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山东省德州市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·德州期末）已知集合，，则=（ ）
A．（－1，2） B．（－1，2] C．（1，2） D．（1，2]
2．（2022高二下·德州期末）对于方程根的存在性问题，有一个著名的定理——“代数基本定理”，其内容为：任意一个一元复系数方程，在复数域中至少有一个根．则“代数基本定理”的否定为（ ）
A．任意一个一元复系数方程，在复数域中至多有一个根
B．任意一个一元复系数方程，在复数域中没有根
C．存在一个一元复系数方程，在复数域中至少有一个根
D．存在一个一元复系数方程，在复数域中没有根
3．（2022高二下·德州期末）幂函数在区间上单调递增，则（ ）
A．27 B． C． D．
4．（2022高二下·德州期末）已知，，则（ ）
A． B． C． D．b
5．（2022高二下·德州期末）函数的部分图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022高二下·德州期末）已知为上的奇函数，且，当时，，则的值为（ ）
A． B．12 C． D．
7．（2022高二下·德州期末）若函数在上是单调函数，且存在负的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二下·德州期末）设，已知关于x的方程恰有6个不同的实数根，则k的取值范用为（ ）
A．（-2，0） B．（-3，-2） C．［-3，-2） D．［-2，0）
二、多选题
9．（2022高二下·德州期末）下列说法正确的是（ ）
A．“，”是假命题
B．“，”是真命题
C．是的充分不必要条件
D．a，，的充要条件是
10．（2022高二下·德州期末）已知x>0，y>0，且x+2y=3，则下列正确的是（ ）
A．的最小值为3 B．的最大值为6
C．xy的最大值为 D．
11．（2022高二下·德州期末）已知函数在R上可导，其导函数满足，，则（ ）
A．函数在上为增函数
B．是函数的极小值点
C．函数必有2个零点
D．
12．（2022高二下·德州期末）对，表示不超过x的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数．人们更习惯称之为“取整函数”，例如：，，则下列命题中的真命题是（ ）
A．，
B．，
C．函数的值域为［0，1）
D．方程有两个实数根
三、填空题
13．（2022高二下·德州期末）已知函数．若，则m= ．
14．（2022高二下·德州期末）函数在点（0，f（0））处的切线与直线平行，则a= ．
15．（2022高二下·德州期末）若，且满足，则的最小值为 ．
16．（2022高二下·德州期末）已知函数有两个不同的极值点，，则实数a的取值范围是 ；若不等式有解，则实数t的取值范围是 ．
四、解答题
17．（2022高二下·德州期末）已知命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18．（2022高二下·德州期末）已知函数．
（1）判断函数在区间上的单调性，并说明理由；
（2）求证：函数在上有且只有一个极值点．
19．（2022高二下·德州期末）已知函数，且．
（1）求的值；
（2）解不等式．
20．（2022高二下·德州期末）已知函数．
（1）若函数f（x）在x=－1处取得极值，求实数a的值；
（2）当时．求函数f（x）的最大值．
21．（2022高二下·德州期末）高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，促进了区域经济和社会发展．已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔t（单位：分钟）满足，．经测算，高铁的载客量与发车时间间隔t相关：当时，高铁为满载状态，载客量为1200人；当时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与成正比，且发车时间间隔为5分钟时的载客量为950人．论发车间隔为t分钟时，高铁载客量为P（t）．
（1）求P（t）的表达式；
（2）若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益元，当发车时间间隔为多少时，单位时间的浄收益最大？最大为多少？
22．（2022高二下·德州期末）已知函数，．
（1）若的图像在点（1，f（1））处的切线过（3，3），求函数y=xf（x）的单调区间；
（2）当a>0时，曲线f（x）与曲线g（x）存在唯一的公切线，求实数a的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由已知，，
所以．
故答案为：C．
【分析】根据题意由交集的定义结合不等式，即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】“任意一个一元复系数方程，在复数域中至少有一个根”的否定为“存在一个一元复系数方程，使得在复数域中没有根”.
故答案为：D.
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，结合题意由方程根的情况，即可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】由题意，令，即，解得或，
当时，可得函数，此时函数在上单调递增，符合题意；
当时，可得，此时函数在上单调递减，不符合题意，
即幂函数，则.
故答案为：A.
【分析】由幂函数的定义，计算出m的取值，再由m的取值得出函数的解析式，代入数值计算出结果即可。
4．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】，，所以，所以，所以，所以.
故答案为：B.
【分析】根据题意由对数函数和指数函数的单调性，即可比较出大小从而得出答案。
5．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】对求导得恒成立，故在上单调递增，A符合题意.
故答案为：A.
【分析】首先对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数的图象，由此得出答案。
6．【答案】D
【知识点】函数奇偶性的性质；对数的运算性质
【解析】【解答】由题意，函数为上的奇函数，且，即，
且当时，，
又由.
故答案为：D.
【分析】由奇函数的性质整理化简原式，再由对数的运算性质代入数值计算出结果即可。
7．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】因为当时，，所以函数必然单调递增.
所以，解得
所以a的取值范围是.
故答案为：C
【分析】根据题意对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
8．【答案】B
【知识点】函数与方程的综合运用；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】 的图象如图所示，
令，设关于 的方程的两个根分别为 ，由关于 的方程恰好有6个不同的实数根，等价于关于 的图象与 公有6个交点，由图可知： 或者，设，当时，则 ；
当， 则 不符合要求；
故
故答案为：B
【分析】由绝对值的几何意义整理化简函数的解析式，结合二次函数的图象作出函数f(x)的图象，利用数形结合法以及方程根的情况，即可得出关于k的不等式组，求解出k的取值范围即可。
9．【答案】A,B,D
【知识点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】，但，A中命题是假命题，正确；
，，，，，所以，即，B符合题意；
，但，不充分，C不符合题意；
，，
因此充分条件为，即，D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】根据题意由真假命题的判断，结合不等式的性质以及对数函数的单调性即可判断出选项A、B的正误，再由指数函数的单调性和绝对值的几何意义，结合充分和必要条件的定义即可判断出选项C、D的正误，由此得出答案。
10．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，
，当且仅当，即时等号成立，A符合题意；
由得，所以，B不符合题意；
，，当且仅当时，等号成立，C符合题意；
，当且仅当，即时等号成立，D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】根据题意首先整理化简原式，然后由基本不等式即可求出原式的最值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
11．【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】函数，则，
当时，，，故在上为增函数，A不符合题意；
当时，，，故在单调递减，故是函数的极小值点，B符合题意；
若，则没有零点，C不符合题意：
在上为增函数，则，即，化简得，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】根据题意首先对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，结合函数的单调性即可求出函数的最值，结合函数极值以及零点的定义即可得出结果，由此对选项逐一判断即可得出答案。
12．【答案】B,C,D
【知识点】命题的真假判断与应用；函数的值域
【解析】【解答】对于A，当时，，所以A不符合题意，
对于B，因为对，表示不超过x的最大整数，所以，所以B符合题意，
对于C，由B可知，所以，因为对，表示不超过x的最大整数，所以，所以，所以函数的值域为［0，1），所以C符合题意，
对于D，由，得，令，则方程的解转化为两函数图象的交点情况，作出两函数的图象，如图所示，
由图象可知两函数图象只有两个交点，所以方程有两个实数根，所以D符合题意，
故答案为：BCD
【分析】根据题意由已知条件结合 “取整函数” 的定义，结合方程根的情况租出图象利用数形结合法，代入数值计算出结果由此对选项逐一判断即可得出答案。
13．【答案】3
【知识点】函数的值
【解析】【解答】由已知．
，，
故答案为：3．
【分析】根据题意由分段函数的解析式，把数值代入到合适的解析式，计算出结果即可。
14．【答案】-1
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】，，
由题意，．
故答案为：-1．
【分析】由导函数与切线的性质，代入数值计算出斜率的取值，再由斜率公式计算出a的取值。
15．【答案】3
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由
又，则
所以
当且仅当以及，即时取得等号.
所以的最小值为3
故答案为：3
【分析】由已知条件首先整理化简化简原式，然后由基本不等式即可得出原式的最小值。
16．【答案】；（-∞，-7+2ln2）
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】，由题意有两个不等正根，
所以，解得．
不等式有解，即有解，
，
令，，
，易知时，，是减函数，
，，
，即，所以，
所以时，不等式有解．
故答案为：，（-∞，-7+2ln2）．
【分析】根据题意 由函数极值与函数最值的关系，结合韦达定理即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围；首先整理不等式由对数函数的单调性即可得出关于t的不等式，求解出t的取值范围即可。
17．【答案】解：解不等式可得.
由得，
当时，不等式解集为，
此时有，可得；
当时，不等式的解集为，合乎题意；
当时，不等式的解集为，
此时有，可得.
综上所述，实数的取值范围是.
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】首先由一元二次不等式的解法求解出不等式的解集，结合充分和必要条件的定义即可得出答案，对a分情况讨论，即可得出满足题意的a的取值范围。
18．【答案】（1）解：函数f（x）在区间上的单调递增，
，
因为，所以，，
所以，所以函数f（x）在区间上的单调递增．
（2）证明：令，则，
当时，，h（x）单调递减，
又因为，，
所以存在唯一，使得，
随着x变化，的变化情况如下；
x
+ 0 -
递增 极大值 递减
所以f（x）在内有且只有一个极值点．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】(1)根据题意由正余弦函数的单调性即可得出函数f(x)的单调性，由函数的单调性即可得出函数的单调区间。
(2)首先对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，结合函数的单调性即可求出函数的最值，结合函数极值的定义即可得出答案。
19．【答案】（1）解：由；所以，故，
则可得：，
当时，，所以时
故
（2）解：由函数为偶函数，，所以，．
所以，可转化为，且
又可得在上单调递减，
利用单调性的性质可得：，整理得：，
即，解得x>0，
所以不等式的解集为．
【知识点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质；函数的值
【解析】【分析】(1)根据题意由特殊值法代入数值计算出，结合该规律代入数值计算出结果即可。
(2)结合偶函数的性质计算出函数的取值，再由函数的单调性整理化简结合指数函数的单调性，求解出x的取值范围即可。
20．【答案】（1）解：由题意可知，
所以，即3-3a=0解得a=1，
经检验a=1，符合题意．
所以a=1．
（2）解：由（1）知，
令，，
当即0x －2 1
＋ 0 － 0 ＋
－7+6a 单调递增 单调递减 单调调增 2－3a
，
由上可知，所以的最大值为．
当即时，f（x）和随x的变化情况如下表：
x －2 1
＋ 0 －
－7+6a 单调递增 单调递减 2－3a
，
由上可知，所以f（x）的最大值为．
当即时，恒成立，即f（x）在［－2，1]上单调递减，所以f（x）的最大值为f（－2）=－7+6a，
综上所述，当时，f（x）的最大值为；
当时，f（x）的最大值为－7+6a．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)由已知条件结合导函数与切线的关系，代入数值计算出a的结果即可。
(2)根据题意由导函数的性质结合a的取值范围，即可得出函数的单调性，由函数的单调性结合函数极值的定义，由此得出函数的最值。
21．【答案】（1）解：设当时，减少的人数与成正比，比例系数为k，
所以，
当t=5时，P（5）=950，即，解得k=10，
所以
（2）解：由题意可得：
所以
令，当时，；
令得t=8；当时，，当8所以H（t）的最大值为H（8）=316；
当时，，
所以H（t）最大值为H（10）=295.2；
因为295.2<316，所以单位时间的净收益最大为316元；
综上，当发车时间间隔为8分钟时，单位时间净收益最大，且最大为316元．
【知识点】函数的最值及其几何意义；根据实际问题选择函数类型；函数最值的应用
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件，结合二次函数的性质即可得出函数的解析式。
(2)由二次函数的图象和性质，即可得出函数的最值结合分段函数的性质，即可得出答案。
22．【答案】（1）解：由得，又，
所以在x=1处切线方程为，代入（3，3）得
所以，
，
由得，由得，
所以单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）解：设公切线与两曲线的切点为，，易知，
由，
，
所以，
由，故，所以，故，
所以，，
构造函数，问题等价于直线y=a与曲线y=F（x）在x>1时有且只有一个交点，
，当时，F（x）单调递增；当时，F（x）单调递减；
的最大值为，，当x→+∞时，F（x）→0，．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导，由导函数与切线方程的关系，代入数值即可得出a的取值从而得出函数的解析式，然后由导函数的性质即可得出函数的单调区间。
(2)首先设出点的坐标并代入到斜率公式，利用分离参数法即可得出，构造函数并对好求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数的最值，从而得出a的取值范围，从而得出a的最大值。
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山东省德州市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·德州期末）已知集合，，则=（ ）
A．（－1，2） B．（－1，2] C．（1，2） D．（1，2]
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由已知，，
所以．
故答案为：C．
【分析】根据题意由交集的定义结合不等式，即可得出答案。
2．（2022高二下·德州期末）对于方程根的存在性问题，有一个著名的定理——“代数基本定理”，其内容为：任意一个一元复系数方程，在复数域中至少有一个根．则“代数基本定理”的否定为（ ）
A．任意一个一元复系数方程，在复数域中至多有一个根
B．任意一个一元复系数方程，在复数域中没有根
C．存在一个一元复系数方程，在复数域中至少有一个根
D．存在一个一元复系数方程，在复数域中没有根
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】“任意一个一元复系数方程，在复数域中至少有一个根”的否定为“存在一个一元复系数方程，使得在复数域中没有根”.
故答案为：D.
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，结合题意由方程根的情况，即可得出答案。
3．（2022高二下·德州期末）幂函数在区间上单调递增，则（ ）
A．27 B． C． D．
【答案】A
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】由题意，令，即，解得或，
当时，可得函数，此时函数在上单调递增，符合题意；
当时，可得，此时函数在上单调递减，不符合题意，
即幂函数，则.
故答案为：A.
【分析】由幂函数的定义，计算出m的取值，再由m的取值得出函数的解析式，代入数值计算出结果即可。
4．（2022高二下·德州期末）已知，，则（ ）
A． B． C． D．b【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】，，所以，所以，所以，所以.
故答案为：B.
【分析】根据题意由对数函数和指数函数的单调性，即可比较出大小从而得出答案。
5．（2022高二下·德州期末）函数的部分图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】对求导得恒成立，故在上单调递增，A符合题意.
故答案为：A.
【分析】首先对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数的图象，由此得出答案。
6．（2022高二下·德州期末）已知为上的奇函数，且，当时，，则的值为（ ）
A． B．12 C． D．
【答案】D
【知识点】函数奇偶性的性质；对数的运算性质
【解析】【解答】由题意，函数为上的奇函数，且，即，
且当时，，
又由.
故答案为：D.
【分析】由奇函数的性质整理化简原式，再由对数的运算性质代入数值计算出结果即可。
7．（2022高二下·德州期末）若函数在上是单调函数，且存在负的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数与方程的综合运用
【解析】【解答】因为当时，，所以函数必然单调递增.
所以，解得
所以a的取值范围是.
故答案为：C
【分析】根据题意对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
8．（2022高二下·德州期末）设，已知关于x的方程恰有6个不同的实数根，则k的取值范用为（ ）
A．（-2，0） B．（-3，-2） C．［-3，-2） D．［-2，0）
【答案】B
【知识点】函数与方程的综合运用；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】 的图象如图所示，
令，设关于 的方程的两个根分别为 ，由关于 的方程恰好有6个不同的实数根，等价于关于 的图象与 公有6个交点，由图可知： 或者，设，当时，则 ；
当， 则 不符合要求；
故
故答案为：B
【分析】由绝对值的几何意义整理化简函数的解析式，结合二次函数的图象作出函数f(x)的图象，利用数形结合法以及方程根的情况，即可得出关于k的不等式组，求解出k的取值范围即可。
二、多选题
9．（2022高二下·德州期末）下列说法正确的是（ ）
A．“，”是假命题
B．“，”是真命题
C．是的充分不必要条件
D．a，，的充要条件是
【答案】A,B,D
【知识点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】，但，A中命题是假命题，正确；
，，，，，所以，即，B符合题意；
，但，不充分，C不符合题意；
，，
因此充分条件为，即，D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】根据题意由真假命题的判断，结合不等式的性质以及对数函数的单调性即可判断出选项A、B的正误，再由指数函数的单调性和绝对值的几何意义，结合充分和必要条件的定义即可判断出选项C、D的正误，由此得出答案。
10．（2022高二下·德州期末）已知x>0，y>0，且x+2y=3，则下列正确的是（ ）
A．的最小值为3 B．的最大值为6
C．xy的最大值为 D．
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，
，当且仅当，即时等号成立，A符合题意；
由得，所以，B不符合题意；
，，当且仅当时，等号成立，C符合题意；
，当且仅当，即时等号成立，D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】根据题意首先整理化简原式，然后由基本不等式即可求出原式的最值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
11．（2022高二下·德州期末）已知函数在R上可导，其导函数满足，，则（ ）
A．函数在上为增函数
B．是函数的极小值点
C．函数必有2个零点
D．
【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】函数，则，
当时，，，故在上为增函数，A不符合题意；
当时，，，故在单调递减，故是函数的极小值点，B符合题意；
若，则没有零点，C不符合题意：
在上为增函数，则，即，化简得，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】根据题意首先对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，结合函数的单调性即可求出函数的最值，结合函数极值以及零点的定义即可得出结果，由此对选项逐一判断即可得出答案。
12．（2022高二下·德州期末）对，表示不超过x的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数．人们更习惯称之为“取整函数”，例如：，，则下列命题中的真命题是（ ）
A．，
B．，
C．函数的值域为［0，1）
D．方程有两个实数根
【答案】B,C,D
【知识点】命题的真假判断与应用；函数的值域
【解析】【解答】对于A，当时，，所以A不符合题意，
对于B，因为对，表示不超过x的最大整数，所以，所以B符合题意，
对于C，由B可知，所以，因为对，表示不超过x的最大整数，所以，所以，所以函数的值域为［0，1），所以C符合题意，
对于D，由，得，令，则方程的解转化为两函数图象的交点情况，作出两函数的图象，如图所示，
由图象可知两函数图象只有两个交点，所以方程有两个实数根，所以D符合题意，
故答案为：BCD
【分析】根据题意由已知条件结合 “取整函数” 的定义，结合方程根的情况租出图象利用数形结合法，代入数值计算出结果由此对选项逐一判断即可得出答案。
三、填空题
13．（2022高二下·德州期末）已知函数．若，则m= ．
【答案】3
【知识点】函数的值
【解析】【解答】由已知．
，，
故答案为：3．
【分析】根据题意由分段函数的解析式，把数值代入到合适的解析式，计算出结果即可。
14．（2022高二下·德州期末）函数在点（0，f（0））处的切线与直线平行，则a= ．
【答案】-1
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】，，
由题意，．
故答案为：-1．
【分析】由导函数与切线的性质，代入数值计算出斜率的取值，再由斜率公式计算出a的取值。
15．（2022高二下·德州期末）若，且满足，则的最小值为 ．
【答案】3
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由
又，则
所以
当且仅当以及，即时取得等号.
所以的最小值为3
故答案为：3
【分析】由已知条件首先整理化简化简原式，然后由基本不等式即可得出原式的最小值。
16．（2022高二下·德州期末）已知函数有两个不同的极值点，，则实数a的取值范围是 ；若不等式有解，则实数t的取值范围是 ．
【答案】；（-∞，-7+2ln2）
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】，由题意有两个不等正根，
所以，解得．
不等式有解，即有解，
，
令，，
，易知时，，是减函数，
，，
，即，所以，
所以时，不等式有解．
故答案为：，（-∞，-7+2ln2）．
【分析】根据题意 由函数极值与函数最值的关系，结合韦达定理即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围；首先整理不等式由对数函数的单调性即可得出关于t的不等式，求解出t的取值范围即可。
四、解答题
17．（2022高二下·德州期末）已知命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】解：解不等式可得.
由得，
当时，不等式解集为，
此时有，可得；
当时，不等式的解集为，合乎题意；
当时，不等式的解集为，
此时有，可得.
综上所述，实数的取值范围是.
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】首先由一元二次不等式的解法求解出不等式的解集，结合充分和必要条件的定义即可得出答案，对a分情况讨论，即可得出满足题意的a的取值范围。
18．（2022高二下·德州期末）已知函数．
（1）判断函数在区间上的单调性，并说明理由；
（2）求证：函数在上有且只有一个极值点．
【答案】（1）解：函数f（x）在区间上的单调递增，
，
因为，所以，，
所以，所以函数f（x）在区间上的单调递增．
（2）证明：令，则，
当时，，h（x）单调递减，
又因为，，
所以存在唯一，使得，
随着x变化，的变化情况如下；
x
+ 0 -
递增 极大值 递减
所以f（x）在内有且只有一个极值点．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】(1)根据题意由正余弦函数的单调性即可得出函数f(x)的单调性，由函数的单调性即可得出函数的单调区间。
(2)首先对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，结合函数的单调性即可求出函数的最值，结合函数极值的定义即可得出答案。
19．（2022高二下·德州期末）已知函数，且．
（1）求的值；
（2）解不等式．
【答案】（1）解：由；所以，故，
则可得：，
当时，，所以时
故
（2）解：由函数为偶函数，，所以，．
所以，可转化为，且
又可得在上单调递减，
利用单调性的性质可得：，整理得：，
即，解得x>0，
所以不等式的解集为．
【知识点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质；函数的值
【解析】【分析】(1)根据题意由特殊值法代入数值计算出，结合该规律代入数值计算出结果即可。
(2)结合偶函数的性质计算出函数的取值，再由函数的单调性整理化简结合指数函数的单调性，求解出x的取值范围即可。
20．（2022高二下·德州期末）已知函数．
（1）若函数f（x）在x=－1处取得极值，求实数a的值；
（2）当时．求函数f（x）的最大值．
【答案】（1）解：由题意可知，
所以，即3-3a=0解得a=1，
经检验a=1，符合题意．
所以a=1．
（2）解：由（1）知，
令，，
当即0x －2 1
＋ 0 － 0 ＋
－7+6a 单调递增 单调递减 单调调增 2－3a
，
由上可知，所以的最大值为．
当即时，f（x）和随x的变化情况如下表：
x －2 1
＋ 0 －
－7+6a 单调递增 单调递减 2－3a
，
由上可知，所以f（x）的最大值为．
当即时，恒成立，即f（x）在［－2，1]上单调递减，所以f（x）的最大值为f（－2）=－7+6a，
综上所述，当时，f（x）的最大值为；
当时，f（x）的最大值为－7+6a．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)由已知条件结合导函数与切线的关系，代入数值计算出a的结果即可。
(2)根据题意由导函数的性质结合a的取值范围，即可得出函数的单调性，由函数的单调性结合函数极值的定义，由此得出函数的最值。
21．（2022高二下·德州期末）高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，促进了区域经济和社会发展．已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔t（单位：分钟）满足，．经测算，高铁的载客量与发车时间间隔t相关：当时，高铁为满载状态，载客量为1200人；当时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与成正比，且发车时间间隔为5分钟时的载客量为950人．论发车间隔为t分钟时，高铁载客量为P（t）．
（1）求P（t）的表达式；
（2）若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益元，当发车时间间隔为多少时，单位时间的浄收益最大？最大为多少？
【答案】（1）解：设当时，减少的人数与成正比，比例系数为k，
所以，
当t=5时，P（5）=950，即，解得k=10，
所以
（2）解：由题意可得：
所以
令，当时，；
令得t=8；当时，，当8所以H（t）的最大值为H（8）=316；
当时，，
所以H（t）最大值为H（10）=295.2；
因为295.2<316，所以单位时间的净收益最大为316元；
综上，当发车时间间隔为8分钟时，单位时间净收益最大，且最大为316元．
【知识点】函数的最值及其几何意义；根据实际问题选择函数类型；函数最值的应用
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件，结合二次函数的性质即可得出函数的解析式。
(2)由二次函数的图象和性质，即可得出函数的最值结合分段函数的性质，即可得出答案。
22．（2022高二下·德州期末）已知函数，．
（1）若的图像在点（1，f（1））处的切线过（3，3），求函数y=xf（x）的单调区间；
（2）当a>0时，曲线f（x）与曲线g（x）存在唯一的公切线，求实数a的值．
【答案】（1）解：由得，又，
所以在x=1处切线方程为，代入（3，3）得
所以，
，
由得，由得，
所以单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）解：设公切线与两曲线的切点为，，易知，
由，
，
所以，
由，故，所以，故，
所以，，
构造函数，问题等价于直线y=a与曲线y=F（x）在x>1时有且只有一个交点，
，当时，F（x）单调递增；当时，F（x）单调递减；
的最大值为，，当x→+∞时，F（x）→0，．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导，由导函数与切线方程的关系，代入数值即可得出a的取值从而得出函数的解析式，然后由导函数的性质即可得出函数的单调区间。
(2)首先设出点的坐标并代入到斜率公式，利用分离参数法即可得出，构造函数并对好求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出函数的最值，从而得出a的取值范围，从而得出a的最大值。
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