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山东省滨州市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．设全集为，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若命题：，，则命题的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知函数则（ ）
A． B．3 C．1 D．19
4．若扇形的周长为，面积为，则其圆心角的弧度数是（ ）
A．1或4 B．1或2 C．2或4 D．1或5
5．假设某校高二年级全体同学的数学竞赛成绩服从正态分布，如果规定竞赛成绩大于或等于90分为等，那么在参加竞赛的学生中随机选择一名，他的竞赛成绩为等的概率为（ ）（附：若，则，，）
A．0.0455 B．0.0214 C．0.0428 D．0.02275
6．某地区安排A，，，，五名志愿者到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个社区至少安排一人，且A，两人安排在同一个社区，则不同的分配方法的种数为（ ）
A．36 B．48 C．72 D．84
7．针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生 女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则的最小值为（ ）
附：，附表：
0.05 0.01
3.841 6.635
A．7 B．8 C．9 D．10
8．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
C．是函数图象的一条对称轴
D．若，则的最小值为
10．一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为取出白球的个数，随机变量为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知，，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数的定义域为，其图象关于直线对称，且，当时，，则下列结论中正确的是（ ）
A．为偶函数 B．在上单调递减
C． D．在上无零点
三、填空题
13．若某射手每次射击击中目标的概率为，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有一次未击中目标的概率是 .
14．的展开式中，的系数为 .
15．为迎接党的二十大召开，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中（有3道选择题和2道填空题），不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件为“第1次抽到选择题”，事件为“第2次抽到选择题”，则 .
16．如图，已知直线，是，之间的一定点，并且点A到，的距离分别为3，4.点是直线上异于点的一动点，作，且使与直线交于点.则的最大值为 .
四、解答题
17．已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
18．随着夏季的来临，遮阳帽开始畅销，某商家为了解某种遮阳帽如何定价才可以获得最大利润，现对这种遮阳帽进行试销售.统计后得到其单价（单位：元）与销量（单位：顶）的相关数据如表：
单价（元） 30 35 40 45 50
日销售量（顶） 140 130 110 90 80
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考数据：，.
（1）已知销量与单价具有线性相关关系，求关于的经验回归方程；
（2）若每顶帽子的成本为10元，试销售结束后，请利用（1）中所求的经验回归方程确定单价为多少元时，销售利润最大？（结果保留到整数）
19．已知实数，，，满足.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求证：.
20．已知函数的最小值为1.
（1）求常数的值；
（2）当时，求函数的单调递增区间.
21．已知一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个白球，2个红球.
（1）若从袋子中任意摸出4个球，求其中恰有2个白球的概率；
（2）试验1：若每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸到红球即停止摸球，最多摸球四次，表示停止时的摸球次数；试验2：若每次随机地摸出一个球，记下颜色后不放回，摸到红球即停止摸球，表示停止时的摸球次数.
（i）求的分布列及均值；
（ii）求试验1和试验2停止时摸球次数相同的概率.
22．已知是定义在实数集上的函数，把方程称为函数的特征方程，特征方程的两个实根，称为函数的特征根.
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）求的表达式；
（3）把函数在上的最大值记作，最小值记作，令，若恒成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：，，
故答案为：B.
【分析】根据题意由补集和交集的定义，结合题意即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】由题意，命题：，的否定为：，
故答案为：B
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，结合题意即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】函数的值
【解析】【解答】
故答案为：B
【分析】根据题意由分段函数的解析式，选择合适的解析式代入计算出结果即可。
4．【答案】A
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设扇形的半径为，弧长为，由题意得，解得或，
故扇形的圆心角的弧度数或 4．
故答案为：A.
【分析】由已知条件结合圆心角公式和扇形的面积公式，代入数值计算出结果即可。
5．【答案】D
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】由题意，正态分布的标准差为5，故，故在参加竞赛的学生中随机选择一名，他的竞赛成绩为等的概率为
故答案为：D
【分析】根据题意由已知条件结合正态分布的数据，结合标准差公式代入数值计算出结果，再把结果代入概率公式，计算出结果即可。
6．【答案】A
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】第一种分配方式：一个社区3人，另外两个小区各1人，
因为A，两人安排在同一个社区，所以先从C，D，E中选1人和A，B一起，再将三组人分配到三个小区，所以一共有种；
第二种分配方式，一个小区1人，另外两个小区各2人，
因为A，两人安排在同一个社区，所以从C，D，E中选2人组成一组，再将三组人分配到三个小区，所以一共有种；
所以不同的分配方法有种.
故答案为：A.
【分析】根据题意由排列组合以及计数原理，结合题意计算出结果即可。
7．【答案】C
【知识点】独立性检验
【解析】【解答】根据题意，不妨设，于是，由于依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，根据表格可知，解得，于是最小值为9.
故答案为：C
【分析】由已知条件把数值代入到参考公式计算出结果，再与标准值进行比较，由此即可得出关于m的取值范围，从而得出m的最小值。
8．【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：，即，
，即，
，即，
所以；
故答案为：A
【分析】由对数的运算性质整理化简，结合对数函数和指数函数的单调性即可比较出结果，从而得出答案。
9．【答案】A,C,D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：依题意可得，，所以，又，解得，
所以，又函数过点，即，所以，
所以，又，所以，所以，A符合题意；
由的图象向左平移个单位长度得到，B不符合题意；
因为，所以是函数图象的一条对称轴，C符合题意；
对于D：若，则取得最大（小）值且取最小（大）值，
所以，D符合题意；
故答案为：ACD
【分析】根据题意结合周期的公式即可求出的值，再由特殊点法代入计算出，由此即可得出函数的解析式，再结合正弦函数图象、性质以及函数平移的性质，由此对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】B,D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由条件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4个球，所以，B符合题意；
的取值为，
，，
，，，可知A不符合题意；
的取值为，且，，，，，
则，，所以，C不符合题意；
的取值为，且，，，，，
所以，D符合题意；
故答案为：BD.
【分析】根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出结果，然后比较大小由此得出答案。
11．【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，，，
所以，所以，当且仅当时取等号，A不符合题意；
又，所以，当且仅当时取等号，B符合题意；
，
当且仅当，即时取等号，C符合题意；
，
当且仅当时，等号成立，D符合题意．
故答案为：BCD
【分析】首先整理化简原式，结合基本不等式即可得出原式的最值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
12．【答案】A,C
【知识点】奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的极值；函数的零点
【解析】【解答】对A，因为图象关于直线对称，故，且，故，即，故为偶函数，A符合题意；
对B，当时，为减函数，又为偶函数，故在其对称区间上为增函数，B不符合题意；
对C，由可得的周期为4，故，又为偶函数，故，C符合题意；
对D，当时，为减函数，且，，故在上有零点，D不符合题意；
故答案为：AC
【分析】由已知条件结合函数奇偶性的定义，整理化简即可得出函数为偶函数，再由对数的运算性质以及对数函数的单调性，即可求出函数的最值，然后由函数零点的定义结合方程根的情况即可得出答案，由此对选项逐一判断即可得出答案。
13．【答案】
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】由题意可知，在他连续4次射击中，恰好有一次未击中目标的概率为.
故答案为：.
【分析】根据题意由n次独立事件的概率公式，代入数值计算出结果即可。
14．【答案】15
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】，
其中的展开式通项为，，故时，得含的项为；
的展开式通项为，，故时，得含的项为.
因此，式子的展开式中，含的项为，即系数为15 .
故答案为：15
【分析】首先由已知条件求出二项展开式的通项公式，再由已知条件代入数值计算出满足题意的r的值，并代入到二项展开式的通项公式计算出结果即可。
15．【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】由题意，，，故
故答案为：
【分析】根据题意由互斥事件以及乘法概率公式，代入数值计算出结果即可。
16．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；函数最值的应用
【解析】【解答】设，，则在中，，，所以，
在中，，，所以，
所以，其中，
所以的最大值为.
故答案为：.
【分析】根据题意由已知条件结合三角形中的几何计算关系，结合两角和的正弦公式以及同角三角函数的基本关系式，由正弦函数的性质即可得出最大值。
17．【答案】（1）解：因为，所以，又，
，，
所以，解得，
（2）解：
，
，，
，即，将两边平方得，
．即，
.
．
【知识点】正切函数的单调性；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】(1)由已知条件结合同角三角函数的基本关系式，代入数值计算出结果即可。
(2)根据题意由同角三角函数的基本关系式，整理化简计算出答案。
18．【答案】（1）解：，，
所以，
，
所以关于的经验回归方程为，
（2）解：设销售单价为元，销售利润为，则
对称轴为，
因为二次函数的图象开口向下，
所以当单价为42元时，销售利润最大
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；线性回归方程；函数最值的应用
【解析】【分析】(1)首先由样本点的坐标公式，计算出点的坐标并代入到线性回归方程整理化简，由此即可得出答案。
(2)根据题意由已知条件即可得出函数的解析式，然后由二次函数的性质即可得出函数的最值，从而得出答案。
19．【答案】（1）解：由题意，，即，解得，故
（2）证明：因为，故，且，故，因为，故，故，即得证
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的运算性质；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1)根据题意由指数幂的运算性质，整理化简计算出结果即可。
(2)首先由对数的运算性质整理化简，再由对数函数的单调性即可得出结果。
20．【答案】（1）解：
因为的最小值为-1，所以的最小值为，
所以.
（2）解：令，解得：.
令得：；令得：.
与取交集，得到或.
即当时，函数的单调递增区间为和.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的图象；正弦函数的单调性
【解析】【分析】(1)根据题意由二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式整理化简函数的解析式，再由正弦函数的性质即可得出函数的最值。
(2)由角x的取值范围结合正弦函数的单调性，由整体思想即可得出函数的单调区间。
21．【答案】（1）解：从袋子中任意摸出4个球，共有种摸法，其中恰有2个白球的有种摸法，
所以所求概率为.
（2）解：（i）的所有可能取值为，
，，，
，
所以的分布列为：
1 2 3 4
.
（ii）的所有可能取值为，
，，，
，
所以.
所以试验1和试验2停止时摸球次数相同的概为.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据题意由排列组合以及计数原理计算出各个事件的个数，并代入到概率公式由此计算出结果。
(2) （i） 根据题意即可得出的取值，再由概率的公式求出对应的的概率由此得到的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。
（ii） 根据题意即可得出的取值，再由概率的公式求出对应的的概率，再代入到概率公式由此计算出结果即可。
22．【答案】（1）解：当时，，
则，即为奇函数；
当时，因为，，
所以，，
故既不是奇函数也不是偶函数．
综上所述，当时，为奇函数；
当时，既不是奇函数也不是偶函数；
（2）解：由题意可得，方程的两个特征根为，，
则方程的两个实数根为，，
由，所以，，
故，
所以
，
即.
（3）解：由，得，
由（2）可知，方程的两个实数根为，，
则当时，恒成立，
所以恒成立，则在上单调递增，
所以，
由恒成立，可知恒成立，
所以恒成立，
因为，
其中当且仅当，即时等号成立，
所以，
故实数的取值范围为．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的判断；奇偶性与单调性的综合；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】(1)根据题意对m分情况讨论，由奇函数的定义f(-x）=f(x)，整理化简得出函数为奇函数，再由特殊值法代入计算出结果即可。
(2)首先由已知条件结合方程根的情况，由韦达定理即可得出两根之和与两根之积，代入到原式整理化简即可得出关于m的方程，从而得出函数的解析式。
(3)由(2)的结论结合题意即可得出不等式，再由导函数的性质得出函数的单调性，再由函数的单调性即可得出函数的最值，利用分离参数法结合不等式的性质即可得出的取值范围。
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山东省滨州市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．设全集为，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：，，
故答案为：B.
【分析】根据题意由补集和交集的定义，结合题意即可得出答案。
2．若命题：，，则命题的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】由题意，命题：，的否定为：，
故答案为：B
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，结合题意即可得出答案。
3．已知函数则（ ）
A． B．3 C．1 D．19
【答案】B
【知识点】函数的值
【解析】【解答】
故答案为：B
【分析】根据题意由分段函数的解析式，选择合适的解析式代入计算出结果即可。
4．若扇形的周长为，面积为，则其圆心角的弧度数是（ ）
A．1或4 B．1或2 C．2或4 D．1或5
【答案】A
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设扇形的半径为，弧长为，由题意得，解得或，
故扇形的圆心角的弧度数或 4．
故答案为：A.
【分析】由已知条件结合圆心角公式和扇形的面积公式，代入数值计算出结果即可。
5．假设某校高二年级全体同学的数学竞赛成绩服从正态分布，如果规定竞赛成绩大于或等于90分为等，那么在参加竞赛的学生中随机选择一名，他的竞赛成绩为等的概率为（ ）（附：若，则，，）
A．0.0455 B．0.0214 C．0.0428 D．0.02275
【答案】D
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】【解答】由题意，正态分布的标准差为5，故，故在参加竞赛的学生中随机选择一名，他的竞赛成绩为等的概率为
故答案为：D
【分析】根据题意由已知条件结合正态分布的数据，结合标准差公式代入数值计算出结果，再把结果代入概率公式，计算出结果即可。
6．某地区安排A，，，，五名志愿者到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个社区至少安排一人，且A，两人安排在同一个社区，则不同的分配方法的种数为（ ）
A．36 B．48 C．72 D．84
【答案】A
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】第一种分配方式：一个社区3人，另外两个小区各1人，
因为A，两人安排在同一个社区，所以先从C，D，E中选1人和A，B一起，再将三组人分配到三个小区，所以一共有种；
第二种分配方式，一个小区1人，另外两个小区各2人，
因为A，两人安排在同一个社区，所以从C，D，E中选2人组成一组，再将三组人分配到三个小区，所以一共有种；
所以不同的分配方法有种.
故答案为：A.
【分析】根据题意由排列组合以及计数原理，结合题意计算出结果即可。
7．针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生 女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则的最小值为（ ）
附：，附表：
0.05 0.01
3.841 6.635
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】独立性检验
【解析】【解答】根据题意，不妨设，于是，由于依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，根据表格可知，解得，于是最小值为9.
故答案为：C
【分析】由已知条件把数值代入到参考公式计算出结果，再与标准值进行比较，由此即可得出关于m的取值范围，从而得出m的最小值。
8．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：，即，
，即，
，即，
所以；
故答案为：A
【分析】由对数的运算性质整理化简，结合对数函数和指数函数的单调性即可比较出结果，从而得出答案。
二、多选题
9．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
C．是函数图象的一条对称轴
D．若，则的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：依题意可得，，所以，又，解得，
所以，又函数过点，即，所以，
所以，又，所以，所以，A符合题意；
由的图象向左平移个单位长度得到，B不符合题意；
因为，所以是函数图象的一条对称轴，C符合题意；
对于D：若，则取得最大（小）值且取最小（大）值，
所以，D符合题意；
故答案为：ACD
【分析】根据题意结合周期的公式即可求出的值，再由特殊点法代入计算出，由此即可得出函数的解析式，再结合正弦函数图象、性质以及函数平移的性质，由此对选项逐一判断即可得出答案。
10．一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为取出白球的个数，随机变量为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由条件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4个球，所以，B符合题意；
的取值为，
，，
，，，可知A不符合题意；
的取值为，且，，，，，
则，，所以，C不符合题意；
的取值为，且，，，，，
所以，D符合题意；
故答案为：BD.
【分析】根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出结果，然后比较大小由此得出答案。
11．已知，，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，，，
所以，所以，当且仅当时取等号，A不符合题意；
又，所以，当且仅当时取等号，B符合题意；
，
当且仅当，即时取等号，C符合题意；
，
当且仅当时，等号成立，D符合题意．
故答案为：BCD
【分析】首先整理化简原式，结合基本不等式即可得出原式的最值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
12．已知函数的定义域为，其图象关于直线对称，且，当时，，则下列结论中正确的是（ ）
A．为偶函数 B．在上单调递减
C． D．在上无零点
【答案】A,C
【知识点】奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的极值；函数的零点
【解析】【解答】对A，因为图象关于直线对称，故，且，故，即，故为偶函数，A符合题意；
对B，当时，为减函数，又为偶函数，故在其对称区间上为增函数，B不符合题意；
对C，由可得的周期为4，故，又为偶函数，故，C符合题意；
对D，当时，为减函数，且，，故在上有零点，D不符合题意；
故答案为：AC
【分析】由已知条件结合函数奇偶性的定义，整理化简即可得出函数为偶函数，再由对数的运算性质以及对数函数的单调性，即可求出函数的最值，然后由函数零点的定义结合方程根的情况即可得出答案，由此对选项逐一判断即可得出答案。
三、填空题
13．若某射手每次射击击中目标的概率为，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有一次未击中目标的概率是 .
【答案】
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】由题意可知，在他连续4次射击中，恰好有一次未击中目标的概率为.
故答案为：.
【分析】根据题意由n次独立事件的概率公式，代入数值计算出结果即可。
14．的展开式中，的系数为 .
【答案】15
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】，
其中的展开式通项为，，故时，得含的项为；
的展开式通项为，，故时，得含的项为.
因此，式子的展开式中，含的项为，即系数为15 .
故答案为：15
【分析】首先由已知条件求出二项展开式的通项公式，再由已知条件代入数值计算出满足题意的r的值，并代入到二项展开式的通项公式计算出结果即可。
15．为迎接党的二十大召开，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中（有3道选择题和2道填空题），不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件为“第1次抽到选择题”，事件为“第2次抽到选择题”，则 .
【答案】
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】由题意，，，故
故答案为：
【分析】根据题意由互斥事件以及乘法概率公式，代入数值计算出结果即可。
16．如图，已知直线，是，之间的一定点，并且点A到，的距离分别为3，4.点是直线上异于点的一动点，作，且使与直线交于点.则的最大值为 .
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；函数最值的应用
【解析】【解答】设，，则在中，，，所以，
在中，，，所以，
所以，其中，
所以的最大值为.
故答案为：.
【分析】根据题意由已知条件结合三角形中的几何计算关系，结合两角和的正弦公式以及同角三角函数的基本关系式，由正弦函数的性质即可得出最大值。
四、解答题
17．已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：因为，所以，又，
，，
所以，解得，
（2）解：
，
，，
，即，将两边平方得，
．即，
.
．
【知识点】正切函数的单调性；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】(1)由已知条件结合同角三角函数的基本关系式，代入数值计算出结果即可。
(2)根据题意由同角三角函数的基本关系式，整理化简计算出答案。
18．随着夏季的来临，遮阳帽开始畅销，某商家为了解某种遮阳帽如何定价才可以获得最大利润，现对这种遮阳帽进行试销售.统计后得到其单价（单位：元）与销量（单位：顶）的相关数据如表：
单价（元） 30 35 40 45 50
日销售量（顶） 140 130 110 90 80
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考数据：，.
（1）已知销量与单价具有线性相关关系，求关于的经验回归方程；
（2）若每顶帽子的成本为10元，试销售结束后，请利用（1）中所求的经验回归方程确定单价为多少元时，销售利润最大？（结果保留到整数）
【答案】（1）解：，，
所以，
，
所以关于的经验回归方程为，
（2）解：设销售单价为元，销售利润为，则
对称轴为，
因为二次函数的图象开口向下，
所以当单价为42元时，销售利润最大
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；线性回归方程；函数最值的应用
【解析】【分析】(1)首先由样本点的坐标公式，计算出点的坐标并代入到线性回归方程整理化简，由此即可得出答案。
(2)根据题意由已知条件即可得出函数的解析式，然后由二次函数的性质即可得出函数的最值，从而得出答案。
19．已知实数，，，满足.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求证：.
【答案】（1）解：由题意，，即，解得，故
（2）证明：因为，故，且，故，因为，故，故，即得证
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的运算性质；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】(1)根据题意由指数幂的运算性质，整理化简计算出结果即可。
(2)首先由对数的运算性质整理化简，再由对数函数的单调性即可得出结果。
20．已知函数的最小值为1.
（1）求常数的值；
（2）当时，求函数的单调递增区间.
【答案】（1）解：
因为的最小值为-1，所以的最小值为，
所以.
（2）解：令，解得：.
令得：；令得：.
与取交集，得到或.
即当时，函数的单调递增区间为和.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；正弦函数的图象；正弦函数的单调性
【解析】【分析】(1)根据题意由二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式整理化简函数的解析式，再由正弦函数的性质即可得出函数的最值。
(2)由角x的取值范围结合正弦函数的单调性，由整体思想即可得出函数的单调区间。
21．已知一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个白球，2个红球.
（1）若从袋子中任意摸出4个球，求其中恰有2个白球的概率；
（2）试验1：若每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸到红球即停止摸球，最多摸球四次，表示停止时的摸球次数；试验2：若每次随机地摸出一个球，记下颜色后不放回，摸到红球即停止摸球，表示停止时的摸球次数.
（i）求的分布列及均值；
（ii）求试验1和试验2停止时摸球次数相同的概率.
【答案】（1）解：从袋子中任意摸出4个球，共有种摸法，其中恰有2个白球的有种摸法，
所以所求概率为.
（2）解：（i）的所有可能取值为，
，，，
，
所以的分布列为：
1 2 3 4
.
（ii）的所有可能取值为，
，，，
，
所以.
所以试验1和试验2停止时摸球次数相同的概为.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据题意由排列组合以及计数原理计算出各个事件的个数，并代入到概率公式由此计算出结果。
(2) （i） 根据题意即可得出的取值，再由概率的公式求出对应的的概率由此得到的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。
（ii） 根据题意即可得出的取值，再由概率的公式求出对应的的概率，再代入到概率公式由此计算出结果即可。
22．已知是定义在实数集上的函数，把方程称为函数的特征方程，特征方程的两个实根，称为函数的特征根.
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）求的表达式；
（3）把函数在上的最大值记作，最小值记作，令，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，
则，即为奇函数；
当时，因为，，
所以，，
故既不是奇函数也不是偶函数．
综上所述，当时，为奇函数；
当时，既不是奇函数也不是偶函数；
（2）解：由题意可得，方程的两个特征根为，，
则方程的两个实数根为，，
由，所以，，
故，
所以
，
即.
（3）解：由，得，
由（2）可知，方程的两个实数根为，，
则当时，恒成立，
所以恒成立，则在上单调递增，
所以，
由恒成立，可知恒成立，
所以恒成立，
因为，
其中当且仅当，即时等号成立，
所以，
故实数的取值范围为．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的判断；奇偶性与单调性的综合；函数与方程的综合运用
【解析】【分析】(1)根据题意对m分情况讨论，由奇函数的定义f(-x）=f(x)，整理化简得出函数为奇函数，再由特殊值法代入计算出结果即可。
(2)首先由已知条件结合方程根的情况，由韦达定理即可得出两根之和与两根之积，代入到原式整理化简即可得出关于m的方程，从而得出函数的解析式。
(3)由(2)的结论结合题意即可得出不等式，再由导函数的性质得出函数的单调性，再由函数的单调性即可得出函数的最值，利用分离参数法结合不等式的性质即可得出的取值范围。
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