[二次根式的化简]
一、选择题
1.[2021·济宁] 下列各式是最简二次根式的是 ( )
A. B. C. D.
2.化简的结果是 ( )
A.2 B.2 C.-2 D.±2
3.下列各式化简后的结果为3的是 ( )
A. B. C. D.
4.化简2的结果为 ( )
A.1 B. C. D.2
5.化简的结果是 ( )
A.-5 B.5 C.35 D.
6.给出下列运算:①=×=(-4)×(-3)=12;②=×=3;③=-=13-5=8;④==×=×=.其中正确的有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
7.下列计算正确的是 ( )
A.=2 B.=
C.=x D.=x
8.若=a,=b,则可以表示为 ( )
A. B.a C.a2b D.ab
9.把-3根号外的因式移到根号内,所得结果为 ( )
A.- B. -
C. - D.
二、填空题
10.化简:= ,= .
11.当x=-6时,的值是 .
12.写出一个二次根式,使这个二次根式化成最简二次根式后,与的被开方数相同,这个二次根式可以是 (写出满足条件的一个即可).
13.对于任意不相等的两个数a,b,定义一种运算※如下:a※b=,如3※2==,那么8※4= .
14.已知n为正整数,也是正整数,则n的最小值为 .
15.若和都是最简二次根式,则m= ,n= .
三、解答题
16.化简下列二次根式:
(1); (2);
(3).
17.化简下列二次根式:
(1);(2).
18.在实数范围内,把下列多项式因式分解:
(1)a2-3; (2)5x2-4.
19.如果一个正方形的边长为a,它的面积与长为96 cm、宽为12 cm的长方形的面积相等,求a的值.
20.阅读与解答:
古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中,给出了下面的三角形的面积计算公式:
若一个三角形的三边长分别为a,b,c,设p=,则此三角形的面积为S=,我们把这个计算三角形面积的公式叫作海伦公式.
请你运用海伦公式解答:在△ABC中,BC=4,AC=5,AB=6,求△ABC的面积.
[阅读理解题] 观察下列各式及验证过程:
2=;3=.
验证:2===
=.
验证:3===
=.
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想4的变形结果并验证;
(2)针对上述各式反映的规律,用含n(n为任意自然数,且n≥2)的等式表示这个规律并验证.
答案
[二次根式的化简]
1.A 因为被开方数13是质数,所以是最简二次根式.因为=2,=|a|,=,所以,和都不是最简二次根式.
2.B ==2.故选B.
3.C 是最简二次根式,=2,=3,=6.因此选C.
4.B 原式=2=.故选B.
5.B
6.B
7.A
8.C ∵=a,=b,∴=3=()2×=a2b.
9.C
10.2 ==2,==.
11.2
12.(答案不唯一) ∵=2,
∴符合题意.
13. 8※4=====.
14.2 n为正整数,也是正整数,则8n是一个完全平方数.又8n=23n=22×(2n),则2n是一个完全平方数,所以n的最小值为2.
15.1 2 由题意,知
解得
16.解:(1).(2).(3)18.
17.解:(1)=×=4|m|=
(2)==|2x2|=2x2.
18.解:(1)a2-3=a2-()2=(a+)(a-).
(2)5x2-4=(x)2-22=(x+2)(x-2).
19. 根据面积相等列出等式,再根据积的算术平方根求出该正方形的边长.
解:由题意,得a2=96×12,所以a====×××=24(cm).
20.解:由题意得p==,
则S=
=
=
=.
[素养提升]
解:(1)猜想:4=.
验证:4====.
(2)规律:n=.
验证:n====.[二次根式的概念及性质]
一、选择题
1.下列各式中,是二次根式的为 ( )
A. B.-
C. D.(a<1)
2.若式子-3有意义,则m的取值范围是 ( )
A.m≥3 B.m≤3 C.m≥0 D.m≤0
3.[2021·衢州] 要使二次根式有意义,则x的值可以为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.4
4.若二次根式在实数范围内有意义,则x的取值范围在数轴上表示正确的是 ( )
5.无论x取何值,下列各式中一定有意义的是 ( )
A. B.
C. D.
6.当x的取值范围为x≥2时,下列各式有意义的是 ( )
A. B.
C. D.
7.[2021·黄石] 若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是 ( )
A.x≥1且x≠2 B.x≤1
C.x>1且x≠2 D.x<1
8.计算(-)2+的结果是 ( )
A.-2 B.-24 C.2 D.24
9.已知=a-1,那么a的取值范围为( )
A.a>1 B.a<1 C.a≥1 D.a≤1
10.如果|a|-a=0,那么的值为( )
A.-a B.0 C.a D.±a
11.若1
A.2x-4 B.-2 C.4-2x D.2
二、填空题
12.计算:(-)2= .
13.若代数式+在实数范围内有意义,则x的取值范围是 .
14.已知实数a在数轴上的对应点的位置如图所示,则化简|a-1|+的结果是 .
15.若实数a,b满足|a+2|+=0,则的值为 .
16.已知x,y均为实数,且y=-+4,则x-y= .
三、解答题
17.当x取何实数时,下列各式有意义
(1); (2); (3).
18.计算:
(1)(-3)2; (2)2;
(3);
(4)+(-)2-;
(5)+.
19.设a,b,c为△ABC的三边长,化简:++-.
20.已知+=b+8.
(1)求a的值;
(2)求a2-b2的平方根.
21.是否存在这样的整数x,它同时满足以下两个条件:①代数式和都有意义;②的值是整数.如果存在,找出所有满足条件的x;如果不存在,请说明理由.
[图文信息题] 求-++的值.在数学课上老师将此题写在黑板上后,教室里热闹极了,同学们争论不休,下面是该班第五学习小组讨论的情景:
小梅:由于-a2小于零,因此,此题无解.
小娟:没有告诉a的值,无法求解.
小波:可以求解,随便取a值即可.
小军:挖掘隐含条件-a2≥0,故当且仅当a=0时,原式才有意义,所以把a=0代入原式,就可求其值为-++=2-3+1+0=0.
你怎么评价这四名同学的解答
答案
[二次根式的概念及性质]
1.B
2.C
3.D 二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0,所以x-3≥0,解得x≥3.
4.A 二次根式在实数范围内有意义,则2x-6≥0,解得x≥3.
5.C
6.C 若式子有意义,则解得x>2.若式子有意义,则x-2>0,解得x>2.若式子有意义,则x-2≥0,解得x≥2.若式子有意义,则2-x≥0,解得x≤2.故选C.
7.A
8.D 原式=11+13=24.
9.C 由题意,知a-1≥0,解得a≥1.
10.C 由|a|-a=0,得|a|=a,
故=|a|=a.
11.D ∵10,
∴|x-3|+=|x-3|+|x-1|=3-x+x-1=2.故选D.
12.3 负实数的偶次幂为正,所以(-)2=()2,而()2=a,所以()2=3.
13.-2≤x≤3 由题意,得x+2≥0,3-x≥0,解得-2≤x≤3.
14.1 由数轴可知015.1 ∵|a+2|+=0,
∴a+2=0且b-4=0,
解得a=-2,b=4,
∴===1.
16.-1或-7
由题意得x2-9=0,解得x=±3,∴y=4,∴x-y=-1或x-y=-7.故答案为-1或-7.
17.解:(1)x+5≥0,解得x≥-5.
(2)3-x≥0,解得x≤3.
(3)解得x≥-3且x≠1.
18.解:(1)(-3)2=(-3)2×()2=9×7=63.
(2)2==.
(3)==.
(4)原式=5+2-5=2.
(5)原式=-+1-=.
19.解:根据a,b,c为△ABC的三边长,得到a+b+c>0,a-b-c<0,b-a-c<0,c-b-a<0,
则原式=|a+b+c|+|a-b-c|+|b-a-c|+|c-b-a|=a+b+c+b+c-a+a+c-b+c-b-a=4c.
20.解:(1)根据题意,得所以a=17.
(2)由(1)得b+8=0,解得b=-8,
则a2-b2=172-(-8)2=225,
则225的平方根是±15.
21.解:存在.由题意可得
解得6≤x≤29.
又∵的值是整数,∴x=8或x=27.
[素养提升]
解:小梅的说法不对,二次根式有意义,即-a2≥0,而不是小于零.
小娟的说法不对,她没有挖掘出隐含条件-a2≥0,能求值.
小波的说法不对,a的值不是随便取的,a有取值范围.
所以小军的说法对,其余三名同学都有错误.