故河宽为30米.
10.解:(1)证明:∵AB=AC,
∴∠ABD=∠ACE.
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴AD=AE.
(2)△ADE,△BDF,△BAE,△CAD.
11.证明:连接AD.
在△ABD和△DCA中,
∴△ABD≌△DCA(SSS),∴∠B=∠C.
在△AOB和△DOC中,
∴△AOB≌△DOC(AAS),∴OA=OD.
[素养提升]
(1)在△ABE和△ADG中,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG.
∵∠EAF=∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,
∴∠EAF=∠GAF.
在△AEF和△AGF中,
∴△AEF≌△AGF(SAS),∴EF=FG.
∵FG=DG+DF=BE+DF,
∴EF=BE+DF.
解:(1)EF=BE+DF
(2)结论EF=BE+DF仍然成立.
理由:如图,延长FD到点G,使DG=BE.连接AG.
∵∠B+∠ADC=180°,∠ADC+∠ADG=180°,
∴∠B=∠ADG.
在△ABE和△ADG中,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG.
∵∠EAF=∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF.
在△AEF和△AGF中,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=FG.
∵FG=DG+DF=BE+DF,∴EF=BE+DF.[全等三角形的判定1——“SAS”]
一、选择题
1.下列条件中,能直接运用“SAS”判定△ABC≌△DEF的是 ( )
A.AB=DE,∠A=∠D,BC=EF
B.AB=BC,∠B=∠E,DE=EF
C.AB=EF,∠A=∠D,AC=DF
D.BC=EF,∠C=∠F,AC=DF
2.如图,在△ABD和△ACE中,AB=AC,AD=AE,如果由“SAS”直接判定△ABD≌△ACE,那么需补充的条件为( )
A.∠EAD=∠BAC B. ∠B=∠C
C.∠D=∠E D. ∠EAB=∠CAD
3.如图所示,全等的三角形是 ( )
A.Ⅰ和Ⅱ B.Ⅱ和Ⅳ
C.Ⅱ和Ⅲ D.Ⅰ和Ⅲ
4.如图所示,在等边三角形ABC中,BD=CE,AD与BE相交于点P.若∠CBE=15°,则∠APE的度数是( )
A.65° B.55°
C.60° D.75°
二、填空题
5.把两根钢条AA',BB'的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳,如图所示.若测得AB=5厘米,则内槽宽A'B'为 厘米.
6.[2021·怀化] 如图,在△ABC和△ADC中,AB=AD,∠DAC=∠BAC,∠B=130°,则∠D= °.
7.如图所示,有一块三角形的镜子,小明不小心将它打破成①②两块,现需去商店配一块同样大小的镜子,为了方便起见,需带上第 块.
8.如图所示,OA=OB,OC=OD,∠O=50°,∠D=35°,则∠AEC的度数为 .
三、解答题
9.[2021·无锡] 如图,已知AB∥CD,AB=CD,BE=CF.
求证:(1)△ABF≌△DCE;
(2)AF∥DE.
10.[2021·台州] 如图,已知AB=AC,AD=AE,BD和CE相交于点O.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)判断△BOC的形状,并说明理由.
11.[2021·南充] 如图,O是线段AB的中点,OD∥BC且OD=BC.
(1)求证:△AOD≌△OBC;
(2)若∠ADO=35°,求∠DOC的度数.
12.[2021·徐州] 如图,AC⊥BC,CD⊥EC,AC=BC,DC=EC,AE与BD交于点F.
(1)求证:AE=BD;
(2)求∠AFD的度数.
13.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=90°,D为BC的中点,E,F分别为AB,AC上的点,且满足AE=CF.
求证:DE=DF.
14.在某地新修建的花园小区中,有一条“Z”字形绿色长廊ABCD,如图,其中AB∥CD,在AB,BC,CD三条绿色长廊上各修建一座小凉亭E,M,F,且BE=CF,M是BC的中点,在凉亭M与F之间有一池塘,不能直接到达,但要想知道M与F之间的距离,应该怎么办呢 写出你的做法,并说明理由.
[猜想与证明] 在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,D是AC的中点.将一块锐角为45°的三角尺AED按图所示方式放置,使三角尺斜边的两个端点分别与点A,D重合,连接BE,EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜想.
答案
[全等三角形的判定1——“SAS”]
1.D
2.A
3.D 夹30°角的两边中,Ⅰ和Ⅲ是相等的,根据“SAS”,可判定这两个三角形全等.
4.C ∵CE=BD,∠C=∠ABD=60°,BC=AB,∴△BCE≌△ABD,∴∠EBC=∠DAB,∴∠APE=∠DAB+∠ABP=∠EBC+∠ABP=∠ABC=60°.
5.5 连接AB,设AA'与BB'相交于点O.∵O为AA'和BB'的中点,∴OA'=OA,OB'=OB.又∵∠A'OB'=∠AOB,∴△OA'B'≌△OAB,∴A'B'=AB,故A'B'=5厘米.
6.130 ∵在△ADC和△ABC中,
∴△ADC≌△ABC(SAS),
∴∠D=∠B.
∵∠B=130°,∴∠D=130°.
7.①
8.60° ∵在△AOD中,∠O=50°,∠D=35°,∴∠OAD=180°-50°-35°=95°,
∴∠EAC=85°.
在△AOD和△BOC中,
∴△AOD≌△BOC,
∴∠C=∠D=35°,
∴∠AEC=180°-∠C-∠EAC=60°.
9.证明:∵BE=CF,∴BE-EF=CF-EF,
∴BF=CE.
∵AB∥CD,∴∠B=∠C.
在△ABF和△DCE中,
∴△ABF≌△DCE(SAS).
(2)∵△ABF≌△DCE,
∴∠AFB=∠DEC,
∴∠AFE=∠DEF,∴AF∥DE.
10.解:(1)证明:在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2)△BOC是等腰三角形,理由如下:
∵△ABD≌△ACE,
∴∠ABD=∠ACE.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE,
则∠OBC=∠OCB,
∴BO=CO,∴△BOC是等腰三角形.
11.解:(1)证明:∵O是线段AB的中点,
∴AO=OB.
∵OD∥BC,∴∠AOD=∠OBC.
在△AOD与△OBC中,
∴△AOD≌△OBC(SAS).
(2)∵△AOD≌△OBC,
∴∠ADO=∠OCB=35°.
∵OD∥BC,
∴∠DOC=∠OCB=35°.
12.解:(1)证明:∵AC⊥BC,CD⊥EC,
∴∠ACB=∠ECD=90°,∴∠ACE=∠BCD.
在△ACE和△BCD中,
∴△ACE≌△BCD,∴AE=BD.
(2)如图,∵△ACE≌△BCD,∴∠A=∠B.
∵∠AGC=∠BGF,
∴∠BFA=∠ACB=90°,
∴∠AFD=∠BFA=90°.
13.证明:连接AD.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠B=∠C=45°.
∵D为BC的中点,∴AD平分∠BAC,
即∠BAD=∠CAD=45°.
可证△ABD和△ACD均为等腰直角三角形,
∴AD=BD=CD.
在△ADE和△CDF中,
∴△ADE≌△CDF(SAS),
∴DE=DF.
14. 利用“SAS”证明△BME≌△CMF,得到ME=MF,因此测出ME的长度,也就知道了M与F之间的距离.
解:做法:测出EM的长度就是M与F之间的距离.
理由:如图,连接ME,MF.
∵AB∥CD,∴∠B=∠C.
∵M为BC的中点,∴BM=CM.
在△BME和△CMF中,
∴△BME≌△CMF(SAS),
∴ME=MF.
故测出ME的长度就是M与F之间的距离.
[素养提升]
解:BE=EC且BE⊥EC.
证明:∵△AED是直角三角形,∠AED=90°,且有一个锐角是45°,
∴∠EAD=∠EDA=45°,∴AE=DE.
∵∠BAC=90°,
∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°.
又∵∠EDC=180°-45°=135°,
∴∠EAB=∠EDC.
∵D是AC的中点,∴AD=DC=AC.
∵AC=2AB,∴AB=AD=DC.
在△EAB和△EDC中,
∴△EAB≌△EDC(SAS),
∴EB=EC,∠AEB=∠DEC,
则∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=∠AED=90°,
∴BE⊥EC.[全等三角形的概念和性质]
一、选择题
1.有下列说法:①全等图形的形状相同、大小相等;②全等三角形的对应边相等;③全等三角形的对应角相等;④全等三角形的周长、面积分别相等.其中正确的说法为( )
A.①②③④ B.①③④
C.①②④ D.②③④
2.图中有两个三角形全等,且∠A=∠D,AB与DF是对应边,下列书写最规范的是( )
A.△ABC≌△DEF B.△ABC≌△DFE
C.△BAC≌△DEF D.△ACB≌△DFE
3.如图,若△ABC≌△ADC,则下列结论中错误的是 ( )
A.AB=AD B.∠B=∠D
C.∠BCA=∠CAD D.BC=DC
4.已知△ABC≌△A'B'C',其中∠A'=50°,∠B'=70°,则∠C的度数为 ( )
A.55° B.60° C.70° D.75°
5.已知:△ABC≌△BAD,A,C的对应点分别为B,D.如果AB=5 cm,BC=7 cm,AC=10 cm,那么BD等于( )
A.10 cm B.7 cm
C.5 cm D.无法确定
6.在△ABC中,∠B=∠C,与△ABC全等的三角形有一个角是100°,那么△ABC中与这个角对应的角是 ( )
A.∠A B.∠B
C.∠C D.以上都不对
二、填空题
7.如图所示,△ABC≌△A'B'C',其中∠A=36°,∠C'=24°,则∠B= °.
8.一个三角形的三边长为2,5,x,另一个三角形的三边长为y,2,6,若这两个三角形全等,则x+y= .
三、解答题
9.如图,已知△ABC≌△DEF,点B,E,C,F在同一条直线上.求证:AB∥DE,BE=CF.
你能把下边的矩形分成两个全等的三角形吗 能分成四个全等的三角形吗 动手试试看!
答案
[全等三角形的概念和性质]
1.A
2.B 因为是两个三角形全等,且∠A=∠D,AB与DF是对应边,所以点A与点D对应,点B与点F对应,所以点C与点E对应,所以△ABC≌△DFE.
3.C ∵△ABC≌△ADC,∴AB=AD,BC=DC,∠B=∠D,∠BCA=∠DCA,∠BAC=∠DAC.
4.B ∵∠A'=50°,∠B'=70°,
∴∠C'=180°-50°-70°=60°.
∵△ABC≌△A'B'C',∴∠C=∠C'=60°.
5.A 由题意知,BD与AC是对应边,所以BD=10 cm.
6.A 在△ABC中,因为∠B=∠C,一个三角形中不能有两个钝角,所以100°的角只能是∠A.故选A.
7.120 ∵△ABC≌△A'B'C',
∴∠C=∠C'=24°,
∴∠B=180°-∠A-∠C=120°.故答案为120.
8.11 因为这两个三角形全等,所以对应边相等,所以y=5,x=6,所以x+y=11.
9.证明:因为△ABC≌△DEF,
所以∠B=∠DEF,所以AB∥DE.
由题意,得BC=EF.
又因为点B,E,C,F在同一条直线上,
所以BC-EC=EF-EC.
即BE=CF.
[素养提升]
解:(1)如图①,能分成两个全等的三角形.
(2)能分成四个全等的三角形,如图②(图象不唯一).[全等三角形的判定3——“AAS”]
一、选择题
1.如图,点D在AB上,点E在AC上,且∠B=∠C,AE=AD,则能直接判定△ABE≌△ACD的理由是 ( )
A.SAS B.ASA
C.AAS D.以上都不对
2.下列条件中能判定△ABC≌△DEF的是 ( )
A.AB=DE,BC=EF,∠A=∠D
B.∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F
C.AC=DF,∠B=∠F,AB=DE
D.∠B=∠E,∠C=∠F,AC=DF
3.[2021·安顺] 如图,点B,F,C,E在同一条直线上,AB∥DE,AC∥DF,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△DEF的是 ( )
A.AB=DE B.∠A=∠D
C.AC=DF D.BF=EC
4.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE相交于点F.若BF=AC,则∠ABC的度数是 ( )
A.40° B.45° C.50° D.60°
5.如图,AB⊥CD,且AB=CD.E,F是AD上的两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为( )
A.a+c B.b+c
C.a-b+c D.a+b-c
二、填空题
6.[2021·龙东地区] 如图,在Rt△ABC和Rt△EDF中,BC∥DF,点A,E,C,F共线,在不添加任何辅助线的情况下,请你添加一个条件: ,使Rt△ABC和Rt△EDF全等.
7.如图,点E,F在线段BC上,BE=CF,∠A=∠D,∠B=∠C,AF与DE相交于点O,则△OEF的形状是 .
8.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D,AD=5 cm,DE=3 cm,则BE的长为 cm.
三、解答题
9.[2021·益阳] 已知:如图,AB=AE,AB∥DE,∠ECB=70°,∠D=110°.
求证:△ABC≌△EAD.
10.[2021·菏泽] 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点E在AC的延长线上,ED⊥AB于点D.若BC=ED,求证:CE=BD.
11.[2021·衡阳] 如图,在△ABC中,∠B=∠C,过BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.
(1)求证:DE=DF;
(2)若∠BDE=40°,求∠BAC的度数.
12.杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A处步行到达B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语,其具体信息汇集如下:
如图所示,AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD相交于点O,OD⊥CD.垂足为D,已知AB=20米,请根据上述信息求标语CD的长度.
[动态几何题] 在△ABC中,AB=AC,∠BAC=60°,E为直线AC上一点,D为直线BC上一点,且DA=DE.
当点D在线段BC上时,如图①所示,易证:BD+AB=AE;
当点D在线段CB的延长线上时,如图②③,猜想线段BD,AB和AE之间又有怎样的数量关系.写出你的猜想,并选择一种情况给予证明.
答案
[全等三角形的判定3——“AAS”]
1.C 2.D
3.B ∵AB∥DE,AC∥DF,
∴∠B=∠E,∠ACB=∠DFE.
选项A,添加AB=DE可利用AAS判定△ABC≌△DEF,故此选项不合题意;
选项B,添加∠A=∠D无法判定△ABC≌△DEF,故此选项符合题意;
选项C,添加AC=DF可利用AAS判定△ABC≌△DEF,故此选项不合题意;
选项D,添加BF=EC可得BC=EF,可利用ASA判定△ABC≌△DEF,故此选项不合题意.故选B.
4.B ∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠AEF=∠BDF=90°,∴∠FBD+∠BFD=90°,∠FAE+∠AFE=90°.又∵∠AFE=∠BFD,∴∠FBD=∠FAE.又∵∠FDB=∠CDA,BF=AC,∴△BFD≌△ACD,∴BD=AD,则△ADB是等腰直角三角形,∴∠ABC=45°.
5.D ∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,
∴∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=90°,∠C+∠D=90°,∴∠A=∠C.
在△ABF和△CDE中,
∴△ABF≌△CDE(AAS),
∴AF=CE=a,BF=DE=b.
∵EF=c,
∴AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c.
6.答案不唯一.如:AB=ED 在Rt△ABC和Rt△EDF中,有∠BAC=∠DEF=90°.∵BC∥DF,∴∠BCA=∠DFE,∴添加AB=ED,
在Rt△ABC和Rt△EDF中,
∴Rt△ABC≌Rt△EDF(AAS).
7.等腰三角形 由BE=CF可得BF=CE.又∠A=∠D,∠B=∠C,∴△ABF≌△DCE,
∴∠AFB=∠DEC,∴OE=OF,即△OEF是等腰三角形.
8.2 ∵∠ACB=90°,∴∠BCE+∠ECA=90°.∵AD⊥CE于点D,∴∠CAD+∠ECA=90°,∴∠CAD=∠BCE.又∵∠ADC=∠CEB=90°,AC=BC,∴△ACD≌△CBE,∴BE=CD,CE=AD=5 cm,∴BE=CD=CE-DE=5-3=2(cm).
9.证明:由∠ECB=70°,得∠ACB=110°.
又∵∠D=110°,∴∠ACB=∠D.
∵AB∥DE,
∴∠CAB=∠E.
又∵AB=AE,∴△ABC≌△EAD.
10.证明:∵ED⊥AB,∴∠ADE=90°.
∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠ADE.
在△ABC和△AED中,
∴△ABC≌△AED,
∴AE=AB,AC=AD,
∴AE-AC=AB-AD,
即CE=BD.
11.解:(1)证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD.
在△BED和△CFD中,
∴△BED≌△CFD(AAS),
∴DE=DF.
(2)由(1)得∠BED=90°,
∴∠B+∠BDE=90°.
又∠BDE=40°,∴∠B=50°.
又∠B=∠C,∴∠C=50°.
在△ABC中,∵∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°.
12. 由AB∥CD,利用平行线的性质可得∠ABO=∠CDO,∠BAO=∠DCO.由垂直的定义可得∠CDO=90°,易得OB⊥AB,由相邻两平行线间的距离相等可得OD=OB,利用“AAS”定理可得△ABO≌△CDO,由全等三角形的性质可得结果.
解:∵AB∥CD,
∴∠ABO=∠CDO,∠BAO=∠DCO.
∵OD⊥CD,
∴∠CDO=90°,
∴∠ABO=90°,即OB⊥AB.
∵相邻两平行线间的距离相等,
∴OB=OD.
在△ABO和△CDO中,
∴△ABO≌△CDO(AAS),
∴CD=AB=20(米).
(也可利用“ASA”证△ABO≌△CDO,其他过程相同)
[素养提升]
解:在题图②中,结论:BD+AE=AB.
证明:过点E作EM∥AB交BC于点M,如图(a).
由题意可得△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°,AB=BC=AC,
∴∠CEM=∠CAB=60°,∠CME=∠CBA=60°,
从而△CME是等边三角形,
∴CE=CM=EM,∴AE=BM.
∵DA=DE,∴∠DAE=∠DEA,
∴∠BAC+∠DAB=∠C+∠EDM,
∴∠DAB=∠EDM.
∵∠ABD=180°-∠ABC=120°,
∠EMD=180°-∠EMC=120°,
∴∠ABD=∠DME.
在△ABD和△DME中,
∴△ABD≌△DME,∴BD=ME.
又∵ME=CM,∴BD=CM,
∴BD+AE=CM+BM=BC=AB.
在题图③中,结论:BD-AE=AB.
证明:过点E作EM∥AB交DC于点M,如图(b).
由题意可得△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°,AB=BC=AC,
∴∠CEM=∠CAB=60°,∠CME=∠CBA=60°,
从而△CME是等边三角形,
∴CE=CM=ME,
∴AE=BM.
∵DA=DE,
∴∠DAE=∠DEA,
∴∠C+∠ADC=∠MEC+∠DEM,
∴∠ADB=∠DEM.
∵∠ABD=180°-∠ABC=120°,
∠DME=180°-∠EMC=120°,
∴∠ABD=∠DME.
在△ABD和△DME中,
∴△ABD≌△DME,
∴BD=ME.
又∵ME=CM.
所以BD=CM,
∴BD-AE=CM-BM=BC=AB.[全等三角形的判定2——“ASA”]
一、选择题
1.如图中的两个三角形的关系是 ( )
A.不全等
B.它们的周长不相等
C.全等
D.不确定
2.如图,在△ABC和△DEF中,AB=DE,∠A=∠D,添加一个条件,能直接运用“ASA”判定这两个三角形全等的是 ( )
A.AC=DF B.∠B=∠E
C.BC=EF D.∠C=∠F
3.下列条件中,能直接用“ASA”判定△ABC≌△DEF的是 ( )
A.AB=DE,BC=EF,∠A=∠D
B.∠A=∠D,∠C=∠F,AC=EF
C.∠B=∠E,∠A=∠D,AC=EF
D.∠B=∠E,∠A=∠D,AB=DE
4.如图所示, ∠A=∠D, OA=OD,∠DOC=50°,则∠DBC的度数为 ( )
A.50° B.45° C.30° D.25°
5.如图所示,已知D是△ABC的边AB上一点,DF交AC于点E,DE=EF,FC∥AB.若BD=2,CF=5,则AB的长为 ( )
A.1 B.3 C.5 D.7
6.如图所示,在△ABC中,∠ABC=45°,AC=8 cm,F是高AD和BE的交点,则BF的长是( )
A.4 cm B.6 cm
C.8 cm D.9 cm
二、填空题
7.如图所示,AB,CD相交于点O,且AO=OB,观察图形,明显有∠AOC=∠BOD,只需补充条件: ,则有△AOC≌△ (ASA).
8.如图,亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分,很快他就根据所学知识画出一个和书上完全一样的三角形,那么这两个三角形完全一样的依据是 .
9.已知:如图所示,PM=PN,∠M=∠N.求证:AM=BN.
证明:在△PAN和△PBM中,
∴△ ≌△ ( ).
∴PA= ( ).
∵PM=PN( ),
∴PM- =PN- ,
即AM= .
三、解答题
10.[2021·铜仁] 如图,∠B=∠E,BF=EC,AC∥DF,点B,F,C,E在同一条直线上.求证:△ABC≌△DEF.
11.[2021·南京] 如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.求证:BD=CE.
12.[2021·黄石] 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,E为边BC上的点,且AB=AE,D为线段BE的中点,过点E作EF⊥AE,过点A作AF∥BC,且AF,EF相交于点F.
求证:(1)∠C=∠BAD;
(2)AC=EF.
13.如图所示,点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在边AC上,连接DF并延长交BC的延长线于点E,FE=FD.
求证:AD=CE.
[探究题] 如图,已知C是线段BD上一点,分别以BC,DC为一边在BD的同一侧作等边三角形ABC和等边三角形ECD,连接AD,BE相交于点F,AC和BE交于点M,AD和CE交于点N.
(1)求证:AD=BE;
(2)线段CM与CN相等吗 请证明你的结论;
(3)求∠BFD的度数.
答案
[全等三角形的判定2——“ASA”]
1.C
2.B
3.D
4.D ∵∠A=∠D, OA=OD,∠AOB=∠DOC,∴△AOB≌△DOC,∴OB=OC,
∴∠DOC=2∠DBC.
∵∠DOC=50°,∴∠DBC=25°.
5.D ∵FC∥AB,∴∠ADE=∠F.
又∵DE=FE,∠AED=∠CEF,
∴△ADE≌△CFE,∴AD=CF,
∴AB=AD+DB=CF+DB=7.
6.C ∵F是高AD和BE的交点,
∴∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°,
∴∠CAD+∠AFE=90°,∠FBD+∠BFD=90°.
∵∠AFE=∠BFD,∴∠CAD=∠FBD.
∵∠ADB=90°,∠ABC=45°,
∴∠BAD=45°=∠ABD,∴DB=DA.
在△DBF和△DAC中,
∴△DBF≌△DAC,∴BF=AC=8 cm.故选C.
7.∠A=∠B(或AC∥BD) BOD
已知AO=OB,∠AOC=∠BOD,要用ASA证明△AOC≌△BOD,需要条件∠A=∠B或AC∥BD.
8.ASA
9.P P 公共角 PN PM 已知 N
M 已知 PAN PBM ASA PB 全等三角形的对应边相等 已知 PA PB BN
10.证明:∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE.
又∵BF=CE,∴BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
11.证明:在△ACD和△ABE中,
∴△ACD≌△ABE,
∴AD=AE,
∴AB-AD=AC-AE,即BD=CE.
12.证明:(1)∵AB=AE,D为线段BE的中点,
∴AD⊥BC,∴∠C+∠DAC=90°.
∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠DAC=90°,
∴∠C=∠BAD.
(2)∵AF∥BC,∴∠FAE=∠AEB.
∵AB=AE,∴∠B=∠AEB,
∴∠B=∠FAE.
又∵AB=AE,∠BAC=∠AEF=90°,
∴△ABC≌△EAF(ASA),∴AC=EF.
13.证明:如图,过点D作DM∥BE交AC于点M,则有∠MDF=∠E.
在△MDF和△CEF中,
∴△MDF≌△CEF,∴MD=CE.
∵△ABC为等边三角形,
∴∠A=∠B=∠ACB=60°,
∴∠A=∠ADM=∠AMD=60°,
故△ADM为等边三角形,
∴MD=AD,∴AD=CE.
[素养提升]
解:(1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴BC=AC,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°.
同理,CE=CD,∠ECD=60°,
∴∠ACB=∠ECD=60°,
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE,
即∠BCE=∠ACD.
在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE.
(2)CM=CN.
证明:∵△ACD≌△BCE,
∴∠CBE=∠CAD.
∵∠ACB=∠ECD=60°,∴∠ACE=60°,
∴∠ACB=∠ACE.
在△BCM和△ACN中,
∴△BCM≌△ACN(ASA),
∴CM=CN.
(3)∵△ACD≌△BCE,
∴∠CBE=∠CAD,
∴∠BFD=∠BAF+∠ABE=∠BAC+∠CAD+∠ABE=∠BAC+∠CBE+∠ABE=∠BAC+∠ABC=60°+60°=120°.[全等三角形的判定4——“SSS”]
一、选择题
1.在△ABC和△DEF中,AB=3,BC=4,AC=6,DE=3,EF=4,要使△ABC与△DEF全等,则DF的长为( )
A.3 B.4 C.6 D.13
2.如图所示,工人师傅做了一个长方形窗框ABCD,E,F,G,H分别是四条边上的中点,为了使它稳固,需要在窗框上钉一根木条,这根木条不应钉在 ( )
A.A,C两点之间 B.E,G两点之间
C.B,F两点之间 D.G,H两点之间
3.如图,AB=AC,BD=CD,则可推出 ( )
A.△BAD≌△BCD B. △ABD≌△ACD
C.△ACD≌△BCD D. △ACE≌△BDE
4.已知△ABC的三边长分别为3,5,7,△DEF的三边长分别为3,3x-2,2x-1.若这两个三角形全等,则x的值为( )
A. B.4 C.3 D.不能确定
5.如图所示,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时,下面的4个条件中:①AE=FB,②AB=FE,③AE=BE,④BF=BE,可利用的是 ( )
A.①或② B.②或③
C.①或③ D.①或④
二、填空题
6.如图,AC,BD相交于点O,AC=BD,AB=CD,写出图中两对相等的角: .
7.工人师傅常用角尺(透明)平分一个任意角.做法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M,N重合,过角尺顶点C作射线OC.由此作法便可得△MOC≌△NOC,其依据是 .
8.如图,AB=AD,BC=CD,∠B=25°,则∠D= °.
三、解答题
9.如图,O为码头,A,B两个灯塔与码头的距离相等,OA,OB为海岸线,一轮船从码头开出,计划沿∠AOB的平分线航行,航行途中,测得轮船与灯塔A,B的距离相等,此时轮船有没有偏离航线 画出图形,并说明你的理由.
10.[2021·桂林] 如图,AB=AD,BC=DC,点E在AC上.
求证:(1)AC平分∠BAD;
(2)BE=DE.
11.已知:如图所示,点E,F在BD上,且AB=CD,BF=DE,AE=CF,AC与BD交于点O.
求证:AC与BD互相平分.
12.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是DC的中点,BE⊥DC,点F在线段BE上,且满足BF=AB,FC=AD.
求证:(1)∠A=∠BFC;
(2)∠FBC=∠BCF.
[动点问题] 如图,在四边形ABCD中,AD=BC=10,AB=CD,BD=14,点E从点D出发,以每秒2个单位的速度沿DA向点A匀速移动,点F从点C出发,以每秒5个单位的速度沿C→B→C做匀速移动,点G从点B出发沿BD向点D匀速移动,三个点同时出发,当有一个点到达终点时,其余两点也随之停止运动,假设移动时间为t秒.
(1)求证:AD∥BC;
(2)在移动过程中,小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现,请你探究这样的情况会出现几次 并分别求出此时的移动时间t和点G的移动距离.
答案
[全等三角形的判定4——“SSS”]
1.C 三边分别相等的两个三角形全等.
2.B
3.B
4.C
5.A 由题意,得要用“SSS”进行△ABC和△FED全等的判定,需要AB=FE,若添加①AE=FB,则可得AE+BE=FB+BE,即AB=FE,①可以;若添加AB=FE,则可直接用“SSS”证明两三角形全等,②可以;而③④都不可以.
6.答案不唯一.如:∠A=∠D,∠AOB=∠DOC 连接BC,可证△ABC≌△DCB,可得∠A=∠D,根据对顶角相等可得∠AOB=∠DOC,利用三角形内角和定理,得∠B=∠C.
7.SSS
8.25 连接AC.由AB=AD,BC=CD,AC=AC,可得△ABC≌△ADC,∴∠B=∠D=25°.
9.解:此时轮船没有偏离航线.理由:如图,航线为射线OP,航行途中点P到点A,B的距离相等,即PA=PB.在△OAP和△OBP中,OA=OB,PA=PB,OP=OP,所以△OAP≌△OBP,所以∠AOP=∠BOP,所以轮船没有偏离航线.
10.证明:(1)在△ABC与△ADC中,
∴△ABC≌△ADC(SSS).
∴∠BAC=∠DAC,
即AC平分∠BAD.
(2)由(1)得∠BAE=∠DAE.
在△BAE与△DAE中,
∴△BAE≌△DAE(SAS).
∴BE=DE.
11.证明:∵BF=DE,
∴BF-EF=DE-EF,
即BE=DF.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SSS),∴∠B=∠D.
又∵∠AOB=∠COD,AB=CD,
∴△ABO≌△CDO(AAS),
∴AO=CO,BO=DO,
故AC与BD互相平分.
12.证明:
(1)如图,连接BD.∵E是DC的中点,BE⊥DC,
∴BE垂直平分DC,
∴BD=BC.
在△ABD和△FBC中,
∴△ABD≌△FBC(SSS),
∴∠A=∠BFC.
(2)由(1)知△ABD≌△FBC,
∴∠ADB=∠FCB.
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC.
∵BD=BC且BE⊥DC,
∴∠FBC=∠DBC,
∴∠FBC=∠ADB,
即∠FBC=∠BCF.
[素养提升]
解:(1)证明:在△ABD和△CDB中,
∴△ABD≌△CDB(SSS),
∴∠ADB=∠CBD,
∴AD∥BC.
(2)设点G的移动距离为x.
∵△DEG与△BFG全等,∠EDG=∠FBG,
∴DE=BF,DG=BG或DE=BG,DG=BF.
①∵BC=10,=2,
∴当点F由点C到点B,即0则解得或
解得(不合题意舍去);
②当点F由点B到点C,即2或解得
∴综上所述,△DEG与△BFG全等的情况会出现3次,此时的移动时间分别是秒,秒,秒,点G的移动距离分别是7,7,.
