[在数轴上表示一元一次不等式的解集]
一、选择题
1.如图所示,在数轴上表示的关于x的一元一次不等式的解集为 ( )
A.x≤1 B.x≥1 C.x<1 D.x>1
2.[2021·嘉兴] 不等式3(1-x)>2-4x的解集在数轴上表示正确的是 ( )
3.不等式3(x-1)≤5-x的非负整数解有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.若关于x的不等式x-b>0恰有两个负整数解,则b的取值范围是 ( )
A.-3C.-3≤b≤-2 D.-3≤b<-2
5.关于x的分式方程=3的解是正数,则字母m的取值范围是 ( )
A.m>3 B.m>-3
C.m≥-3 D.m<-3
二、填空题
6.[2021·株洲] 若a为有理数,且2-a的值大于1,则a的取值范围为 .
7.已知不等式5x-2<6x+1的最小整数解是关于x的方程3x-ax=6的解,则a= .
8.在实数范围内规定新运算“△”,其规则如下:a△b=2a-b.已知在数轴上表示关于x的不等式x△k≥1的解集如图所示,则k的值是 .
9.不等式≥1-x的非负整数解是 .
三、解答题
10.解下列不等式,并把其解集表示在数轴上:
(1)3x-1≥2(x-1);
(2)[2021·攀枝花] ->-3.
11.已知将关于x的不等式x>的解集表示在数轴上如图所示,求a的值.
12.先用不等式表示下列数量关系,然后求出它们的解集,并在数轴上表示出来.
(1)x的3倍与4的和是正数;
(2)x与3的和的一半不大于5.
13.当y为何值时,代数式-2的值不大于-3的值
14.若关于x的方程2x-3m=2m-4x+4的解不小于-的值,求m的最小值.
15.若关于x,y的二元一次方程组的解满足x+y>-,求满足条件的m的所有正整数值.
16.若关于x的不等式(a+b)x+(2a-3b)<0的解集为x>-,求关于x的不等式(a-3b)x>2a+b的解集.
[不等式的特殊解] 已知a,b是整数,关于x的不等式x>a-2b的最小整数解为8,关于y的不等式y<2a-3b-19的最大整数解为-8.
(1)求a,b的值;
(2)若|x-a|>a-x,求符合题意的x的最小整数值.
答案
[在数轴上表示一元一次不等式的解集]
1.D 根据一元一次不等式的解集在数轴上的表示方法可知,不等式的解集是表示1的点右边的部分.
2.A 去括号,得3-3x>2-4x.移项,得-3x+4x>2-3.合并同类项、系数化为1,得x>-1.
3.C 去括号,得3x-3≤5-x.移项、合并同类项,得4x≤8.系数化为1,得x≤2.∴不等式的非负整数解有0,1,2这3个.故选C.
4.D
5.D 分式方程去分母,得2x-m=3x+3,解得x=-m-3.由分式方程的解为正数,得-m-3>0,且-m-3≠-1,解得m<-3.故选D.
6.a<1 将2-a>1变形为-a>-1,不等式两边都除以-1,得a<1.
7.4 由5x-2<6x+1,解得x>-3.
∵不等式5x-2<6x+1的最小整数解是关于x的方程3x-ax=6的解,
∴x=-2.
把x=-2代入方程3x-ax=6中,得3×(-2)-a×(-2)=6,解得a=4.
8.-3 根据规则a△b=2a-b,可把关于x的不等式x△k≥1转化为2x-k≥1,解得x≥.由数轴可知其解集为x≥-1,∴=-1,解得k=-3.
9.0,1,2,3 解不等式≥1-x,得x≤3,所以满足条件的非负整数解有0,1,2,3.
10.解:(1)去括号,得3x-1≥2x-2.
移项,得3x-2x≥-2+1.
合并同类项,得x≥-1.
把不等式的解集表示在数轴上如下:
(2)去分母,得2(x-2)-5(x+4)>-30.
去括号,得2x-4-5x-20>-30.
移项、合并同类项,得 -3x>-6.
系数化为1,得x<2.
把不等式的解集表示在数轴上如下:
11.解:由题意,得=-1,解得a=1.
12.解:(1)用不等式表示为3x+4>0,解得x>-.
把不等式的解集表示在数轴上如下:
(2)用不等式表示为≤5,解得x≤7.
把不等式的解集表示在数轴上如下:
13.解:依题意,得-2≤-3,解得y≤-6.
14.解:关于x的方程2x-3m=2m-4x+4的解为x=.
根据题意,得≥-.
去分母,得4(5m+4)≥21-8(1-m).
去括号,得20m+16≥21-8+8m.
移项、合并同类项,得12m≥-3.
系数化为1,得m≥-.
所以当m≥-时,方程的解不小于-,m的最小值为-.
15.解:
①+②,得3(x+y)=-3m+6,
∴x+y=-m+2.
∵x+y>-,
∴-m+2>-,∴m<,
∴满足条件的m的所有正整数值为1,2,3.
16.解:∵不等式(a+b)x+(2a-3b)<0的解集是x>-,
∴=-且a+b<0,
解得a=2b.
∵a+b<0,∴3b<0,即b<0,∴-b>0,
此时不等式(a-3b)x>2a+b为-bx>5b,解得x>-5.
[素养提升]
解:(1)∵a,b是整数,
∴a-2b,2a-3b-19也是整数.
∵关于x的不等式x>a-2b的最小整数解为8,关于y的不等式y<2a-3b-19的最大整数解为-8,
∴
解得
(2)∵|x-a|>a-x,
∴a-x<0.
∵a=3,∴3-x<0,∴x>3,
∴符合题意的x的最小整数值是4.[一元一次不等式的解法]
一、选择题
1.下列不等式中,是一元一次不等式的是 ( )
A.2x-3y>4 B.-2<3
C.3x-1<0 D.y2-3>2
2.[2021·株洲] 下列哪个数是不等式2(x-1)+3<0的一个解 ( )
A.-3 B.- C. D.2
3.关于x的方程5-a(1-x)=8x-(3-a)x的解是负数,则a的取值范围是 ( )
A.a<-4 B.a>5
C.a>-5 D.a<-5
4.[2021·陇南] 不等式2x+9≥3(x+2)的解集是 ( )
A.x≤3 B.x≤-3
C.x≥3 D.x≥-3
5.若-的值不是负数,则x的取值范围是 ( )
A.x> B.x< C.x≤ D.x≥
6.与不等式<-1有相同解集的是 ( )
A.3x-3<(4x+1)-1
B.3(x-3)<2(4x+1)-1
C.2(x-3)<3(2x+1)-6
D.3x-9<4x-4
7.已知关于x的一元一次不等式≤-2的解集为x≥4,则m的值为 ( )
A.14 B.7 C.-2 D.2
二、填空题
8.已知k>3x2+2k是关于x的一元一次不等式,那么k= .
9.[2021·常德] 不等式3x+1>2(x+4)的解集为 .
10.若不等式(2k+1)x<2k+1的解集是x>1,则k的取值范围是 .
三、解答题
11.解不等式:(1)3(x+1)<4(x-2)-3;
(2)[2021·淄博] +1>x-3.
12.已知关于x的一元一次不等式mx-3>2x+m.
(1)若它的解集是x<,求m的取值范围.
(2)若它的解集是x>,则这样的m是否存在 如果存在,求出它的值;如果不存在,请说明理由.
13.已知其中x,y满足x+y<,求k的取值范围.
[新定义题] 对于任意实数x,y,定义一种新运算:x y=ax+by2,其中a,b为常数,已知1 2=6,2 1=5.
(1)求a和b的值;
(2)若(x-1) 3<7,求x的取值范围.
答案
[一元一次不等式的解法]
1.C
2.A 解不等式2(x-1)+3<0,得x<-.只有-3<-,所以-3是不等式2(x-1)+3<0的一个解.
3.B 解方程5-a(1-x)=8x-(3-a)x,得x=.因为解是负数,所以5-a<0,所以a>5.
4.A ∵2x+9≥3(x+2),∴2x+9≥3x+6,∴3≥x,即x≤3.故选A.
5.D 依题意,有-≥0,两边同乘12,得6x-9-4x-16≥0,所以2x≥25,所以x≥.故选D.
6.C 解<-1,得x>-.A选项的解集是x>-3;B选项的解集是x>-2;C选项的解集为x>-;D选项的解集为x>-5.故选C.
7.D 去分母,得m-2x≤-6.移项,得-2x≤-6-m.系数化为1,得x≥.根据不等式的解集为x≥4,可知=4,解得m=2.
8.- 先根据一元一次不等式的定义列出方程,再求出k的值.
9.x>7 去括号,得3x+1>2x+8.移项,得3x-2x>8-1.合并同类项,得x>7.
10.k<-
11.解:(1)去括号,得3x+3<4x-8-3,
移项,得3x-4x<-11-3,
合并同类项,得-x<-14,
系数化为1,得x>14.
(2)去分母,得x-5+2>2x-6,
移项,得x-2x>-6+5-2,
合并同类项,得-x>-3,
系数化为1,得x<3.
12.解:(1)不等式mx-3>2x+m,
移项、合并同类项,得(m-2)x>m+3,
由解集为x<,得m-2<0,即m<2.
(2)不存在.理由:由解集为x>,
得m-2>0,即m>2,且=,
解得m=-18<2,不合题意,
即这样的m值不存在.
13.解:由方程组解得x+y=2k+.
由x+y<,得2k+<,解得k<0.
故k的取值范围是k<0.
[素养提升]
解:(1)依题意,得解得
(2)由(1)知a=2,b=1,∴x y=2x+y2,
∴(x-1) 3=2(x-1)+9=2x+7.
∵(x-1) 3<7,∴2x+7<7,解得x<0.
