[实数的概念]
一、选择题
1.[2021·天水] 下列四个实数中,是负数的是( )
A.-(-3) B.(-2)2
C.|-4| D.-
2.-的绝对值是 ( )
A. B. C.- D.-
3.下列说法中错误的是 ( )
A.实数包括有理数和无理数
B.实数没有最大值,只有最小值
C.绝对值大于它本身的实数一定是负数
D.任意一个实数和它的相反数的和都等于0
4.[2021·北京] 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示,若实数b满足-a
A.2 B.-1 C.-2 D.-3
5.[2021·绥化] 化简|-3|的结果正确的是( )
A.-3 B.--3
C.+3 D.3-
6.已知|a|=5,=7,且|a+b|=a+b,则a-b的值为 ( )
A.2或12 B.2或-12
C.-2或12 D.-2或-12
二、填空题
7.[2021·青岛] -的相反数是 .
8.在0.351,-,4.969696…,,,0,-5.2333,2π,5.411010010001…(相邻两个1之间依次多一个0)中,无理数的个数为 .
9.如图所示,把半径等于的圆放到数轴上,圆上一点A与原点重合,圆沿着数轴滚动一周,点A的终点表示的数是 .
三、解答题
10.求下列各数的相反数和绝对值.
(1) ; (2)3.14-π; (3)2-.
11.如图所示,点A在数轴上表示的数是.
(1)若把点A向左平移2个单位得到的点为B,则点B表示的数是 ;
(2)在(1)的基础上,若点C在原点O的右侧,且OB=OC,则点C表示的数是 ;
(3)在(1)(2)的基础上,求出线段OA,OB,OC的长度之和.
[数形结合思想] 如图所示,有高度相同的A,B,C三只圆柱形杯子,A,B两只杯子已经盛满水,小颖把A,B两只杯子中的水全部倒进C杯中,C杯恰好装满.小颖测量得A,B两只杯子底面圆的半径分别是2厘米和3厘米,你能求出C杯底面圆的半径是多少吗 (结果保留一位小数)
答案
[实数的概念]
1.D 根据负数小于0,而-(-3)=3>0,(-2)2=4>0,|-4|=4>0,只有-<0,因此本题选D.
2.A
3.B
4.B
5.D ∵<3,∴-3<0.∵负数的绝对值等于它的相反,∴|-3|=-(-3)=3-.故选D.
6.D ∵|a|=5,∴a=±5.
∵=7,∴b=±7.
又∵|a+b|=a+b,∴a+b≥0,
∴a=5,b=7或a=-5,b=7,
∴a-b的值为-2或-12.
7.
8.4 ,,2π,5.411010010001…(相邻两个1之间依次多一个0)是无理数,其余各数是有理数.故答案为4.
9.π或-π 点A恰好滚动一周,它运动的路线长为半径为的圆的周长.因为它可以向两个不同的方向运动,因此它表示的数为π或-π.
10.解:(1)的相反数是3,绝对值是3.
(2)3.14-π的相反数是π-3.14,绝对值是π-3.14.
(3)2-的相反数是-2,绝对值是-2.
11.解:(1)-2
(2)2-
(3)由题可得:点A表示的数是,点B表示的数是-2,点C表示的数是2-,
∴OA=,OB=2-,OC=2-,
∴OA+OB+OC=+2-+2-=4-.
[素养提升]
解:设三个杯子的高均为h厘米,C杯的底面圆的半径为r厘米,则×22h+π×32h=πr2h,
解得r=≈3.6,
即C杯底面圆的半径约是3.6厘米.[实数的运算和大小比较]
一、选择题
1.计算:-+等于( )
A.2 B.-2 C.0 D.2
2.与1+最接近的整数是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
3.[2021·泰安] 在实数|-3.14|,-3,-,π中,最小的数是 ( )
A.- B.-3 C.|-3.14| D.π
4.[2021·天津] 估计的值在( )
A.2和3之间 B. 3和4之间
C. 4和5之间 D. 5和6之间
5.式子2+的结果精确到0.01为(可用计算器计算或笔算) ( )
A.4.9 B.4.87 C.4.88 D.4.89
6.比较-3.1,-π,-的大小,正确的是 ( )
A.-π<-<-3.1 B.-3.1<-π<-
C.-π<-3.1<- D.-<-π<-3.1
7.[2021·益阳六中期末] 化简+的结果为 ( )
A.+1 B.-1
C.-+1 D.--1
二、填空题
8.在实数-5,-,0,π,中,最大的数是 .
9.运用科学计算器进行计算,按键顺序如下:
则计算器显示的结果是 .
10.已知实数a在数轴上的对应点的位置如图所示,则|-a|+|-a|= .
11.任何实数a,可用[a]表示不超过a的最大整数,如[4]=4,[]=1,现对72进行如下操作:72[]=8[]=2[]=1,这样对72只需进行3次操作后变为1.类似地,对81只需进行3次操作后变为1,那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中,最大的是 .
三、解答题
12.计算:
(1)+3-5;
(2)2-1+-+;
(3)[2021·温州] -+-(-3);
(4)(-)2---|1-|;
(5)(-3)2×+×.
13.在数轴上表示下列各数,并用“>”把它们连起来:
-0.,-,,,π,-3.14.
14.解下列方程:
(1)4x+=0; (2)-3x+=0.
15.如图,有一块面积为30 m2的正方形铁皮的四个角各截去一个面积为2 m2的小正方形,剩下的部分刚好围成一个无盖的长方体运输箱,求此运输箱底面的边长(精确到0.1 m).
16.已知5+的小数部分为a,5-的小数部分为b.
求:(1)a+b的值;
(2)a-b的值.
[规律探究题] 已知a1=-1,a2=-,a3=-,…,an=-,定义:S1=a1=-1,S2=a1+a2=(-1)+(-)=-1,S3=a1+a2+a3=(-1)+(-)+(-)=-1,…,按此类推Sn=a1+a2+a3+…+an,试猜想Sn的值,并验证你的猜想.
答案
[实数的运算和大小比较]
1.C
2.B 由计算器求出≈2.236,所以与1+最接近的整数是3.
3.B 四个数中,有2个正数:|-3.14|=3.14,π,两个负数:-3,-,而|-3|=3,|-|=≈1.732.∵3>1.732,∴-3<-.故选B.
4.D ∵25<33<36,∴5 <<6.故选D.
5.C 2+≈3.464+1.414=4.878≈4.88.故选C.
6.C
7.B 原式=-+-1=-1.
8.π 根据“正数大于0,0大于负数”,可得实数-5,-,0,π,中比较大的是π,,由于3<π<4,2<<3,故π>.
9.-7 根据按键顺序可得算式为(3.5-4.5)×32+=(-1)×9+2=-9+2=-7.
10.- 由数轴上a的对应点的位置可知,29,∴>3,∴-a>0.∵1<2<4,∴1<<2,∴-a<0,∴原式=-a+a-=-.
11.255 255第一次操作后为15,第二次操作后为3,第三次操作后为1;而256第一次操作后为16,第二次操作后为4,第三次操作后2,第四次操作后为1,需要用4次操作,即只需进行3次操作后变为1的所有正整数中,最大的正整数是255.
12.解:(1)原式=3-4.
(2)原式=+3-3+2=.
(3)原式=6-3+1+3=7.
(4)原式=5-4+4-+1=6-.
(5)原式=9×4-3×1=33.
13.解:如图:
π>>>-0.>->-3.14.
14.解:(1)4x=-,所以x=-.
(2)3x=,所以x=.
15.解:设大正方形的边长为x m,小正方形的边长为y m.由题意得x2=30,解得x=(负值已舍去).y2=2,解得y=(负值已舍去).故此运输箱底面的边长为-2 ≈2.6(m).
16.解:因为9<11<16,所以3<<4,所以8<5+<9,故5+的小数部分a=5+-8=-3.
因为-4<-<-3,所以5-的整数部分为1,所以5-的小数部分b=5--1=-+4,则(1)a+b=-3-+4=1.
(2)a-b=-3+-4=2-7.
[素养提升]
解:Sn=-1.
验证:Sn=a1+a2+a3+…+an=(-1)+(-)+(-)+…+(-)=-1+-+-+…+-=-1.