[二次根式的混合运算]
一、选择题
1.化简-(+2)的结果为( )
A.-2 B.-2 C.2 D.4-2
2.[2021·常州] 下列各数中与2+的积是有理数的是 ( )
A.2+ B.2 C. D.2-
3.下列计算中正确的是( )
A.(+)=×=
B.×-=-=
C.(-)×=×=3
D.=2-6=-4
4.[2021·重庆A卷] 估计×的值应在 ( )
A.4和5之间 B.5和6之间
C.6和7之间 D.7和8之间
5.化简时,甲的解法是==+,乙的解法是==+.以下判断正确的是 ( )
A.甲的解法正确,乙的解法不正确
B.甲的解法不正确,乙的解法正确
C.甲、乙的解法都正确
D.甲、乙的解法都不正确
6.已知x=,y=,则x2+xy+y2的值为 ( )
A.2 B.4 C.5 D.7
二、填空题
7.(1)计算:-÷= .
(2)[2021·株洲] 计算×(+)结果是 .
8.[2021·天津] 计算(+1)(-1)的结果等于 .
9.计算:(2-2)2= .
10.计算:= .
11.计算(1-2)(1+2)-(2-1)2的结果是 .
12.如图所示,长方形内有两个相邻的正方形,面积分别为4和2,则阴影部分的面积为 .
13.[2021·益阳] 观察下列等式:
①3-2=;
②5-2=;
③7-2=;
…
请你根据以上规律,写出第6个等式为_______________.
三、解答题
14.计算:(1)2×;
(2).
15.已知x=+1,y=-1,求下列代数式的值.
(1)x2-xy+y2; (2)x2-y2.
16.计算:
(1)(2+)(2-)-(-1)2;
(2)(+3)2021×(-3)2021;
(3)-+.
17.[2021·绵阳] 先化简,再求值:x+2+÷,其中x=-1.
[阅读理解题] 阅读下列材料,然后回答问题:
在进行二次根式运算时,我们有时会碰上如,,的式子,其实我们还可以将其进一步化简:
== (一);
==(二);
===-1(三).
以上这种化简的步骤叫作分母有理化.
还可以用以下方法化简:
====-1(四).
(1)请按下列要求化简:.
①参照(三)式化简;
②参照(四)式化简.
(2)化简:+++…+(n≥1,且n为正整数) .
答案
[二次根式的混合运算]
1.A -(+2)=2-2-2=-2.
2.D (2+)(2-)=1.故选D.
3.C A项中括号内部分不能计算,正确结果为+2;B项中-应等于;D项中分子中的6没有除以,正确结果应等于2-3.
4.C ∵原式=2×+6×=2+,而<<,即4<<5,∴2+4<2+<5+2,即6<(2+6)×<7.故选C.
5.C
6.B 因为x-y=-1,xy==1,所以原式=(x-y)2+3xy=(-1)2+3×1=4.故选B.
7.(1)4 (2)2 (1)-÷=×-×=-=-=6-2=4.
(2)原式=×+×=+=+=2.
8.6 原式=()2-12=7-1=6.
9.16-8
原式=22+(2 )2-2×2×2 =16-8 .
10.+2
原式=×(+2)=
(5-4)2021×(+2)=+2.
11.-24+4
12.2-2 大正方形的边长==2,小正方形的边长=,所以阴影部分的面积=(2-)×=2-2.
13.13-2=
∵①3-2=;
②5-2=;
③7-2=;
…
∴第n个等式为(2n+1)-2=.
∴当n=6时,可以得到第6个等式为13-2=.
14.解:(1)2×
=2-6+
=12-90+12=-66.
(2)= -
5- +6=×2-5×-×2+6=- -3 +6=- .
15.解:(1)x2-xy+y2=(x-y)2+xy=[(+1)-(-1)]2+(+1)(-1)=4+2=6.
(2)x2-y2=(x+y)(x-y)=(+1+-1)×[(+1)-(-1)]=2×2=4.
16.解:(1)原式=12-6-(2-2+1)=6-3+2=3+2.
(2)原式=(+3)×(+3)2021×(-3)2021=(+3)[(+3)(-3)]2021=(+3)×12021=+3.
(3)原式=-+=+1-(+)-=+1---=1-2.
17.解:原式=÷
=÷
=·
=.
当x=-1时,原式====1-.
[素养提升]
解:(1)①==
=-.
②===
=-.
(2)原式=+
++…+
=
+++…+=.[二次根式的加减运算]
一、选择题
1.下列二次根式中能与2合并的是 ( )
A. B. C. D.
2.[2021·兰州] 计算-的值为 ( )
A. B.2 C.3 D.4
3.化简+-的结果为 ( )
A.0 B.2 C.-2 D.2
4.估计5-的值应在 ( )
A.5和6之间 B.6和7之间
C.7和8之间 D.8和9之间
5.两个正方形的面积分别为2 cm2,8 cm2,则这两个正方形边长的和为 ( )
A.4 cm B.3 cm
C.10 cm D. cm
6.△ABC的两边长分别为2,5,则第三边的长度不可能为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
二、填空题
7.计算:(1)-= ;
(2)[2021·德州] -= .
8.[2021·常德] 计算:-+= .
三、解答题
9.计算:
(1)-;
(2)-2+;
(3)-(3+11).
10.已知a=+,b=-,求+的值.
11.等腰三角形的一边长为2,周长为4+7,求这个等腰三角形的腰长.
[方程思想] 已知+6-2x=15,求x的值.
答案
[二次根式的加减运算]
1.B A选项,=2,不能与2合并;B选项,=,能与2合并;C选项,=3,不能与2合并;D选项,=3,不能与2合并.故选B.
2.A 原式=2-=.故选A.
3.D +-=3+-2=2.
4.C ∵5-=5-2=3=,而7=<<=8,∴5-的值在7和8之间.
5.B 这两个正方形边长的和为+=+2=3(cm).
6.A 根据三角形三边的关系,得5-2<第三边的长度<2+5,即3<第三边的长度<7.
7.(1)2 (2)2
(1)-=4-2 =2.
(2)原式=-=3-=2.
8.3 原式=-+2=3.
9.解:(1)-=2-4=-2.
(2)-2+
=4-+=4.
(3)-(3+11)
=2-3-11
=--11.
10.解:∵+=,a+b=2,a-b=2,
∴ 原式==+.
11.解:当2是腰长时,底边长是4+7-2×2=7.∵2+2=4<7,
∴此时不能组成三角形;
当2是底边长时,腰长为(4+7-2)=+,能组成三角形.
综上所述,这个等腰三角形的腰长为+.
[素养提升]
解:依题意,得2+3-2=15,
解得x=25.
