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北京市房山区2021－2022学年高二下学期数学期末检测试卷
一、单选题
1．（2022高二下·房山期末）已知函数，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2022高二下·房山期末）已知数列是等差数列，，则的值为（ ）
A．15 B．-15 C．10 D．-10
3．（2022高二下·房山期末）商场举行抽奖活动，已知中奖率为，现有3位顾客抽奖，则恰有1位中奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高二下·房山期末）已知，则的值为（ ）
A．6 B．12 C．60 D．192
5．（2022高二下·房山期末）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高二下·房山期末）有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占70%．这两个厂的产品次品率分别为1%，2%，则从这批产品中任取一件，该产品是次品的概率是（ ）
A．0.015 B．0.03 C．0.0002 D．0.017
7．（2022高二下·房山期末）已知数列满足，且对于任意正整数p，q都有成立，则的值为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
8．（2022高二下·房山期末）已知无穷等差数列为递增数列，为数列前n项和，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．数列有最大项
C．数列为递增数列
D．存在正整数，当时，
9．（2022高二下·房山期末）已知函数在上的图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022高二下·房山期末）已知函数，以下4个命题：
①函数为偶函数；②函数在区间单调递减；③函数存在两个零点；④函数存在极大值和极小值．正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（2022高二下·房山期末），则 ．
12．（2022高二下·房山期末）在由正数组成的等比数列中，若，则的值为 ．
13．（2022高二下·房山期末）篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是：命中得1分，不中得0分．已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.9，设其罚球一次的得分为X，则X的方差 ．
14．（2022高二下·房山期末）一个口袋中装有7个球，其中有5个红球，2个白球抽到红球得2分，抽到白球得3分．现从中任意取出3个球，则取出3个球的得分Y的均值为 ．
15．（2022高二下·房山期末）数列为1，1，2，1，1，3，1，1，1，1，4，…，前n项和为，且数列的构造规律如下：首先给出，接若复制前面为1的项，再添加1的后继数为2，于是，然后复制前面所有为1的项，1，1，再添加2的后继数为3，于是，接下来再复制前面所有为1的项，1，1，1，1，再添加3的后继数为4，…，如此继续．现有下列判断：
①； ②；
③； ④．
其中所有正确结论的序号为 ．
三、解答题
16．（2022高二下·房山期末）已知等差数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明数列是等比数列；
（3）求数列的前n项和．
17．（2022高二下·房山期末）已知函数在处的切线l．
（1）求切线l的方程；
（2）在同一坐标系下画出的图象，以及切线l的图象；
（3）经过点做的切线，共有 条．（填空只需写出答案）
18．（2022高二下·房山期末）某市统计部门随机调查了50户居民去年一年的月均用电量（单位：），并将得到数据按如下方式分为6组：，绘制得到如图的频率分布直方图：
（1）从该市随机抽取一户，估计该户居民月均用电量在以下的概率；
（2）从样本中月均用电量在内的居民中抽取2户，记抽取到的2户月均用电量落在内的个数为X，求X的分布列及数学期望．
19．（2022高二下·房山期末）已知．
（1）求的单调区间；
（2）若在区间上，函数的图象与直线总有交点，求实数a的取值范围．
20．（2022高二下·房山期末）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
男 女
支持方案一 24 16
支持方案二 25 35
假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立．
（1）从样本中抽1人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率；
（2）从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设X为抽出两人中女生的个数，求X的分布列与数学期望；
（3）在（2）中，Y表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小．（直接写结果）
21．（2022高二下·房山期末）若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“数列”．
（1）分别判断数列1，2，3，4，与数列2，6，8，12是否为“数列”，并说明理由；
（2）已知数列的通项公式为，判断是否为“数列”，并说明理由；
（3）已知数列为等差数列，且，求证为“数列”．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】由题意，
故答案为：A.
【分析】根据题意由导数的几何意义，代入数值计算出结果即可。
2．【答案】D
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】，故可得：，所以公差，
因此
故答案为：D
【分析】由等差数列的项的性质，整理化简即可得出公差的取值，然后由等差数的通项公式计算出结果即可。
3．【答案】C
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】因为3位顾客抽奖是相互独立的且中奖率为，
所以3位顾客抽奖，则恰有1位中奖的概率为，
故答案为：C
【分析】由已知条件结合n次独立事件的概率公式，代入数值计算出结果即可。
4．【答案】B
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：二项式展开式的通项为，
令，解得，所以，所以；
故答案为：B
【分析】根据题意首先求出二项展开式的通项公式，然后由题意计算出r的值，并代入到二项展开式的通项公式由此即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由题意可知，函数的定义域为，
，
令，则，解得，
所以函数的单调递减区间为.
故答案为：C.
【分析】首先对函数求导，结合导函数的性质即可得出函数的单调性以及单调区间。
6．【答案】D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】设事件A为“任取一件为次品”，
事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1，2，
则Ω＝B1∪B2，且B1，B2互斥，
易知P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.7， P(A|B1)＝0.01，P(A|B2)＝0.02，
∴P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＝0.01×0.3＋0.02×0.7＝0.017.
故答案为：D
【分析】由已知条件结合概率的加法以及乘法公式，代入数值计算出结果即可。
7．【答案】C
【知识点】数列递推式
【解析】【解答】令得：，
因为，所以，
令得：，解得：
故答案为：C
【分析】首先整理化简已知的数列的递推公式，由此得出a2的值从而得出答案。
8．【答案】D
【知识点】数列的函数特性；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的首项为，公差为，则，
因为为递增数列，所以，
则，
对于A：因为，又的符号无法确定，A不符合题意；
对于B：当时，此时单调递增，所以数列不存在最大项，B不符合题意；
对于C：因为，所以，
当时，此时存在的情形，故数列不一定单调，C不符合题意；
对于D：因为为递增数列，所以，若，则当比较大时，，即一定存在正整数，当时，，
若，显然存在正整数，当时，，D符合题意；
故答案为：D
【分析】由已知条件结合等差数列的前n项和公式整理化简即可得出结果，然后由数列的函数性质结合函数的单调性，由此得出数列的最大值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
9．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】当时，，则，故排除AB.
当时，则，
令，得或，
当或时，，当时，，
所以是函数的极小值点，是函数的极大值点，C不符合题意；
当时，则，
令，得或，
当或时，，当时，，
所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，D符合题意
故答案为：D.
【分析】根据题意对函数求导，结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由图象即可排除选项A余B，结合函数极值的定义即可得出函数的最值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点
【解析】【解答】由得，故为偶函数，①对，当时，，单调递减，故②，
令或，故③对；
当时，，故在上单调递减，由于为偶函数，故在上单调递增，故没有极小值，故④错误.
故答案为：C
【分析】 根据题意由奇偶函数的定义结合函数的单调性，由此得出函数极值从而对选项逐一判断即可得出答案。
11．【答案】1
【知识点】导数的运算
【解析】【解答】函数，则，则，
故答案为：1
【分析】根据题意对函数求导，再把点的坐标代入到导函数的解析式，由此计算出结果即可。
12．【答案】1
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为，，所以，即，
所以；
故答案为：1
【分析】由已知条件结合等比数列的项的性质，计算出结果即可。
13．【答案】0.09
【知识点】极差、方差与标准差；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：由题意知，随机变量的可能取值为0，1；
因为，，
所以，．
故答案为：0.09．
【分析】根据题意由互斥事件的概率公式计算出结果，然后代入到期望和方差公式计算出答案。
14．【答案】
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】的可能取值为，且
，，
，
所以得分Y的均值，
故答案为：
【分析】根据题意求出随机事件的个数，结合概率公式计算出结果，再把结果代入到期望公式计算出结果即可。
15．【答案】②③④
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性；数列的求和；数列与函数的综合
【解析】【解答】根据题意，由数列的构造规律可得：，，，，
则有，其余项都为1；
对于①，当时，，则有，当时，，则有①错误；
对于②，前20项中，，，，，，其余项为1，则，的值均为1，故②正确；
对于③，当时，，故，③正确；
对于④，当时，，当时，，
则在前2022项中，不是1的项有2、3、4、5、6、7、8、9、10、11，其余2012项都为1，则，④正确；
故答案为：②③④．
【分析】根据题意由已知条件结合数列的递推公式求出数列中的项，结合题意由特殊值法赋值由此计算出结果，对选项逐一判断即可得出答案。
16．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，由，.
所以，解得，
所以
（2）解：由（1）可知，
所以，
所以数列是首项为4，公比4的等比数列；
（3）解：因为，
所以
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1)根据题意由等差数列的通项公式以及等差数列的前n项和公式，代入数值整理化简计算出首项和公差，从而得出通项公式。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，由此得出数列为等比数列，从而求出数列的通项公式。
(3)由已知条件即可得出数列的通项公式，然后由裂项相消法结合等比数列的前n项和公式整理化简即可得出答案。
17．【答案】（1）解：，，切点纵坐标为，切线斜率为：
故切线l的方程为：
（2）解：如下图所示：
（3）3
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：设切点坐标为，，
所以切线斜率为：
所以 ，故切线方程为：
又切线过点，所以，整理得：
令，，解得，
又，，且，
故有三个根.
此方程在实数上有三个不同的根，经过点做的切线有3条.
故答案为：3.
【分析】由已知条件对函数求导代入数值计算出切线的斜率，由此得出切线的方程，然后结合切线的性质，计算出结果从而得出方程根的个数以及切线的条数，进而得出答案。
18．【答案】（1）解：由样本可知：
随机抽取一户，该户居民月均用电量在以下的概率，
从该市随机抽取一户，估计该户居民月均用电量在以下的概率为0.3；
（2）解：从样本中月均用电量在内的居有户，
月均用电量在内的居有户，
故样本中月均用电量在内的居民总共由9户，
则 X的可能取值为，且
，
，
，
所以X的分布列为
0 1 2
【知识点】根据实际问题选择函数类型；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件即可得出概率的取值。
(2)结合概率的定义即可得出各个事件的概率，由题意即可得出随机事件的个数，以及对应的各个事件的概率值，由此得出分布图并把结果代入到期望公式计算出结果即可。
19．【答案】（1）解：因为定义域为，
所以，
所以当或时，当时，
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为
（2）解：由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
所以，
因为函数的图象与直线总有交点，所以
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性以及单调区间。
(2)结合函数的单调性即可得出函数的最值，然后由直线与曲线的交点，从而得出满足图题意的a的取值范围。
20．【答案】（1）解：依题意支持方案二的学生中，男生有25人、女生35人，所以抽到的是女生的概率
（2）解：记从方案一中抽取到女生为事件，从方案二中抽取到女生为事件，
则，，
则的可能取值为、、，
所以，
，
所以的分布列为：
所以.
（3）解：
【知识点】概率的基本性质；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：(3)依题意可得，所以，即.
【分析】(1)根据题意求出满足题意的事件的概率。
(2)根据题意求出X的取值，再由概率公式计算出对应每个X的概率值，由此即可得出 的分布列 并把数值代入到期望值公式计算出结果即可。
(3)把结果代入到方差公式，由此得出结果然后进行比较从而得出结论。
21．【答案】（1）解：数列1，2，3，4，是“数列”，数列2，6，8，12不是“数列”．
因为数列1，2，3，4，中“”构成等比数列，
所以数列1，2，3，4，是“数列”；
因为数列2，6，8，12中“”，“”，“”，“”均不能构成等比数列，
所以数列2，6，8，12不是“数列”
（2）解：不是“数列”．
假设是“数列”，
因为是单调递增数列，即中存在的 （）三项成等比数列，也就是，即，
，两边时除以得，
等式左边为偶数，
等式右边为奇数．
所以数列中不存在三项按一定次序排列构成等比数列．
综上可得不是“数列”．
（3）证明：设等差数列的公差为，
则，，
假设存在三项使得，成立，
即，
展开得，
当既是与的等比中项，又是与的等差中项时，原命题成立；
所以中存在成等比数列．
所以，数列为“数列”．
【知识点】数列的函数特性；等差数列的性质；等比数列的性质；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】(1)由已知条件结合等比数列以及 “数列” 的定义，整理化简即可得出答案。
(2)根据题意由(1)的结论整理化简数列的递推公式，由等比数列以及 “数列” 的定义，即可得出结论。
(3)结合题意由等比数列、等差数列以及 “数列” 的定义，整理化简即可得出结论。
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北京市房山区2021－2022学年高二下学期数学期末检测试卷
一、单选题
1．（2022高二下·房山期末）已知函数，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】由题意，
故答案为：A.
【分析】根据题意由导数的几何意义，代入数值计算出结果即可。
2．（2022高二下·房山期末）已知数列是等差数列，，则的值为（ ）
A．15 B．-15 C．10 D．-10
【答案】D
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】，故可得：，所以公差，
因此
故答案为：D
【分析】由等差数列的项的性质，整理化简即可得出公差的取值，然后由等差数的通项公式计算出结果即可。
3．（2022高二下·房山期末）商场举行抽奖活动，已知中奖率为，现有3位顾客抽奖，则恰有1位中奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】因为3位顾客抽奖是相互独立的且中奖率为，
所以3位顾客抽奖，则恰有1位中奖的概率为，
故答案为：C
【分析】由已知条件结合n次独立事件的概率公式，代入数值计算出结果即可。
4．（2022高二下·房山期末）已知，则的值为（ ）
A．6 B．12 C．60 D．192
【答案】B
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：二项式展开式的通项为，
令，解得，所以，所以；
故答案为：B
【分析】根据题意首先求出二项展开式的通项公式，然后由题意计算出r的值，并代入到二项展开式的通项公式由此即可得出答案。
5．（2022高二下·房山期末）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由题意可知，函数的定义域为，
，
令，则，解得，
所以函数的单调递减区间为.
故答案为：C.
【分析】首先对函数求导，结合导函数的性质即可得出函数的单调性以及单调区间。
6．（2022高二下·房山期末）有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占70%．这两个厂的产品次品率分别为1%，2%，则从这批产品中任取一件，该产品是次品的概率是（ ）
A．0.015 B．0.03 C．0.0002 D．0.017
【答案】D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】设事件A为“任取一件为次品”，
事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1，2，
则Ω＝B1∪B2，且B1，B2互斥，
易知P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.7， P(A|B1)＝0.01，P(A|B2)＝0.02，
∴P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＝0.01×0.3＋0.02×0.7＝0.017.
故答案为：D
【分析】由已知条件结合概率的加法以及乘法公式，代入数值计算出结果即可。
7．（2022高二下·房山期末）已知数列满足，且对于任意正整数p，q都有成立，则的值为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】C
【知识点】数列递推式
【解析】【解答】令得：，
因为，所以，
令得：，解得：
故答案为：C
【分析】首先整理化简已知的数列的递推公式，由此得出a2的值从而得出答案。
8．（2022高二下·房山期末）已知无穷等差数列为递增数列，为数列前n项和，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．数列有最大项
C．数列为递增数列
D．存在正整数，当时，
【答案】D
【知识点】数列的函数特性；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的首项为，公差为，则，
因为为递增数列，所以，
则，
对于A：因为，又的符号无法确定，A不符合题意；
对于B：当时，此时单调递增，所以数列不存在最大项，B不符合题意；
对于C：因为，所以，
当时，此时存在的情形，故数列不一定单调，C不符合题意；
对于D：因为为递增数列，所以，若，则当比较大时，，即一定存在正整数，当时，，
若，显然存在正整数，当时，，D符合题意；
故答案为：D
【分析】由已知条件结合等差数列的前n项和公式整理化简即可得出结果，然后由数列的函数性质结合函数的单调性，由此得出数列的最大值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
9．（2022高二下·房山期末）已知函数在上的图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】当时，，则，故排除AB.
当时，则，
令，得或，
当或时，，当时，，
所以是函数的极小值点，是函数的极大值点，C不符合题意；
当时，则，
令，得或，
当或时，，当时，，
所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，D符合题意
故答案为：D.
【分析】根据题意对函数求导，结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由图象即可排除选项A余B，结合函数极值的定义即可得出函数的最值，由此对选项逐一判断即可得出答案。
10．（2022高二下·房山期末）已知函数，以下4个命题：
①函数为偶函数；②函数在区间单调递减；③函数存在两个零点；④函数存在极大值和极小值．正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点
【解析】【解答】由得，故为偶函数，①对，当时，，单调递减，故②，
令或，故③对；
当时，，故在上单调递减，由于为偶函数，故在上单调递增，故没有极小值，故④错误.
故答案为：C
【分析】 根据题意由奇偶函数的定义结合函数的单调性，由此得出函数极值从而对选项逐一判断即可得出答案。
二、填空题
11．（2022高二下·房山期末），则 ．
【答案】1
【知识点】导数的运算
【解析】【解答】函数，则，则，
故答案为：1
【分析】根据题意对函数求导，再把点的坐标代入到导函数的解析式，由此计算出结果即可。
12．（2022高二下·房山期末）在由正数组成的等比数列中，若，则的值为 ．
【答案】1
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为，，所以，即，
所以；
故答案为：1
【分析】由已知条件结合等比数列的项的性质，计算出结果即可。
13．（2022高二下·房山期末）篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是：命中得1分，不中得0分．已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.9，设其罚球一次的得分为X，则X的方差 ．
【答案】0.09
【知识点】极差、方差与标准差；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：由题意知，随机变量的可能取值为0，1；
因为，，
所以，．
故答案为：0.09．
【分析】根据题意由互斥事件的概率公式计算出结果，然后代入到期望和方差公式计算出答案。
14．（2022高二下·房山期末）一个口袋中装有7个球，其中有5个红球，2个白球抽到红球得2分，抽到白球得3分．现从中任意取出3个球，则取出3个球的得分Y的均值为 ．
【答案】
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】的可能取值为，且
，，
，
所以得分Y的均值，
故答案为：
【分析】根据题意求出随机事件的个数，结合概率公式计算出结果，再把结果代入到期望公式计算出结果即可。
15．（2022高二下·房山期末）数列为1，1，2，1，1，3，1，1，1，1，4，…，前n项和为，且数列的构造规律如下：首先给出，接若复制前面为1的项，再添加1的后继数为2，于是，然后复制前面所有为1的项，1，1，再添加2的后继数为3，于是，接下来再复制前面所有为1的项，1，1，1，1，再添加3的后继数为4，…，如此继续．现有下列判断：
①； ②；
③； ④．
其中所有正确结论的序号为 ．
【答案】②③④
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性；数列的求和；数列与函数的综合
【解析】【解答】根据题意，由数列的构造规律可得：，，，，
则有，其余项都为1；
对于①，当时，，则有，当时，，则有①错误；
对于②，前20项中，，，，，，其余项为1，则，的值均为1，故②正确；
对于③，当时，，故，③正确；
对于④，当时，，当时，，
则在前2022项中，不是1的项有2、3、4、5、6、7、8、9、10、11，其余2012项都为1，则，④正确；
故答案为：②③④．
【分析】根据题意由已知条件结合数列的递推公式求出数列中的项，结合题意由特殊值法赋值由此计算出结果，对选项逐一判断即可得出答案。
三、解答题
16．（2022高二下·房山期末）已知等差数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明数列是等比数列；
（3）求数列的前n项和．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，由，.
所以，解得，
所以
（2）解：由（1）可知，
所以，
所以数列是首项为4，公比4的等比数列；
（3）解：因为，
所以
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1)根据题意由等差数列的通项公式以及等差数列的前n项和公式，代入数值整理化简计算出首项和公差，从而得出通项公式。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，由此得出数列为等比数列，从而求出数列的通项公式。
(3)由已知条件即可得出数列的通项公式，然后由裂项相消法结合等比数列的前n项和公式整理化简即可得出答案。
17．（2022高二下·房山期末）已知函数在处的切线l．
（1）求切线l的方程；
（2）在同一坐标系下画出的图象，以及切线l的图象；
（3）经过点做的切线，共有 条．（填空只需写出答案）
【答案】（1）解：，，切点纵坐标为，切线斜率为：
故切线l的方程为：
（2）解：如下图所示：
（3）3
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：设切点坐标为，，
所以切线斜率为：
所以 ，故切线方程为：
又切线过点，所以，整理得：
令，，解得，
又，，且，
故有三个根.
此方程在实数上有三个不同的根，经过点做的切线有3条.
故答案为：3.
【分析】由已知条件对函数求导代入数值计算出切线的斜率，由此得出切线的方程，然后结合切线的性质，计算出结果从而得出方程根的个数以及切线的条数，进而得出答案。
18．（2022高二下·房山期末）某市统计部门随机调查了50户居民去年一年的月均用电量（单位：），并将得到数据按如下方式分为6组：，绘制得到如图的频率分布直方图：
（1）从该市随机抽取一户，估计该户居民月均用电量在以下的概率；
（2）从样本中月均用电量在内的居民中抽取2户，记抽取到的2户月均用电量落在内的个数为X，求X的分布列及数学期望．
【答案】（1）解：由样本可知：
随机抽取一户，该户居民月均用电量在以下的概率，
从该市随机抽取一户，估计该户居民月均用电量在以下的概率为0.3；
（2）解：从样本中月均用电量在内的居有户，
月均用电量在内的居有户，
故样本中月均用电量在内的居民总共由9户，
则 X的可能取值为，且
，
，
，
所以X的分布列为
0 1 2
【知识点】根据实际问题选择函数类型；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件即可得出概率的取值。
(2)结合概率的定义即可得出各个事件的概率，由题意即可得出随机事件的个数，以及对应的各个事件的概率值，由此得出分布图并把结果代入到期望公式计算出结果即可。
19．（2022高二下·房山期末）已知．
（1）求的单调区间；
（2）若在区间上，函数的图象与直线总有交点，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：因为定义域为，
所以，
所以当或时，当时，
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为
（2）解：由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
所以，
因为函数的图象与直线总有交点，所以
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导，由导函数的性质即可得出函数的单调性以及单调区间。
(2)结合函数的单调性即可得出函数的最值，然后由直线与曲线的交点，从而得出满足图题意的a的取值范围。
20．（2022高二下·房山期末）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
男 女
支持方案一 24 16
支持方案二 25 35
假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立．
（1）从样本中抽1人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率；
（2）从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设X为抽出两人中女生的个数，求X的分布列与数学期望；
（3）在（2）中，Y表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小．（直接写结果）
【答案】（1）解：依题意支持方案二的学生中，男生有25人、女生35人，所以抽到的是女生的概率
（2）解：记从方案一中抽取到女生为事件，从方案二中抽取到女生为事件，
则，，
则的可能取值为、、，
所以，
，
所以的分布列为：
所以.
（3）解：
【知识点】概率的基本性质；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：(3)依题意可得，所以，即.
【分析】(1)根据题意求出满足题意的事件的概率。
(2)根据题意求出X的取值，再由概率公式计算出对应每个X的概率值，由此即可得出 的分布列 并把数值代入到期望值公式计算出结果即可。
(3)把结果代入到方差公式，由此得出结果然后进行比较从而得出结论。
21．（2022高二下·房山期末）若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“数列”．
（1）分别判断数列1，2，3，4，与数列2，6，8，12是否为“数列”，并说明理由；
（2）已知数列的通项公式为，判断是否为“数列”，并说明理由；
（3）已知数列为等差数列，且，求证为“数列”．
【答案】（1）解：数列1，2，3，4，是“数列”，数列2，6，8，12不是“数列”．
因为数列1，2，3，4，中“”构成等比数列，
所以数列1，2，3，4，是“数列”；
因为数列2，6，8，12中“”，“”，“”，“”均不能构成等比数列，
所以数列2，6，8，12不是“数列”
（2）解：不是“数列”．
假设是“数列”，
因为是单调递增数列，即中存在的 （）三项成等比数列，也就是，即，
，两边时除以得，
等式左边为偶数，
等式右边为奇数．
所以数列中不存在三项按一定次序排列构成等比数列．
综上可得不是“数列”．
（3）证明：设等差数列的公差为，
则，，
假设存在三项使得，成立，
即，
展开得，
当既是与的等比中项，又是与的等差中项时，原命题成立；
所以中存在成等比数列．
所以，数列为“数列”．
【知识点】数列的函数特性；等差数列的性质；等比数列的性质；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】(1)由已知条件结合等比数列以及 “数列” 的定义，整理化简即可得出答案。
(2)根据题意由(1)的结论整理化简数列的递推公式，由等比数列以及 “数列” 的定义，即可得出结论。
(3)结合题意由等比数列、等差数列以及 “数列” 的定义，整理化简即可得出结论。
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