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北京市朝阳区2021-2022学年高二下学期数学期末质量检测试卷
一、单选题
1．（2022高二下·朝阳期末）已知集合，则（ ）
A． B．{0} C．{1} D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】，
。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法，进而得出集合B，再利用交集的运算法则，进而得出集合A和集合B的交集。
2．（2022高二下·朝阳期末）已知，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；指数函数单调性的应用；不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A，在R上单调递增，所以，A符合题意，
对于B， 两边同乘一个负数b，故得， B不符合题意，
对于C， ，则可知，所以，C不符合题意
对于D， ，则可知，D不符合题意。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质和指数函数的单调性，进而找出不等式成立的选项。
3．（2022高二下·朝阳期末）下列函数中既是奇函数又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断
【解析】【解答】对于A：既不是奇函数也不等式偶函数，A不正确；
对于B： ，所以是奇函数，因为，所以在上不是单调递增，B不正确；
对于C，为奇函数，且在区间上单调递增，符合题意；
故答案为：项C符合题意；
对于D，，为偶函数，不符合题意. D不正确。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和增函数的定义，进而找出既是奇函数又在上单调递增的函数。
4．（2022高二下·朝阳期末）已知一组样本数据，根据这组数据的散点图分析x与y之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为（ ）
A．-2.45 B．2.45 C．3.45 D．54.55
【答案】B
【知识点】可线性化的回归分析
【解析】【解答】把代入，得，
所以在样本点处的残差。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合线性回归方程和代入法，再利用作差法得出在样本点处的残差。
5．（2022高二下·朝阳期末）在抗击新冠疫情期间，有6名男生和5名女生共11名大学生报名参加某社区疫情防控志愿服务，现从6名男生中选出2名组成一个小组，从5名女生中选出2名组成一个小组，在周日的上午和下午各安排一个小组值班，则不同的排班种数为（ ）
A．75 B．150 C．300 D．600
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】共有(种)。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再结合分步乘法计数原理，进而得出不同的排班种数。
6．（2022高二下·朝阳期末）“”是“在上恒成立”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则在上恒成立，
故在上单调递增，
，所以，
因为，而推不出，
所以“”是“在上恒成立”的充分而不必要条件。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而判断出“”是“在上恒成立”的充分而不必要条件。
7．（2022高二下·朝阳期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．曲线在点处的切线斜率小于零
B．函数在区间上单调递增
C．函数在处取得极大值
D．函数在区间内至多有两个零点
【答案】D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】根据图像可知，故在点处的切线斜率等于零，A不符合题意；在，故在区间上单调递减，B不符合题意，在的左右两侧，故不是极值点，C不符合题意，在单调递增，在单调递减，故在区间内至多有两个零点，D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合导函数的图象，再利用导数的几何意义、导数的方法判断函数的单调性、利用导数方法求极大值点，结合函数的单调性求函数零点个数的方法，进而找出结论正确的选项。
8．（2022高二下·朝阳期末）为了了解居家学习期间性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，某校随机抽取了40名学生进行调查，按照性别和体育锻炼情况整理出如下的列联表：
性别 锻炼情况 合计
不经常 经常
女生/人 14 7 21
男生/人 8 11 19
合计/人 22 18 40
注：独立性检验中，．
常用的小概率值和相应的临界值如下表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
根据这些数据，给出下列四个结论：
①依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响；②依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响；③根据小概率值的独立性检验，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，这个推断犯错误的概率不超过0.05；④根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响．
其中，正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【解答】由表可知，女生有21人，其中经常锻炼的有7人，频率为，
男生有19人，其中经常锻炼的有11人，频率为，
因为，依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，故①正确，②错误；
，所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响，故④正确，③错误.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合频率等于频数除以样本容量的公式和比较法以及频率与概率的关系，进而可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响；再利用已知条件结合独立性检验的方法，从而认为性别对体育锻炼的经常性没有影响，进而找出正确结论的序号。
9．（2022高二下·朝阳期末）若对任意都有成立，其中m，M为实数，则的最小值为（ ）
A．π B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】令，，则，
由可得或，由可得，
所以在单调递增，在单调递减，
所以在取得极大值为，在取得极小值为，
又，，
所以，，
因为对任意都有成立，
所以，，
所以，即的最小值为。
故答案为：D.
【分析】令，，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极小值，从而结合比较法得出函数的最值，再利用对任意都有成立，所以，，进而得出的最小值。
10．（2022高二下·朝阳期末）已知函数若存在唯一的整数x，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；导数的几何意义
【解析】【解答】令作出的图象如图所示：
等价于，表示点与点所在直线的斜率，
可得曲线上只有一个整数点与所在的直线斜率小于0，而点在直线上运动，由 可知当时，只有点满足，当时，只有点满足，
当时，至少有，满足，不满足唯一整数点，故舍去，
当时，至少有满足，不满足唯一整数点，故舍去，
因为为整数，故可取。
故答案为：B
【分析】令再利用分段函数的解析式作出的图象，再利用等价于，表示点与点所在直线的斜率，可得曲线上只有一个整数点与所在的直线斜率小于0，而点在直线上运动，由，再利用分类讨论的方法结合代入法和检验法，再结合a为整数，从而得出实数a的取值构成的集合。
二、填空题
11．（2022高二下·朝阳期末）计算： ．
【答案】2
【知识点】对数的运算性质
【解析】【解答】。
故答案为：2。
【分析】利用已知条件结合对数的运算法则，进而化简求值。
12．（2022高二下·朝阳期末）在一组数据0，3，5，7，10中加入一个整数a得到一组新数据，这组新数据与原数据相比平均数不增大且方差减小，则a的一个取值为 ．
【答案】2(答案不唯一，中任取一个都正确)
【知识点】一元二次不等式的解法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】由题意得，原数据的平均数，
原数据的方差为，
新数据的平均数，解得，
新数据的方差为
，
将代入得，，
解得：，
，，所以。
故答案为：2(答案不唯一，中任取一个都正确)。
【分析】利用已知条件结合平均数公式和方差公式，再利用比较法，进而得出满足条件的实数a的一个取值。
13．（2022高二下·朝阳期末）已知某地只有A，B两个品牌的计算机在进行降价促销活动，售后保修期为1年，它们在市场的占有率之比为3∶2．根据以往数据统计，这两个品牌的计算机在使用一年内，A品牌有5%需要维修，B品牌有6%需要维修．若某人从该地随机购买了一台降价促销的计算机，则它在一年内不需要维修的概率为 ．
【答案】0.946
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】某人从该地随机购买了一台降价促销的计算机，
设买到的计算机是A品牌为事件A，买到的计算机是B品牌为事件B，
则由题可知P(A)＝，P(B)＝，
从A品牌中购买一个，设买到的计算机一年内不需要维修为事件C，
从B品牌中购买一个，设买到的计算机一年内不需要维修为事件D，
则由题可知P(C)＝，P(D)＝，
由题可知A、B、C、D互相独立，
故从该地随机购买了一台降价促销的计算机，则它在一年内不需要维修的概率为：
P(AC)＋P(BD)＝P(A)P(C)＋P(B)P(D)＝。
故答案为：0.946。
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出某人从该地随机购买了一台降价促销的计算机，则它在一年内不需要维修的概率。
14．（2022高二下·朝阳期末）激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数．函数是常用的激活函数之一，其解析式为．关于函数的以下结论
①函数是增函数；
②函数是奇函数；
③对于任意实数a，函数至少有一个零点；
④曲线不存在与直线垂直的切线．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；导数的几何意义；直线的一般式方程与直线的垂直关系；函数零点的判定定理
【解析】【解答】定义域为R，，
所以为奇函数，②正确；
恒成立，所以函数是增函数，①正确；
当时，恒成立，所以在上单调递减，
在上单调递增，且，
故当时，，此时无零点，③错误；
，且，
所以，故曲线不存在与直线垂直的切线．④正确.
故答案为：①②④
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义、不等式恒成立问题求解方法和增函数的定义、零点求解方法、均值不等式求最值的方法和两直线垂直斜率之积等于-1的性质，进而找出结论正确的序号。
15．（2022高二下·朝阳期末）在的展开式中，的系数为 ；各项系数之和为 ．（用数字作答）
【答案】10；32
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】展开式通项公式为：，
令，解得：，展开式中，的系数为；
令，则展开式各项系数之和为。
故答案为：10；32。
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用展开式中的通项公式求出x的系数；再利用已知条件结合赋值法得出各项系数的和。
16．（2022高二下·朝阳期末）设函数的定义域为R，且满足，当时，．则 ；当时，的取值范围为 ．
【答案】-1；[0，1)
【知识点】函数的周期性；函数的值；图形的对称性
【解析】【解答】令，则，
因为当时，，
所以，
所以，
因为，
所以的图象关于直线对称，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以的周期为8，
所以，即
当时，，
由函数图象可知当时，，
所以，即，
所以当时，的取值范围为。
故答案为：-1，[0，1)。
【分析】令，则，当时，，再利用代入法得出f(1)的值，进而得出f(3)的值，再结合，所以的图象关于直线对称，所以，再利用，所以，再结合周期函数的定义判断出函数的周期，再利用函数的周期性得出，当时，得出，由函数图象可知当时，，进而求出当时，的取值范围。
三、解答题
17．（2022高二下·朝阳期末）某数学教师组织学生进行线上说题交流活动，规定从8道备选题中随机抽取题目作答，假设在8道备选题中，学生甲能答对每道题的概率都是，且每道题答对与否互不影响，学生乙、丙都只能答对其中的6道题．
（1）若甲、乙两人分别从8道备选题中随机抽取1道作答，求至少有1人能答对的概率；
（2）若学生丙从8道备选题中随机抽取2道作答，以X表示其中丙能答对的题数，求X的分布列及数学期望．
【答案】（1）解：有题意可知：乙能答对一道题的概率为，若两人都不能答对的概率，则至少有1人能答对的概率为
（2）解：的取值为，
X的分布列为：
0 1 2
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，进而得出至少有1人能答对的概率。
（2）利用已知条件求出随机变量X的取值，再利用组合数公式和古典概型求概率公式得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
18．（2022高二下·朝阳期末）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间．
【答案】（1）解：由得，
故，所以切线方程为：
（2）解：的定义域为，由（1）知：当，单调递减，当，单调递增，当，单调递减，
故的单调递增区间为：，单调递减区间为：
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的几何意义求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用代入法求出切点的坐标，再结合点斜式求出曲线在切点处的切线方程，再化简切线的方程。
（2）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间。
19．（2022高二下·朝阳期末）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月20日在北京圆满闭幕，这是一次创造诸多“第一”的盛会．某学校为了了解学生收看北京冬奥会的情况，随机调查了100名学生，获得他们日均收看北京冬奥会的时长数据，将数据分成6组：，并整理得到如下频率分布直方图：
假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．
（1）试估计该校学生日均收看北京冬奥会的时长的平均值；
（2）以频率估计概率，从全校学生中随机抽取3人，以X表示其中日均收看北京冬奥会的时长在的学生人数，求X的分布列和数学期望；
（3）经过进一步调查发现，这100名学生收看北京冬奥会的方式有：①收看新闻或收看比赛集锦，②收看比赛转播或到现场观看．他们通过这两种方式收看的日均时长与其日均收看北京冬奥会的时长的比值如下表：
日均收看北京冬奥会的时长/小时 通过方式①收看 通过方式②收看
1 0
日均收看北京冬奥会的时长在的学生通过方式①收看的平均时长分别记为，写出的大小关系．（结论不要求证明）
【答案】（1）解：根据题意，估计该校学生日均收看北京冬奥会的时长的平均值为：
小时；
（2）解：由条件可知，从全校学生中随机抽取1人，其日均收看北京冬奥会的时长在的概率估计为，
的可能取值为，且，
则，，
，，
的分布列为：
0 1 2 3
所以的数学期望
（3）解：小时，
因为的人数之比为，所以小时，
因为的人数之比为，
所以小时，
所以.
【知识点】众数、中位数、平均数；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图求平均数的方法，进而估计出该校学生日均收看北京冬奥会的时长的平均值 。
（2） 由条件结合互斥事件加法求概率公式可知，从全校学生中随机抽取1人，其日均收看北京冬奥会的时长在的概率 ，进而得出随机变量X的取值，再结合随机变量X服从二项分布，从而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
（3）利用已知条件结合表中数据，再结合平均数公式和比例的关系以及比较法写出 的大小关系。
20．（2022高二下·朝阳期末）已知函数．
（1）若在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）当时，判断0是否为函数的极值点，并说明理由；
（3）若存在三个实数，满足，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：∵，则，若在R上是增函数，即恒成立，得，设，，得，得，即在递减，在递增，则，故.
（2）解：当时，，，得，则递增，，则时，，时，，则在上递减，在上递增，故是函数的极小值点.
（3）解：∵，令，得，由（1）得，
又在递减，在递增，则，
且时，，， 当时，，
若存在三个实数，满足，故当有两根使得，故或时，，此时递增，时，，此时递减，且时，，则必有先增后减再增，故必存在，满足，故，即.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值；极限及其运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而求出实数a的取值范围。
（2）利用a的值求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值点，进而判断出0是函数的极小值点。
（3） 利用，令，得，由（1）得，再利用单调函数的定义判断出函数在递减，在递增，进而得出函数的最小值，再利用函数求极限的方法得出当时，，若存在三个实数，满足，故当有两根使得，再利用单调函数的定义和函数求极限的方法，则必有先增后减再增，故必存在，满足，从而求出实数a的取值范围。
21．（2022高二下·朝阳期末）已知集合，，其中，且．若，且对集合A中的任意两个元素，都有，则称集合A具有性质P．
（1）判断集合是否具有性质P；并另外写出一个具有性质P且含5个元素的集合A；
（2）若集合具有性质P．
①求证：的最大值不小于；
②求n的最大值．
【答案】（1）解：因为，故该集合不符合性质；
符合性质的集合
（2）解：①，不放设，则，
故，故的最大值不小于；
②要使最大，，不妨设，
则，
又，，所以，
所以，
所以，
又，当且仅当时等号成立，
当或6时，，所以，
当时，符合题意，
所以最大值为10.
【知识点】集合的含义；集合中元素个数的最值；基本不等式在最值问题中的应用；数列的函数特性
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合集合具有性质P的定义，再结合比较法得出集合不具有性质P，并另外写出一个具有性质P且含5个元素的集合A 。
（2） ①利用，不放设，则，再结合作差法和比较法以及集合具有性质P的定义，进而证出的最大值不小于。
②要使最大，，不妨设，则，再利用，，所以，
所以，再利用均值不等式求最值的方法和分类讨论的方法得出n的最大值。
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北京市朝阳区2021-2022学年高二下学期数学期末质量检测试卷
一、单选题
1．（2022高二下·朝阳期末）已知集合，则（ ）
A． B．{0} C．{1} D．
2．（2022高二下·朝阳期末）已知，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高二下·朝阳期末）下列函数中既是奇函数又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高二下·朝阳期末）已知一组样本数据，根据这组数据的散点图分析x与y之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为（ ）
A．-2.45 B．2.45 C．3.45 D．54.55
5．（2022高二下·朝阳期末）在抗击新冠疫情期间，有6名男生和5名女生共11名大学生报名参加某社区疫情防控志愿服务，现从6名男生中选出2名组成一个小组，从5名女生中选出2名组成一个小组，在周日的上午和下午各安排一个小组值班，则不同的排班种数为（ ）
A．75 B．150 C．300 D．600
6．（2022高二下·朝阳期末）“”是“在上恒成立”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2022高二下·朝阳期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．曲线在点处的切线斜率小于零
B．函数在区间上单调递增
C．函数在处取得极大值
D．函数在区间内至多有两个零点
8．（2022高二下·朝阳期末）为了了解居家学习期间性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，某校随机抽取了40名学生进行调查，按照性别和体育锻炼情况整理出如下的列联表：
性别 锻炼情况 合计
不经常 经常
女生/人 14 7 21
男生/人 8 11 19
合计/人 22 18 40
注：独立性检验中，．
常用的小概率值和相应的临界值如下表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
根据这些数据，给出下列四个结论：
①依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响；②依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响；③根据小概率值的独立性检验，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，这个推断犯错误的概率不超过0.05；④根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响．
其中，正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
9．（2022高二下·朝阳期末）若对任意都有成立，其中m，M为实数，则的最小值为（ ）
A．π B． C． D．
10．（2022高二下·朝阳期末）已知函数若存在唯一的整数x，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2022高二下·朝阳期末）计算： ．
12．（2022高二下·朝阳期末）在一组数据0，3，5，7，10中加入一个整数a得到一组新数据，这组新数据与原数据相比平均数不增大且方差减小，则a的一个取值为 ．
13．（2022高二下·朝阳期末）已知某地只有A，B两个品牌的计算机在进行降价促销活动，售后保修期为1年，它们在市场的占有率之比为3∶2．根据以往数据统计，这两个品牌的计算机在使用一年内，A品牌有5%需要维修，B品牌有6%需要维修．若某人从该地随机购买了一台降价促销的计算机，则它在一年内不需要维修的概率为 ．
14．（2022高二下·朝阳期末）激活函数是神经网络模型的重要组成部分，是一种添加到人工神经网络中的函数．函数是常用的激活函数之一，其解析式为．关于函数的以下结论
①函数是增函数；
②函数是奇函数；
③对于任意实数a，函数至少有一个零点；
④曲线不存在与直线垂直的切线．
其中所有正确结论的序号是 ．
15．（2022高二下·朝阳期末）在的展开式中，的系数为 ；各项系数之和为 ．（用数字作答）
16．（2022高二下·朝阳期末）设函数的定义域为R，且满足，当时，．则 ；当时，的取值范围为 ．
三、解答题
17．（2022高二下·朝阳期末）某数学教师组织学生进行线上说题交流活动，规定从8道备选题中随机抽取题目作答，假设在8道备选题中，学生甲能答对每道题的概率都是，且每道题答对与否互不影响，学生乙、丙都只能答对其中的6道题．
（1）若甲、乙两人分别从8道备选题中随机抽取1道作答，求至少有1人能答对的概率；
（2）若学生丙从8道备选题中随机抽取2道作答，以X表示其中丙能答对的题数，求X的分布列及数学期望．
18．（2022高二下·朝阳期末）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间．
19．（2022高二下·朝阳期末）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月20日在北京圆满闭幕，这是一次创造诸多“第一”的盛会．某学校为了了解学生收看北京冬奥会的情况，随机调查了100名学生，获得他们日均收看北京冬奥会的时长数据，将数据分成6组：，并整理得到如下频率分布直方图：
假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．
（1）试估计该校学生日均收看北京冬奥会的时长的平均值；
（2）以频率估计概率，从全校学生中随机抽取3人，以X表示其中日均收看北京冬奥会的时长在的学生人数，求X的分布列和数学期望；
（3）经过进一步调查发现，这100名学生收看北京冬奥会的方式有：①收看新闻或收看比赛集锦，②收看比赛转播或到现场观看．他们通过这两种方式收看的日均时长与其日均收看北京冬奥会的时长的比值如下表：
日均收看北京冬奥会的时长/小时 通过方式①收看 通过方式②收看
1 0
日均收看北京冬奥会的时长在的学生通过方式①收看的平均时长分别记为，写出的大小关系．（结论不要求证明）
20．（2022高二下·朝阳期末）已知函数．
（1）若在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）当时，判断0是否为函数的极值点，并说明理由；
（3）若存在三个实数，满足，求实数a的取值范围．
21．（2022高二下·朝阳期末）已知集合，，其中，且．若，且对集合A中的任意两个元素，都有，则称集合A具有性质P．
（1）判断集合是否具有性质P；并另外写出一个具有性质P且含5个元素的集合A；
（2）若集合具有性质P．
①求证：的最大值不小于；
②求n的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】，
。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法，进而得出集合B，再利用交集的运算法则，进而得出集合A和集合B的交集。
2．【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；指数函数单调性的应用；不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A，在R上单调递增，所以，A符合题意，
对于B， 两边同乘一个负数b，故得， B不符合题意，
对于C， ，则可知，所以，C不符合题意
对于D， ，则可知，D不符合题意。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合不等式的基本性质和指数函数的单调性，进而找出不等式成立的选项。
3．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断
【解析】【解答】对于A：既不是奇函数也不等式偶函数，A不正确；
对于B： ，所以是奇函数，因为，所以在上不是单调递增，B不正确；
对于C，为奇函数，且在区间上单调递增，符合题意；
故答案为：项C符合题意；
对于D，，为偶函数，不符合题意. D不正确。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和增函数的定义，进而找出既是奇函数又在上单调递增的函数。
4．【答案】B
【知识点】可线性化的回归分析
【解析】【解答】把代入，得，
所以在样本点处的残差。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合线性回归方程和代入法，再利用作差法得出在样本点处的残差。
5．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】共有(种)。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再结合分步乘法计数原理，进而得出不同的排班种数。
6．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则在上恒成立，
故在上单调递增，
，所以，
因为，而推不出，
所以“”是“在上恒成立”的充分而不必要条件。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而判断出“”是“在上恒成立”的充分而不必要条件。
7．【答案】D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】根据图像可知，故在点处的切线斜率等于零，A不符合题意；在，故在区间上单调递减，B不符合题意，在的左右两侧，故不是极值点，C不符合题意，在单调递增，在单调递减，故在区间内至多有两个零点，D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合导函数的图象，再利用导数的几何意义、导数的方法判断函数的单调性、利用导数方法求极大值点，结合函数的单调性求函数零点个数的方法，进而找出结论正确的选项。
8．【答案】B
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【解答】由表可知，女生有21人，其中经常锻炼的有7人，频率为，
男生有19人，其中经常锻炼的有11人，频率为，
因为，依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，故①正确，②错误；
，所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响，故④正确，③错误.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合频率等于频数除以样本容量的公式和比较法以及频率与概率的关系，进而可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响；再利用已知条件结合独立性检验的方法，从而认为性别对体育锻炼的经常性没有影响，进而找出正确结论的序号。
9．【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】令，，则，
由可得或，由可得，
所以在单调递增，在单调递减，
所以在取得极大值为，在取得极小值为，
又，，
所以，，
因为对任意都有成立，
所以，，
所以，即的最小值为。
故答案为：D.
【分析】令，，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极小值，从而结合比较法得出函数的最值，再利用对任意都有成立，所以，，进而得出的最小值。
10．【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；导数的几何意义
【解析】【解答】令作出的图象如图所示：
等价于，表示点与点所在直线的斜率，
可得曲线上只有一个整数点与所在的直线斜率小于0，而点在直线上运动，由 可知当时，只有点满足，当时，只有点满足，
当时，至少有，满足，不满足唯一整数点，故舍去，
当时，至少有满足，不满足唯一整数点，故舍去，
因为为整数，故可取。
故答案为：B
【分析】令再利用分段函数的解析式作出的图象，再利用等价于，表示点与点所在直线的斜率，可得曲线上只有一个整数点与所在的直线斜率小于0，而点在直线上运动，由，再利用分类讨论的方法结合代入法和检验法，再结合a为整数，从而得出实数a的取值构成的集合。
11．【答案】2
【知识点】对数的运算性质
【解析】【解答】。
故答案为：2。
【分析】利用已知条件结合对数的运算法则，进而化简求值。
12．【答案】2(答案不唯一，中任取一个都正确)
【知识点】一元二次不等式的解法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】由题意得，原数据的平均数，
原数据的方差为，
新数据的平均数，解得，
新数据的方差为
，
将代入得，，
解得：，
，，所以。
故答案为：2(答案不唯一，中任取一个都正确)。
【分析】利用已知条件结合平均数公式和方差公式，再利用比较法，进而得出满足条件的实数a的一个取值。
13．【答案】0.946
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】某人从该地随机购买了一台降价促销的计算机，
设买到的计算机是A品牌为事件A，买到的计算机是B品牌为事件B，
则由题可知P(A)＝，P(B)＝，
从A品牌中购买一个，设买到的计算机一年内不需要维修为事件C，
从B品牌中购买一个，设买到的计算机一年内不需要维修为事件D，
则由题可知P(C)＝，P(D)＝，
由题可知A、B、C、D互相独立，
故从该地随机购买了一台降价促销的计算机，则它在一年内不需要维修的概率为：
P(AC)＋P(BD)＝P(A)P(C)＋P(B)P(D)＝。
故答案为：0.946。
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出某人从该地随机购买了一台降价促销的计算机，则它在一年内不需要维修的概率。
14．【答案】①②④
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；导数的几何意义；直线的一般式方程与直线的垂直关系；函数零点的判定定理
【解析】【解答】定义域为R，，
所以为奇函数，②正确；
恒成立，所以函数是增函数，①正确；
当时，恒成立，所以在上单调递减，
在上单调递增，且，
故当时，，此时无零点，③错误；
，且，
所以，故曲线不存在与直线垂直的切线．④正确.
故答案为：①②④
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义、不等式恒成立问题求解方法和增函数的定义、零点求解方法、均值不等式求最值的方法和两直线垂直斜率之积等于-1的性质，进而找出结论正确的序号。
15．【答案】10；32
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】展开式通项公式为：，
令，解得：，展开式中，的系数为；
令，则展开式各项系数之和为。
故答案为：10；32。
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用展开式中的通项公式求出x的系数；再利用已知条件结合赋值法得出各项系数的和。
16．【答案】-1；[0，1)
【知识点】函数的周期性；函数的值；图形的对称性
【解析】【解答】令，则，
因为当时，，
所以，
所以，
因为，
所以的图象关于直线对称，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以的周期为8，
所以，即
当时，，
由函数图象可知当时，，
所以，即，
所以当时，的取值范围为。
故答案为：-1，[0，1)。
【分析】令，则，当时，，再利用代入法得出f(1)的值，进而得出f(3)的值，再结合，所以的图象关于直线对称，所以，再利用，所以，再结合周期函数的定义判断出函数的周期，再利用函数的周期性得出，当时，得出，由函数图象可知当时，，进而求出当时，的取值范围。
17．【答案】（1）解：有题意可知：乙能答对一道题的概率为，若两人都不能答对的概率，则至少有1人能答对的概率为
（2）解：的取值为，
X的分布列为：
0 1 2
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，进而得出至少有1人能答对的概率。
（2）利用已知条件求出随机变量X的取值，再利用组合数公式和古典概型求概率公式得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
18．【答案】（1）解：由得，
故，所以切线方程为：
（2）解：的定义域为，由（1）知：当，单调递减，当，单调递增，当，单调递减，
故的单调递增区间为：，单调递减区间为：
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的几何意义求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用代入法求出切点的坐标，再结合点斜式求出曲线在切点处的切线方程，再化简切线的方程。
（2）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间。
19．【答案】（1）解：根据题意，估计该校学生日均收看北京冬奥会的时长的平均值为：
小时；
（2）解：由条件可知，从全校学生中随机抽取1人，其日均收看北京冬奥会的时长在的概率估计为，
的可能取值为，且，
则，，
，，
的分布列为：
0 1 2 3
所以的数学期望
（3）解：小时，
因为的人数之比为，所以小时，
因为的人数之比为，
所以小时，
所以.
【知识点】众数、中位数、平均数；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图求平均数的方法，进而估计出该校学生日均收看北京冬奥会的时长的平均值 。
（2） 由条件结合互斥事件加法求概率公式可知，从全校学生中随机抽取1人，其日均收看北京冬奥会的时长在的概率 ，进而得出随机变量X的取值，再结合随机变量X服从二项分布，从而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
（3）利用已知条件结合表中数据，再结合平均数公式和比例的关系以及比较法写出 的大小关系。
20．【答案】（1）解：∵，则，若在R上是增函数，即恒成立，得，设，，得，得，即在递减，在递增，则，故.
（2）解：当时，，，得，则递增，，则时，，时，，则在上递减，在上递增，故是函数的极小值点.
（3）解：∵，令，得，由（1）得，
又在递减，在递增，则，
且时，，， 当时，，
若存在三个实数，满足，故当有两根使得，故或时，，此时递增，时，，此时递减，且时，，则必有先增后减再增，故必存在，满足，故，即.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值；极限及其运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而求出实数a的取值范围。
（2）利用a的值求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值点，进而判断出0是函数的极小值点。
（3） 利用，令，得，由（1）得，再利用单调函数的定义判断出函数在递减，在递增，进而得出函数的最小值，再利用函数求极限的方法得出当时，，若存在三个实数，满足，故当有两根使得，再利用单调函数的定义和函数求极限的方法，则必有先增后减再增，故必存在，满足，从而求出实数a的取值范围。
21．【答案】（1）解：因为，故该集合不符合性质；
符合性质的集合
（2）解：①，不放设，则，
故，故的最大值不小于；
②要使最大，，不妨设，
则，
又，，所以，
所以，
所以，
又，当且仅当时等号成立，
当或6时，，所以，
当时，符合题意，
所以最大值为10.
【知识点】集合的含义；集合中元素个数的最值；基本不等式在最值问题中的应用；数列的函数特性
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合集合具有性质P的定义，再结合比较法得出集合不具有性质P，并另外写出一个具有性质P且含5个元素的集合A 。
（2） ①利用，不放设，则，再结合作差法和比较法以及集合具有性质P的定义，进而证出的最大值不小于。
②要使最大，，不妨设，则，再利用，，所以，
所以，再利用均值不等式求最值的方法和分类讨论的方法得出n的最大值。
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