山东省日照市2021-2022学年高二下学期数学期末校际联合考试试卷

山东省日照市2021-2022学年高二下学期数学期末校际联合考试试卷
一、单选题
1．（2020高一上·咸阳期中）已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5，7}，B={3，4，5}，则( UA)∪( UB)等于（　　）
A．{1，6} B．{4，5}
C．{2，3，4，5，7} D．{1，2，3，6，7}
【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】由补集的定义可得： UA={1，3，6}， UB={1，2，6，7}，
所以( UA)∪( UB)={1，2，3，6，7}.
故答案为：D.
【分析】由题意首先求解补集，然后进行并集运算即可.
2．（2020高三上·福建月考）函数 的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】函数 有意义，则必有 ，解得 且 ．
函数 的定义域为 ．
故答案为：C
【分析】 根据所给函数，利用函数有意义列出不等式组，再求解即得。
3．（2021高一上·兰州期末）已知，，且，，，那么的最大值为（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】根据题意，，，，
则，当且仅当时等号成立，
即的最大值为1.
故答案为：C
【分析】根据题意由基本不等式，即可求出原式的最大值。
4．（2022高二下·日照期末）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的函数是（　　）
A． B． C． D．y=-x2+1
【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】选项：根据的图象知该函数非奇非偶，可知错误；
选项：的定义域为，知该函数非奇非偶，可知错误；
选项：时，为增函数，不符合题意，可知错误；
选项：，可知函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在上单调递减，可知正确.
故答案为：D
【分析】 利用函数奇偶性及单调性的定义，逐项进行判断，可得答案.
5．（2022高二下·日照期末）如图所示，函数的图像在点P处的切线方程是，则的值为（　　）
A．0 B．1 C．-1 D．2
【答案】A
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】因为切线方程为：，故，且，故
故答案为：A
【分析】由函数y= f (x)的图像在点P处的切线方程可得f'(4)，取x=4求得f(4)，可得 的值.
6．（2019高二上·咸阳月考）若数列{xn}满足lg xn＋1＝1＋lg xn(n∈N＋)，且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝100，则lg(x101＋x102＋…＋x200)的值为（　　）
A．102 B．101 C．100 D．99
【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则；等比关系的确定
【解析】【解答】由 ，得 ，
所以数列 是公比为 的等比数列，
又 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：A．
【分析】由 ，变形得 ，再利用等比数列定义推出数列 是公比为 的等比数列，再利用等比数列的性质结合已知条件，从而求出lg(x101＋x102＋…＋x200)的值。
7．（2022高二下·日照期末）已知函数，则的图象上关于坐标原点对称的点共有（　　）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】作出函数的图象，如图示，
则的图象上上关于坐标原点对称的点，
即为当时，关于原点对称的函数图象，与的图象的交点，
由图象可知，交点有2个，
所以函数的图象上关于坐标原点对称的点共有2对．
故答案为：C．
【分析】 函数的图象上关于坐标原点对称的点，即为当时，关于原点对称的函数图象，与的图象的交点，画出函数图象，即可求出答案.
8．（2022高二下·日照期末）已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，且与的图像关于y轴对称，则（　　）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．2是一个周期 D．关于直线对称
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：根据题意，是定义域为的奇函数，则关于点成中心对称，
是定义域为的偶函数，则关于对称，
与的图像关于y轴对称，则关于对称，
所以关于原点中心对称，故是奇函数，A符合题意.
是奇函数，且与的图像关于y轴对称，故是奇函数，B不符合题意.
是定义域为的奇函数，则，①
关于对称，故，可得，联立①得，
故，可得，
故，函数是周期为4的周期函数，由题意可得出4是函数的周期，C不符合题意.
因为4是函数的周期，关于点中心对称，
所以是的中心对称，关于y轴对称为，为的对称中心，D不符合题意.
故答案为：A
【分析】根据函数奇偶性、对称性、周期性的定义，逐项进行判断，可得答案.
二、多选题
9．（2022高二下·日照期末）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】解：由数轴可以看出.
对于A，∵，∴，A符合题意；
对于B，∵，，∴，B不符合题意；
对于C，∵，∴，C符合题意；
对于D，∵，∴，∴，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】根据不等式的基本性质逐项进行判断，可得答案.
10．（2022高二下·日照期末）下列说法正确的是（　　）
A．命题“，都有”的否定是“，使得”
B．当时，的最小值是5
C．若不等式的解集为，则
D．“”是“”的充要条件
【答案】B,C
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】对A，命题“，都有”的否定是“，使得”，A不符合题意；
对B，当时，，当且仅当，即时，等号成立，B符合题意；
对C，由不等式的解集为，可知，，∴，，，C符合题意；
对D，由“”可推出“”，由，可得或，推不出“”，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】写出命题的否定，即可判断A是否正确；利用基本不等式，即可判断B是否正确；利用根与系数关系，解得a， c，即可判断C是否正确；由 “”可推出 “”可得a>1或a<0，推不出“”，即可判断D是否正确.
11．（2022高二下·日照期末）已知函数，则（　　）
A．函数存在两个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．若方程有两个实根，则
D．若时，，则t的最小值为2
【答案】A,B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】对于A，，解得，所以A符合题意；
对于B，，
当时，，当时，或，
所以，是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，
所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B符合题意.
对于C，当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，结合图像可知若方程有两个实根，则或，所以C不符合题意；
对于D，由图象可知，t的最大值是2，所以D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】 首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值，结合函数的图象，可得答案.
12．（2022高二下·日照期末）若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质，对于正整数k，是不大于k的正整数中与k互质的数的个数，函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，.已知欧拉函数是积性函数，即如果m，n互质，那么，例如：，则（　　）
A．
B．数列是等比数列
C．数列不是递增数列
D．数列的前n项和小于
【答案】A,B,D
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】，，∴，A对；
∵2为质数，∴在不超过的正整数中，所有偶数的个数为，
∴为等比数列，B对；
∵与互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…，，.共有个，∴，
又∵，∴是递增数列，C不符合题意；
，的前n项和为
设，则，
所以，，
所以，
所以数列的前n项和小于，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】根据欧拉函数定义及运算性质，结合数列的性质与求和公式，逐项进行判断，可得答案.
三、填空题
13．（2022高二下·日照期末）设函数，则　 　.
【答案】-1
【知识点】函数的值
【解析】【解答】因为，
所以
所以，
故答案为：-1
【分析】 根据分段函数的解析式，先求出的值，再求 的值.
14．（2022高二下·日照期末）设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是　 　.
【答案】1＜a≤2
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】，，令，得，而因为函数在区间上单调递减，故，故1＜a≤2.
故答案为：1＜a≤2
【分析】 利用导数求函数的单调递减区间，再结合区间的包含关系，列式求出实数a的取值范围.
15．（2022高三上·河北月考）已知前项和为的等差数列（公差不为0）满足仍是等差数列，则通项公式　 　.
【答案】
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】设公差为，则，
或，而不合题意，故.
故答案为：
【分析】根据题意由已知条件即可得出，结合等差数列的通项公式，代入整理即可得出d的取值，由此即可得出数列的通项公式。
16．（2022高二下·日照期末）是圆周率，是自然对数的底数，在，，，，，，，八个数中，最小的数是　 　，最大的数是　 　.
【答案】；
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】显然八个数中最小的数是.
函数是增函数，且，∴；
函数是增函数，且，；
函数是增函数，且，；
函数在是增函数，且，，则八个数中最小的数是
函数在是增函数，且，，
八个数中最大的数为或，构造函数，
求导得，当时，函数在是减函数，，
即，即，即，，
则八个数中最大的数是.
故答案为：；．
【分析】分别利用指数函数的单调性，判断出底数同为3， e以及π的数的大小关系，再由幂函数的单调性，找出最小的数，最后利用函数的单调性，判断出最大的数.
四、解答题
17．（2022高二下·日照期末）已知集合，.
（1）当时，求；
（2）当时，若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：当时，由不等式，得，
故，又
所以.
（2）解：若“”是“”的充分条件，等价于，
因为，由不等式，得 ，
又
要使，则或，又因为
综上可得实数a的取值范围为.
【知识点】交集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】 (1)先解一元二次不等式求出A，再利用交集运算求解即可；
(2) 若“”是“”的充分条件，等价于，得到不等式 ，求解可得实数a的取值范围.
18．（2022高二下·日照期末）已知为等差数列的前n项和，，.
（1）求，；
（2）若数列的前项和为，求满足的最小正整数n.
【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，
则，即，解得，
所以，；
（2）解：由（1）得，，
故，
令，有，
即，解得，
故满足满足的最小正整数为19.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】 (1)利用等差数列的通项公式与前n项和公式，可得关于a1和公差d的方程组，求解出a1，Sn，进而求出 ，；
(2) 由（1）得， ，再利用裂项求和法可求得Tn，然后解不等式 ，可求得正整数n的值.
19．（2022高二下·日照期末）已知函数，（其中常数）
（1）当时，求的极大值；
（2）试讨论在区间上的单调性.
【答案】（1）解：当时，
当时，；当时，
在和上单调递减，在单调递减
故
（2）解：
①当时，则，故时，；时，，
此时在上单调递减，在单调递增；
②当时，则，故，有恒成立，
此时在（0，1）上单调递减；
③当时，则，故时，；时，
此时在上单调递减，在单调递增.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)利用导数确定函数的单调性，进而求出f(x)的极大值；
(2) 求导数，再分 和 进行讨论，利用导数的正负，确定 在区间上的单调性.
20．（2021高一下·浙江月考）已知定义在 上的函数 是奇函数.
（1）求 ， 的值；
（2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：由题意可得 ，解得 ，
再由 （1） ，
得 ，解得 ，
当 ， 时， 的定义域为 ，
由 ，可得 为奇函数，
所以 ，
（2）解：由 ，得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．
令 ，则 ，此时不等式可化为 ，
记 ，因为当 时， 和 均为减函数，
所以 为减函数，故 ，
因为 恒成立，所以
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质求出b的值，再结合奇函数的定义，从而求出a的值。
（2） 当 时，不等式 恒成立， 得 ，因为 ，所以 ，所以 ，令 ，则 ，此时不等式可化为 ，记 ， 因为当 时， 再利用减函数的定义判断函数 和 均为减函数， 从而判断出函数h(x)为减函数，再利用函数h(x)的单调性，进而求出函数h(x)的值域，再利用不等式 恒成立问题求解方法，进而求出实数k的取值范围。
21．（2022高二下·日照期末）数学的发展推动着科技的进步，得益于线性代数 群论等数学知识的应用，5G技术正蓬勃发展.目前某区域市场中5G智能终端产品的制造仅能由H公司和G公司提供技术支持.据市场调研预测，5G商用初期，该区域市场中采用H公司与G公司技术的智能终端产品分别占比及.假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用G公司技术的产品中有20%转而采用H公司技术，采用H公司技术的仅有5%转而采用G公司技术.设第n次技术更新后，该区域市场中采用H公司与G公司技术的智能终端产品占比分别为及，不考虑其它因素的影响.
（1）求，；
（2）用表示，并求实数使是等比数列；
（3）经过若干次技术更新后该区域市场采用H公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上？若能，至少需要经过几次技术更新？若不能，请说明理由.（参考数据：，）
【答案】（1）解：，；
（2）解：由题意，可设5G商用初期，该区域市场中采用H公司与G公司技术的智能终端产品的占比分别为，.易知经过n次技术更新后，
则，…①
由①式，可设，对比①式可知.由（1）可得，故.
从而当时，是以为首项，为公比的等比数列；
（3）解：由（2）可知，所以经过n次技术更形后，该区域市场采用H公司技术的智能终端产品占比.
由题意，令，得
.
故，即至少经过10次技术更新，该区域市场采用H公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上.
【知识点】对数的性质与运算法则；根据实际问题选择函数类型；数列的递推公式
【解析】【分析】 (1)根据a1与a0的关系，列式求a1，再根据 ， 即可求解出 ，；
(2)根据条件得到数列{an}的递推关系，利用数列 是等比数列 ，求的值；
(3)首先由(2)得数列{an}的通项公式，再解不等式 ，即可求n的值.
22．（2022高二下·日照期末）设函数，其中.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，
①证明：函数恰有两个零点；
②设为函数的极值点，为函数的零点，且，证明：.
【答案】（1）解：由题设，且，则，
所以，又，
所以切线方程为，
即：.
（2）解：①由，令，又，
易知在上递减，
又，，
∴在上有唯一零点，即在上唯一零点，设零点为，则，
∴，，递增；，，递减；
∴是唯一极值点，且为极大值，
令且，则，故在上递减，
∴，即，
∴，又，
根据零点存在性定理∴在上存在零点，又∵在单调递减；
∴在存在唯一零点，
又∵，在上单调递增；，
∴在上的唯一零点为1，
故恰有两个零点；
②由题意，，则，即，
当时，，又，则，
∴，即是，得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)先f'(x)，再求f'(1)与f(1)，由点斜式即可求解出曲线在点处的切线方程；
(2)①求导得 ， 构造 并应用导数研究单调性，进而判断f'(x)符号确定f (x)单调性，可求极值点所在的区间为 ， 再证 上 ，由此得 ，结合零点存在性定理即可证得函数恰有两个零点；
②由①结合题设可得 ， 结合当时， ，即可证得 .
1 / 1山东省日照市2021-2022学年高二下学期数学期末校际联合考试试卷
一、单选题
1．（2020高一上·咸阳期中）已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5，7}，B={3，4，5}，则( UA)∪( UB)等于（　　）
A．{1，6} B．{4，5}
C．{2，3，4，5，7} D．{1，2，3，6，7}
2．（2020高三上·福建月考）函数 的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2021高一上·兰州期末）已知，，且，，，那么的最大值为（　　）
A． B． C．1 D．2
4．（2022高二下·日照期末）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的函数是（　　）
A． B． C． D．y=-x2+1
5．（2022高二下·日照期末）如图所示，函数的图像在点P处的切线方程是，则的值为（　　）
A．0 B．1 C．-1 D．2
6．（2019高二上·咸阳月考）若数列{xn}满足lg xn＋1＝1＋lg xn(n∈N＋)，且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝100，则lg(x101＋x102＋…＋x200)的值为（　　）
A．102 B．101 C．100 D．99
7．（2022高二下·日照期末）已知函数，则的图象上关于坐标原点对称的点共有（　　）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
8．（2022高二下·日照期末）已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，且与的图像关于y轴对称，则（　　）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．2是一个周期 D．关于直线对称
二、多选题
9．（2022高二下·日照期末）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则（　　）
A． B．
C． D．
10．（2022高二下·日照期末）下列说法正确的是（　　）
A．命题“，都有”的否定是“，使得”
B．当时，的最小值是5
C．若不等式的解集为，则
D．“”是“”的充要条件
11．（2022高二下·日照期末）已知函数，则（　　）
A．函数存在两个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．若方程有两个实根，则
D．若时，，则t的最小值为2
12．（2022高二下·日照期末）若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质，对于正整数k，是不大于k的正整数中与k互质的数的个数，函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，.已知欧拉函数是积性函数，即如果m，n互质，那么，例如：，则（　　）
A．
B．数列是等比数列
C．数列不是递增数列
D．数列的前n项和小于
三、填空题
13．（2022高二下·日照期末）设函数，则　 　.
14．（2022高二下·日照期末）设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是　 　.
15．（2022高三上·河北月考）已知前项和为的等差数列（公差不为0）满足仍是等差数列，则通项公式　 　.
16．（2022高二下·日照期末）是圆周率，是自然对数的底数，在，，，，，，，八个数中，最小的数是　 　，最大的数是　 　.
四、解答题
17．（2022高二下·日照期末）已知集合，.
（1）当时，求；
（2）当时，若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围.
18．（2022高二下·日照期末）已知为等差数列的前n项和，，.
（1）求，；
（2）若数列的前项和为，求满足的最小正整数n.
19．（2022高二下·日照期末）已知函数，（其中常数）
（1）当时，求的极大值；
（2）试讨论在区间上的单调性.
20．（2021高一下·浙江月考）已知定义在 上的函数 是奇函数.
（1）求 ， 的值；
（2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
21．（2022高二下·日照期末）数学的发展推动着科技的进步，得益于线性代数 群论等数学知识的应用，5G技术正蓬勃发展.目前某区域市场中5G智能终端产品的制造仅能由H公司和G公司提供技术支持.据市场调研预测，5G商用初期，该区域市场中采用H公司与G公司技术的智能终端产品分别占比及.假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用G公司技术的产品中有20%转而采用H公司技术，采用H公司技术的仅有5%转而采用G公司技术.设第n次技术更新后，该区域市场中采用H公司与G公司技术的智能终端产品占比分别为及，不考虑其它因素的影响.
（1）求，；
（2）用表示，并求实数使是等比数列；
（3）经过若干次技术更新后该区域市场采用H公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上？若能，至少需要经过几次技术更新？若不能，请说明理由.（参考数据：，）
22．（2022高二下·日照期末）设函数，其中.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，
①证明：函数恰有两个零点；
②设为函数的极值点，为函数的零点，且，证明：.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】由补集的定义可得： UA={1，3，6}， UB={1，2，6，7}，
所以( UA)∪( UB)={1，2，3，6，7}.
故答案为：D.
【分析】由题意首先求解补集，然后进行并集运算即可.
2．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】函数 有意义，则必有 ，解得 且 ．
函数 的定义域为 ．
故答案为：C
【分析】 根据所给函数，利用函数有意义列出不等式组，再求解即得。
3．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】根据题意，，，，
则，当且仅当时等号成立，
即的最大值为1.
故答案为：C
【分析】根据题意由基本不等式，即可求出原式的最大值。
4．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】选项：根据的图象知该函数非奇非偶，可知错误；
选项：的定义域为，知该函数非奇非偶，可知错误；
选项：时，为增函数，不符合题意，可知错误；
选项：，可知函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在上单调递减，可知正确.
故答案为：D
【分析】 利用函数奇偶性及单调性的定义，逐项进行判断，可得答案.
5．【答案】A
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】因为切线方程为：，故，且，故
故答案为：A
【分析】由函数y= f (x)的图像在点P处的切线方程可得f'(4)，取x=4求得f(4)，可得 的值.
6．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则；等比关系的确定
【解析】【解答】由 ，得 ，
所以数列 是公比为 的等比数列，
又 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：A．
【分析】由 ，变形得 ，再利用等比数列定义推出数列 是公比为 的等比数列，再利用等比数列的性质结合已知条件，从而求出lg(x101＋x102＋…＋x200)的值。
7．【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】作出函数的图象，如图示，
则的图象上上关于坐标原点对称的点，
即为当时，关于原点对称的函数图象，与的图象的交点，
由图象可知，交点有2个，
所以函数的图象上关于坐标原点对称的点共有2对．
故答案为：C．
【分析】 函数的图象上关于坐标原点对称的点，即为当时，关于原点对称的函数图象，与的图象的交点，画出函数图象，即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：根据题意，是定义域为的奇函数，则关于点成中心对称，
是定义域为的偶函数，则关于对称，
与的图像关于y轴对称，则关于对称，
所以关于原点中心对称，故是奇函数，A符合题意.
是奇函数，且与的图像关于y轴对称，故是奇函数，B不符合题意.
是定义域为的奇函数，则，①
关于对称，故，可得，联立①得，
故，可得，
故，函数是周期为4的周期函数，由题意可得出4是函数的周期，C不符合题意.
因为4是函数的周期，关于点中心对称，
所以是的中心对称，关于y轴对称为，为的对称中心，D不符合题意.
故答案为：A
【分析】根据函数奇偶性、对称性、周期性的定义，逐项进行判断，可得答案.
9．【答案】A,C
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】解：由数轴可以看出.
对于A，∵，∴，A符合题意；
对于B，∵，，∴，B不符合题意；
对于C，∵，∴，C符合题意；
对于D，∵，∴，∴，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】根据不等式的基本性质逐项进行判断，可得答案.
10．【答案】B,C
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】对A，命题“，都有”的否定是“，使得”，A不符合题意；
对B，当时，，当且仅当，即时，等号成立，B符合题意；
对C，由不等式的解集为，可知，，∴，，，C符合题意；
对D，由“”可推出“”，由，可得或，推不出“”，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】写出命题的否定，即可判断A是否正确；利用基本不等式，即可判断B是否正确；利用根与系数关系，解得a， c，即可判断C是否正确；由 “”可推出 “”可得a>1或a<0，推不出“”，即可判断D是否正确.
11．【答案】A,B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】对于A，，解得，所以A符合题意；
对于B，，
当时，，当时，或，
所以，是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，
所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B符合题意.
对于C，当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，结合图像可知若方程有两个实根，则或，所以C不符合题意；
对于D，由图象可知，t的最大值是2，所以D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】 首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值，结合函数的图象，可得答案.
12．【答案】A,B,D
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】，，∴，A对；
∵2为质数，∴在不超过的正整数中，所有偶数的个数为，
∴为等比数列，B对；
∵与互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…，，.共有个，∴，
又∵，∴是递增数列，C不符合题意；
，的前n项和为
设，则，
所以，，
所以，
所以数列的前n项和小于，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】根据欧拉函数定义及运算性质，结合数列的性质与求和公式，逐项进行判断，可得答案.
13．【答案】-1
【知识点】函数的值
【解析】【解答】因为，
所以
所以，
故答案为：-1
【分析】 根据分段函数的解析式，先求出的值，再求 的值.
14．【答案】1＜a≤2
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】，，令，得，而因为函数在区间上单调递减，故，故1＜a≤2.
故答案为：1＜a≤2
【分析】 利用导数求函数的单调递减区间，再结合区间的包含关系，列式求出实数a的取值范围.
15．【答案】
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】设公差为，则，
或，而不合题意，故.
故答案为：
【分析】根据题意由已知条件即可得出，结合等差数列的通项公式，代入整理即可得出d的取值，由此即可得出数列的通项公式。
16．【答案】；
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】显然八个数中最小的数是.
函数是增函数，且，∴；
函数是增函数，且，；
函数是增函数，且，；
函数在是增函数，且，，则八个数中最小的数是
函数在是增函数，且，，
八个数中最大的数为或，构造函数，
求导得，当时，函数在是减函数，，
即，即，即，，
则八个数中最大的数是.
故答案为：；．
【分析】分别利用指数函数的单调性，判断出底数同为3， e以及π的数的大小关系，再由幂函数的单调性，找出最小的数，最后利用函数的单调性，判断出最大的数.
17．【答案】（1）解：当时，由不等式，得，
故，又
所以.
（2）解：若“”是“”的充分条件，等价于，
因为，由不等式，得 ，
又
要使，则或，又因为
综上可得实数a的取值范围为.
【知识点】交集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】 (1)先解一元二次不等式求出A，再利用交集运算求解即可；
(2) 若“”是“”的充分条件，等价于，得到不等式 ，求解可得实数a的取值范围.
18．【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，
则，即，解得，
所以，；
（2）解：由（1）得，，
故，
令，有，
即，解得，
故满足满足的最小正整数为19.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】 (1)利用等差数列的通项公式与前n项和公式，可得关于a1和公差d的方程组，求解出a1，Sn，进而求出 ，；
(2) 由（1）得， ，再利用裂项求和法可求得Tn，然后解不等式 ，可求得正整数n的值.
19．【答案】（1）解：当时，
当时，；当时，
在和上单调递减，在单调递减
故
（2）解：
①当时，则，故时，；时，，
此时在上单调递减，在单调递增；
②当时，则，故，有恒成立，
此时在（0，1）上单调递减；
③当时，则，故时，；时，
此时在上单调递减，在单调递增.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)利用导数确定函数的单调性，进而求出f(x)的极大值；
(2) 求导数，再分 和 进行讨论，利用导数的正负，确定 在区间上的单调性.
20．【答案】（1）解：由题意可得 ，解得 ，
再由 （1） ，
得 ，解得 ，
当 ， 时， 的定义域为 ，
由 ，可得 为奇函数，
所以 ，
（2）解：由 ，得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．
令 ，则 ，此时不等式可化为 ，
记 ，因为当 时， 和 均为减函数，
所以 为减函数，故 ，
因为 恒成立，所以
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质求出b的值，再结合奇函数的定义，从而求出a的值。
（2） 当 时，不等式 恒成立， 得 ，因为 ，所以 ，所以 ，令 ，则 ，此时不等式可化为 ，记 ， 因为当 时， 再利用减函数的定义判断函数 和 均为减函数， 从而判断出函数h(x)为减函数，再利用函数h(x)的单调性，进而求出函数h(x)的值域，再利用不等式 恒成立问题求解方法，进而求出实数k的取值范围。
21．【答案】（1）解：，；
（2）解：由题意，可设5G商用初期，该区域市场中采用H公司与G公司技术的智能终端产品的占比分别为，.易知经过n次技术更新后，
则，…①
由①式，可设，对比①式可知.由（1）可得，故.
从而当时，是以为首项，为公比的等比数列；
（3）解：由（2）可知，所以经过n次技术更形后，该区域市场采用H公司技术的智能终端产品占比.
由题意，令，得
.
故，即至少经过10次技术更新，该区域市场采用H公司技术的智能终端产品占比能达到75%以上.
【知识点】对数的性质与运算法则；根据实际问题选择函数类型；数列的递推公式
【解析】【分析】 (1)根据a1与a0的关系，列式求a1，再根据 ， 即可求解出 ，；
(2)根据条件得到数列{an}的递推关系，利用数列 是等比数列 ，求的值；
(3)首先由(2)得数列{an}的通项公式，再解不等式 ，即可求n的值.
22．【答案】（1）解：由题设，且，则，
所以，又，
所以切线方程为，
即：.
（2）解：①由，令，又，
易知在上递减，
又，，
∴在上有唯一零点，即在上唯一零点，设零点为，则，
∴，，递增；，，递减；
∴是唯一极值点，且为极大值，
令且，则，故在上递减，
∴，即，
∴，又，
根据零点存在性定理∴在上存在零点，又∵在单调递减；
∴在存在唯一零点，
又∵，在上单调递增；，
∴在上的唯一零点为1，
故恰有两个零点；
②由题意，，则，即，
当时，，又，则，
∴，即是，得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)先f'(x)，再求f'(1)与f(1)，由点斜式即可求解出曲线在点处的切线方程；
(2)①求导得 ， 构造 并应用导数研究单调性，进而判断f'(x)符号确定f (x)单调性，可求极值点所在的区间为 ， 再证 上 ，由此得 ，结合零点存在性定理即可证得函数恰有两个零点；
②由①结合题设可得 ， 结合当时， ，即可证得 .
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