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北京市丰台区2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·丰台期末）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高二下·丰台期末）的展开式中的系数是（ ）
A．-12 B．12 C．-6 D．6
3．（2022高二下·丰台期末）设是数列的前n项和，若，则（ ）
A．-21 B．11 C．27 D．35
4．（2022高二下·丰台期末）经验表明，某种树的高度y（单位：m）与胸径x（单位：cm）（树的主干在地面以上1.3米处的直径）具有线性相关关系.根据一组样本数据，用最小二乘法建立的经验回归方程为.据此模型进行推测，下列结论正确的是（ ）
A．y与x负相关
B．胸径为20cm的树，其高度一定为20m
C．经过一段时间，样本中一棵树的胸径增加1cm，估计其高度增加0.25m
D．样本数据中至少有一对满足经验回归方程
5．（2022高二下·丰台期末）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（ ）
A．10.9 B．-10.9 C．5 D．-5
6．（2022高二下·丰台期末）同时抛掷一枚红骰子和一枚蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数为1”为事件，“两枚骰子的点数之和等于6”为事件，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高二下·丰台期末）甲，乙，丙3位同学从即将开设的4门校本课程中任选一门参加，则他们参加的校本课程各不相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二下·丰台期末）“”是“函数在处有极小值”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2022高二下·丰台期末）某项活动需要把包含甲，乙，丙在内的6名志愿者安排到A，B，C三个小区做服务工作，每个小区安排2名志愿者.已知甲必须安排在A小区，乙和丙不能安排在同一小区，则不同安排方案的种数为（ ）
A．24 B．36 C．48 D．72
10．（2022高二下·丰台期末）已知是不大于的正整数，其中.若，则正整数m的最小值为（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
二、填空题
11．（2022高二下·丰台期末）为了解性别因素是否对某班学生打篮球的经常性有影响，对该班40名学生进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表：
经常打篮球 不经常打篮球 合计
男生 m 4 20
女生 8 20
合计 n 40
则m= ，n= .
12．（2022高二下·丰台期末）由两个“1”和两个“2”组成的不同的四位数有 个.（用数字作答）
13．（2022高二下·丰台期末）函数在处的瞬时变化率为 .
14．（2022高二下·丰台期末）数列的通项公式为，若，则p的一个取值为 .
15．（2022高二下·丰台期末）某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.每个瓶子的造价P1（单位：元）、瓶内饮料的获利P2（单位：元）分别与瓶子的半径r（单位：cm，）之间的关系如图甲、乙所示.设制造商的利润为，给出下列四个结论：
① 当时，；
②在区间上单调递减；
③在区间上存在极小值；
④在区间上存在极小值.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题
16．（2022高二下·丰台期末）某同学在上学途中要经过一个路口，假设他骑车上学在该路口遇到红灯的概率为. 已知该同学一周有3天骑车上学.
（1）求该同学在这3天上学途中恰有1天遇到红灯的概率；
（2）记该同学在这3天上学途中遇到红灯的天数为，求的分布列及数学期望.
17．（2022高二下·丰台期末）已知等差数列的前项和为，，请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下面的问题：
条件①：；条件②：.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
18．（2022高二下·丰台期末）已知函数，.
（1）当时，求在区间上的最大值和最小值；
（2）求的单调区间．
19．（2022高二下·丰台期末）一兴趣小组为了解种的使用情况，在某社区随机抽取了200人进行调查，得到使用这5种的人数及每种的满意率，调查数据如下表：
第1种 第2种 第3种 第4种 第5种
使用的人数 160 90 150 90 80
满意率 0.85 0.75 0.8 0.7 0.75
（1）从这200人中随机抽取1人，求此人使用第2种的概率；
（2）根据调查数据，将使用人数超过50%的称为“优秀”.该兴趣小组从这5种中随机选取3种，记其中“优秀”的个数为，求的分布列及数学期望；
（3）假设每种被社区居民评价为满意的概率与表格中该种的满意率相等， 用“”表示居民对第种满意，“”表示居民对第种不满意.写出方差、、、、的大小关系.（只需写出结论）
20．（2022高二下·丰台期末）已知函数.
（1）当时，求曲线点处的切线方程；
（2）求证：当时，函数存在极值；
（3）若函数在区间上有零点，求的取值范围.
21．（2022高二下·丰台期末）已知数列是无穷数列.若，则称为数列的1阶差数列；若，则称数列为数列的2阶差数列；以此类推，可得出数列的阶差数列，其中.
（1）若数列的通项公式为，求数列的2阶差数列的通项公式；
（2）若数列的首项为1，其一阶差数列的通项公式为，求数列的通项公式；
（3）若数列的通项公式为，写出数列的阶差数列的通项公式，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】导数的运算
【解析】【解答】因为，所以
故答案为：D
【分析】由导函数的运算性质，代入数值计算出结果即可。
2．【答案】C
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】的展开式的通项为： ，令，所以的系数是：
故答案为：C.
【分析】首先求出二项展开式的通项公式，再由已知条件求出r的值并代入到二项展开式的通项公式，由此即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】由得，，所以，
故答案为：B
【分析】根据题意由数列的前n项和公式与数列项之间的关系，由此即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】两个变量的线性相关；线性回归方程；可线性化的回归分析
【解析】【解答】因为，，故y与x正相关，A不符合题意；
当时，由可得，故树高大约为20 m，B不符合题意；
由知，当增加1cm时，估计其高度增加0.25m，C符合题意；
样本数据中不一定有一对满足经验回归方程，
D不符合题意.
故答案为：C
【分析】根据题意由线性回归方程代入数值计算成就感由此得出选项A错误；结合题意袋鼠制止计算出结果由此得出选项B错误；由线性相关的系数分析，结合线性回归方程的方程，由此对选项逐一判断即可得出答案。
5．【答案】D
【知识点】导数的运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
令，得瞬时速度为-5．
故答案为：D.
【分析】根据题意首先对函数求导，再由特殊值法代入计算出结果即可。
6．【答案】B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】事件包含6种基本事件，事件包含1个基本事件，
所以.
故答案为：B
【分析】结合题意由条件概率公式，代入数值计算出结果即可。
7．【答案】A
【知识点】概率的基本性质
【解析】【解答】甲，乙，丙3位同学从开设的4门校本课程中任选一门参加的事件数为
甲，乙，丙3位同学参加的校本课程各不相同的事件数为
故所求概率为
故答案为：A
【分析】首先由已知条件求出各个事件的个数，并代入到概率公式由此即可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为，且函数在处有极小值，
所以，解得，
经检验，当时，函数在处有极小值，符合题意.
所以，
故“”是“函数在处有极小值”的充分必要条件，
故答案为：C．
【分析】根据题意对函数求导，结合导函数与函数极值之间的关系，对a赋值由此计算出结果即可。
9．【答案】A
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
甲和乙丙中1人在A小区，
此时A小区的安排方法有种，B小区的选法有种，则此时有种安排分法，
甲和其他三人中的1人在A小区，
则乙丙两人分别在B，C小区，有2种情况，将其他三人全排列，安排到三个小区，有种安排方法，
则此时有种安排方法；
故有种安排方法；
故答案为：A．
【分析】结合题意由排列组合以及计数原理，分情况讨论计算出结果即可。
10．【答案】B
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】已知是不大于的正整数，即，且
求满足的正整数m的最小值，即取不大于的最大正整数，
可知，，且
，且
，且
，且
故正整数m的最小值为24
故答案为：B
【分析】由已知条件利用特殊值法，代入数值计算出结果即可。
11．【答案】16；16
【知识点】两个变量的线性相关
【解析】【解答】解：依题意可得列联表如下：
经常打篮球 不经常打篮球 合计
男生 16 4 20
女生 8 12 20
合计 24 16 40
故；
故答案为：16；16；
【分析】根据题意由已知的图表中的数据，即可求出m与n的取值。
12．【答案】6
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】当首位为1时，有1122，1212，1221，有3个
当首位为2时，有2211，2121，2112，有3个，
所以由两个“1”和两个“2”组成的不同的四位数有6个，
故答案为：6
【分析】结合题意由列举法即可得出答案。
13．【答案】1
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】因为函数的图象上各点的瞬时变化率为，，
所以函数在处的瞬时变化率为
，
故答案为：1
【分析】由频率的定义结合导数的几何意义，代入数值计算出结果即可。
14．【答案】-1（答案不唯一，只要满足“”即可）
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：因为，且，
即，
所以，因为，所以当时，所以；
故答案为：-1（答案不唯一，只要满足“”即可）
【分析】利用作差法整理化简，再由特殊值法对n赋值由此计算出结果，从而比较出大小即由此得出答案。
15．【答案】①③④
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】由图可知：当时，，故，故①正确；
，当时，由图象可知，在处的切线斜率大于在处的切线斜率，故，因此 在区间上单调递增，② 错；
根据图象可知：图象先快后慢，而图象先慢后快，所以可得在上的变化是先减后增，故由极小值，③正确；
，当趋近于时，在处的切线斜率明显大于在处的切线斜率，而当趋近于0时，在处的切线斜率明显大于在处的切线斜率，所以可得在上的变化是先减后增，故由极小值，故④正确.
故答案为：①③④
【分析】由导数与切线斜率之间的关系，即可得出函数的单调性以及函数的极值，结合已知的图象，对选项逐一判断即可得出答案。
16．【答案】（1）解：记“该同学在这3天上学途中恰有1天遇到红灯”为事件A，
则，
所以，该同学在这3天上学途中恰有1天遇到红灯的概率为.
（2）解：的所有可能取值为：0，1，2，3.
，
，
，
，
的分布列为
0 1 2 3
数学期望
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据题意由n次独立事件的概率公式，代入数值计算出结果即可。
(2)根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。
17．【答案】（1）解：选择条件①：
设公差为，因为，，所以
解得，所以.
选择条件②：
设公差为，因为，，所以
解得，所以.
（2）解：因为，所以
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1) 选择条件① ，根据题意由等差数列的通项公式整理化简已知条件，由此计算出首项与公差的取值，从而得出数列的通项公式。 选择条件②： 由数列的前n项和公式以及等差数列的通项公式整理化简已知条件，由此得出首项与公差的取值，从而得出通项公式。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，然后由等比数列的前n项和公式，代入数值计算出结果即可。
18．【答案】（1）解：当时，，
，令得，或.
当在区间上变化时，的变化情况如下表
(1，2) 2 (2，3)
- 0 +
单调递减 0 单调递增
因为，所以在区间上的最大值为3，最小值为0
（2）解：，
令得，或，
当时，，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，，随着的变化，的变化情况如下表
a
+ 0 - 0 +
单调递增 单调递减 0 单调递增
所以的单调递增区间为，；的单调递减区间为.
当时，，随着的变化，的变化情况如下表
a )
+ 0 - 0 +
单调递增 0 单调递减 单调递增
所以的单调递增区间为(-∞， a)，(，+∞)；的单调递减区间为(a，).
综上所述：当时，所以的的单调递增区间为，无单调递减区间.
当时，的单调递增区间为，；的单调递减区间为.
当时，的单调递增区间为，；的单调递减区间为.
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】(1)由a的取值即可得出函数的解析式，对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，结合函数的单调性求出函数的最值。
(2)根据题意首项求出函数的定义域，结合a的取值范围即可得出导函数的性质，从而得出函数的单调性以及单调区间。
19．【答案】（1）解：记“这200人中随机抽取1人，此人选择第2种”为事件，
由表中数据可得：200人中有90人选择使用了第2种，所以，.
因此，从这200人中随机抽取1人，此人选择第2种的概率为.
（2）解：样本数据中有5种 ，其中“优秀”有种，
的所有可能取值为0、1、2，
，，，
所以，随机变量的分布列为
0 1 2
数学期望.
（3）解：
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】(3)解：由题意可知，，则服从两点分布，
所以，，，
，，
因此，
【分析】(1)根据题意由概率公式结合已知条件计算出结果即可。
(2) 根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。
(3)结合随机变量的两点分布，把结果代入到方差公式计算出结果，从而比较出大小即可。
20．【答案】（1）解：当时，，，，
因为，
所以曲线在处的切线方程为，
即
（2）证明：，
当时，由得，，
随着的变化，的变化情况如下表：
0
单调递减 单调递增
所以存在极小值，且极小值为
（3）解：，
当时，因为，所以，
在区间上单调递减，且，
因为在区间上有零点，
所以， 解得 ，
所以；
当时，，
因为在区间上有零点，
由（1）可知， ，
因为函数是增函数，
所以函数是增函数，
又，
所以，
综上所述，的取值范围是.
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】(1)由a的取值即可得出函数的解析式，然后对函数求导并把结果代入到导函数的解析式，结合点斜式即可得出切线的方程。
(2)根据题意由函数的单调性结合函数极值的定义，整理化简即可得出答案。
(3)首项对函数求导，再结合a的取值范围即可得出导函数的性质，从而得出函数的单调性，再由函数零点的定义以及函数单调性即可得出关于a的取值范围。
21．【答案】（1）解：因为，所以，
（2）解：因为，且，所以，
所以，，，，，
把上面个等式左右两边分别依次相加，得到，
于是，
又因为，所以.
（3）解：数列的阶差数列的通项公式为.
理由如下：当时，，
其1阶差数列的通过项公式，阶差数列各项均为0.
当时，，
其1阶差数列的通过项公式，
2阶差数列的通项公式为，阶差数列各项均为0.
假设时，的i阶差数列为常数，阶差数列各项均为0.
当时，的1阶差数列为
因为的阶差数列就是的阶差数列，
由假设知的k阶差数列各项均为常数.
因为的1阶差数列为
，
所以的1阶差数列为的1阶差数列与的1阶差数列的和，
进而有的k阶差数列为的k阶差数列与的k阶差数列的和.
所以，数列的阶差数列的通项公式为.
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性；二项式定理
【解析】【分析】(1)由已知条件结合阶差数列的定义，整理化简即可得出数列的通项公式。
(2)根据题意由数列的递推公式整理化简即可得出数列的通项公式。
(3)由已知条件结合阶差数列的定义，对m分情况讨论即可得出数列的阶差数列的通项公式。
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北京市丰台区2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·丰台期末）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】导数的运算
【解析】【解答】因为，所以
故答案为：D
【分析】由导函数的运算性质，代入数值计算出结果即可。
2．（2022高二下·丰台期末）的展开式中的系数是（ ）
A．-12 B．12 C．-6 D．6
【答案】C
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】的展开式的通项为： ，令，所以的系数是：
故答案为：C.
【分析】首先求出二项展开式的通项公式，再由已知条件求出r的值并代入到二项展开式的通项公式，由此即可得出答案。
3．（2022高二下·丰台期末）设是数列的前n项和，若，则（ ）
A．-21 B．11 C．27 D．35
【答案】B
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】由得，，所以，
故答案为：B
【分析】根据题意由数列的前n项和公式与数列项之间的关系，由此即可得出答案。
4．（2022高二下·丰台期末）经验表明，某种树的高度y（单位：m）与胸径x（单位：cm）（树的主干在地面以上1.3米处的直径）具有线性相关关系.根据一组样本数据，用最小二乘法建立的经验回归方程为.据此模型进行推测，下列结论正确的是（ ）
A．y与x负相关
B．胸径为20cm的树，其高度一定为20m
C．经过一段时间，样本中一棵树的胸径增加1cm，估计其高度增加0.25m
D．样本数据中至少有一对满足经验回归方程
【答案】C
【知识点】两个变量的线性相关；线性回归方程；可线性化的回归分析
【解析】【解答】因为，，故y与x正相关，A不符合题意；
当时，由可得，故树高大约为20 m，B不符合题意；
由知，当增加1cm时，估计其高度增加0.25m，C符合题意；
样本数据中不一定有一对满足经验回归方程，
D不符合题意.
故答案为：C
【分析】根据题意由线性回归方程代入数值计算成就感由此得出选项A错误；结合题意袋鼠制止计算出结果由此得出选项B错误；由线性相关的系数分析，结合线性回归方程的方程，由此对选项逐一判断即可得出答案。
5．（2022高二下·丰台期末）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（ ）
A．10.9 B．-10.9 C．5 D．-5
【答案】D
【知识点】导数的运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，
令，得瞬时速度为-5．
故答案为：D.
【分析】根据题意首先对函数求导，再由特殊值法代入计算出结果即可。
6．（2022高二下·丰台期末）同时抛掷一枚红骰子和一枚蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数为1”为事件，“两枚骰子的点数之和等于6”为事件，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】事件包含6种基本事件，事件包含1个基本事件，
所以.
故答案为：B
【分析】结合题意由条件概率公式，代入数值计算出结果即可。
7．（2022高二下·丰台期末）甲，乙，丙3位同学从即将开设的4门校本课程中任选一门参加，则他们参加的校本课程各不相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率的基本性质
【解析】【解答】甲，乙，丙3位同学从开设的4门校本课程中任选一门参加的事件数为
甲，乙，丙3位同学参加的校本课程各不相同的事件数为
故所求概率为
故答案为：A
【分析】首先由已知条件求出各个事件的个数，并代入到概率公式由此即可得出答案。
8．（2022高二下·丰台期末）“”是“函数在处有极小值”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为，且函数在处有极小值，
所以，解得，
经检验，当时，函数在处有极小值，符合题意.
所以，
故“”是“函数在处有极小值”的充分必要条件，
故答案为：C．
【分析】根据题意对函数求导，结合导函数与函数极值之间的关系，对a赋值由此计算出结果即可。
9．（2022高二下·丰台期末）某项活动需要把包含甲，乙，丙在内的6名志愿者安排到A，B，C三个小区做服务工作，每个小区安排2名志愿者.已知甲必须安排在A小区，乙和丙不能安排在同一小区，则不同安排方案的种数为（ ）
A．24 B．36 C．48 D．72
【答案】A
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
甲和乙丙中1人在A小区，
此时A小区的安排方法有种，B小区的选法有种，则此时有种安排分法，
甲和其他三人中的1人在A小区，
则乙丙两人分别在B，C小区，有2种情况，将其他三人全排列，安排到三个小区，有种安排方法，
则此时有种安排方法；
故有种安排方法；
故答案为：A．
【分析】结合题意由排列组合以及计数原理，分情况讨论计算出结果即可。
10．（2022高二下·丰台期末）已知是不大于的正整数，其中.若，则正整数m的最小值为（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】B
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】已知是不大于的正整数，即，且
求满足的正整数m的最小值，即取不大于的最大正整数，
可知，，且
，且
，且
，且
故正整数m的最小值为24
故答案为：B
【分析】由已知条件利用特殊值法，代入数值计算出结果即可。
二、填空题
11．（2022高二下·丰台期末）为了解性别因素是否对某班学生打篮球的经常性有影响，对该班40名学生进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表：
经常打篮球 不经常打篮球 合计
男生 m 4 20
女生 8 20
合计 n 40
则m= ，n= .
【答案】16；16
【知识点】两个变量的线性相关
【解析】【解答】解：依题意可得列联表如下：
经常打篮球 不经常打篮球 合计
男生 16 4 20
女生 8 12 20
合计 24 16 40
故；
故答案为：16；16；
【分析】根据题意由已知的图表中的数据，即可求出m与n的取值。
12．（2022高二下·丰台期末）由两个“1”和两个“2”组成的不同的四位数有 个.（用数字作答）
【答案】6
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】当首位为1时，有1122，1212，1221，有3个
当首位为2时，有2211，2121，2112，有3个，
所以由两个“1”和两个“2”组成的不同的四位数有6个，
故答案为：6
【分析】结合题意由列举法即可得出答案。
13．（2022高二下·丰台期末）函数在处的瞬时变化率为 .
【答案】1
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】因为函数的图象上各点的瞬时变化率为，，
所以函数在处的瞬时变化率为
，
故答案为：1
【分析】由频率的定义结合导数的几何意义，代入数值计算出结果即可。
14．（2022高二下·丰台期末）数列的通项公式为，若，则p的一个取值为 .
【答案】-1（答案不唯一，只要满足“”即可）
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：因为，且，
即，
所以，因为，所以当时，所以；
故答案为：-1（答案不唯一，只要满足“”即可）
【分析】利用作差法整理化简，再由特殊值法对n赋值由此计算出结果，从而比较出大小即由此得出答案。
15．（2022高二下·丰台期末）某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.每个瓶子的造价P1（单位：元）、瓶内饮料的获利P2（单位：元）分别与瓶子的半径r（单位：cm，）之间的关系如图甲、乙所示.设制造商的利润为，给出下列四个结论：
① 当时，；
②在区间上单调递减；
③在区间上存在极小值；
④在区间上存在极小值.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】由图可知：当时，，故，故①正确；
，当时，由图象可知，在处的切线斜率大于在处的切线斜率，故，因此 在区间上单调递增，② 错；
根据图象可知：图象先快后慢，而图象先慢后快，所以可得在上的变化是先减后增，故由极小值，③正确；
，当趋近于时，在处的切线斜率明显大于在处的切线斜率，而当趋近于0时，在处的切线斜率明显大于在处的切线斜率，所以可得在上的变化是先减后增，故由极小值，故④正确.
故答案为：①③④
【分析】由导数与切线斜率之间的关系，即可得出函数的单调性以及函数的极值，结合已知的图象，对选项逐一判断即可得出答案。
三、解答题
16．（2022高二下·丰台期末）某同学在上学途中要经过一个路口，假设他骑车上学在该路口遇到红灯的概率为. 已知该同学一周有3天骑车上学.
（1）求该同学在这3天上学途中恰有1天遇到红灯的概率；
（2）记该同学在这3天上学途中遇到红灯的天数为，求的分布列及数学期望.
【答案】（1）解：记“该同学在这3天上学途中恰有1天遇到红灯”为事件A，
则，
所以，该同学在这3天上学途中恰有1天遇到红灯的概率为.
（2）解：的所有可能取值为：0，1，2，3.
，
，
，
，
的分布列为
0 1 2 3
数学期望
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据题意由n次独立事件的概率公式，代入数值计算出结果即可。
(2)根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。
17．（2022高二下·丰台期末）已知等差数列的前项和为，，请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下面的问题：
条件①：；条件②：.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
【答案】（1）解：选择条件①：
设公差为，因为，，所以
解得，所以.
选择条件②：
设公差为，因为，，所以
解得，所以.
（2）解：因为，所以
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1) 选择条件① ，根据题意由等差数列的通项公式整理化简已知条件，由此计算出首项与公差的取值，从而得出数列的通项公式。 选择条件②： 由数列的前n项和公式以及等差数列的通项公式整理化简已知条件，由此得出首项与公差的取值，从而得出通项公式。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，然后由等比数列的前n项和公式，代入数值计算出结果即可。
18．（2022高二下·丰台期末）已知函数，.
（1）当时，求在区间上的最大值和最小值；
（2）求的单调区间．
【答案】（1）解：当时，，
，令得，或.
当在区间上变化时，的变化情况如下表
(1，2) 2 (2，3)
- 0 +
单调递减 0 单调递增
因为，所以在区间上的最大值为3，最小值为0
（2）解：，
令得，或，
当时，，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，，随着的变化，的变化情况如下表
a
+ 0 - 0 +
单调递增 单调递减 0 单调递增
所以的单调递增区间为，；的单调递减区间为.
当时，，随着的变化，的变化情况如下表
a )
+ 0 - 0 +
单调递增 0 单调递减 单调递增
所以的单调递增区间为(-∞， a)，(，+∞)；的单调递减区间为(a，).
综上所述：当时，所以的的单调递增区间为，无单调递减区间.
当时，的单调递增区间为，；的单调递减区间为.
当时，的单调递增区间为，；的单调递减区间为.
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】(1)由a的取值即可得出函数的解析式，对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，结合函数的单调性求出函数的最值。
(2)根据题意首项求出函数的定义域，结合a的取值范围即可得出导函数的性质，从而得出函数的单调性以及单调区间。
19．（2022高二下·丰台期末）一兴趣小组为了解种的使用情况，在某社区随机抽取了200人进行调查，得到使用这5种的人数及每种的满意率，调查数据如下表：
第1种 第2种 第3种 第4种 第5种
使用的人数 160 90 150 90 80
满意率 0.85 0.75 0.8 0.7 0.75
（1）从这200人中随机抽取1人，求此人使用第2种的概率；
（2）根据调查数据，将使用人数超过50%的称为“优秀”.该兴趣小组从这5种中随机选取3种，记其中“优秀”的个数为，求的分布列及数学期望；
（3）假设每种被社区居民评价为满意的概率与表格中该种的满意率相等， 用“”表示居民对第种满意，“”表示居民对第种不满意.写出方差、、、、的大小关系.（只需写出结论）
【答案】（1）解：记“这200人中随机抽取1人，此人选择第2种”为事件，
由表中数据可得：200人中有90人选择使用了第2种，所以，.
因此，从这200人中随机抽取1人，此人选择第2种的概率为.
（2）解：样本数据中有5种 ，其中“优秀”有种，
的所有可能取值为0、1、2，
，，，
所以，随机变量的分布列为
0 1 2
数学期望.
（3）解：
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】(3)解：由题意可知，，则服从两点分布，
所以，，，
，，
因此，
【分析】(1)根据题意由概率公式结合已知条件计算出结果即可。
(2) 根据题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。
(3)结合随机变量的两点分布，把结果代入到方差公式计算出结果，从而比较出大小即可。
20．（2022高二下·丰台期末）已知函数.
（1）当时，求曲线点处的切线方程；
（2）求证：当时，函数存在极值；
（3）若函数在区间上有零点，求的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，，，
因为，
所以曲线在处的切线方程为，
即
（2）证明：，
当时，由得，，
随着的变化，的变化情况如下表：
0
单调递减 单调递增
所以存在极小值，且极小值为
（3）解：，
当时，因为，所以，
在区间上单调递减，且，
因为在区间上有零点，
所以， 解得 ，
所以；
当时，，
因为在区间上有零点，
由（1）可知， ，
因为函数是增函数，
所以函数是增函数，
又，
所以，
综上所述，的取值范围是.
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】(1)由a的取值即可得出函数的解析式，然后对函数求导并把结果代入到导函数的解析式，结合点斜式即可得出切线的方程。
(2)根据题意由函数的单调性结合函数极值的定义，整理化简即可得出答案。
(3)首项对函数求导，再结合a的取值范围即可得出导函数的性质，从而得出函数的单调性，再由函数零点的定义以及函数单调性即可得出关于a的取值范围。
21．（2022高二下·丰台期末）已知数列是无穷数列.若，则称为数列的1阶差数列；若，则称数列为数列的2阶差数列；以此类推，可得出数列的阶差数列，其中.
（1）若数列的通项公式为，求数列的2阶差数列的通项公式；
（2）若数列的首项为1，其一阶差数列的通项公式为，求数列的通项公式；
（3）若数列的通项公式为，写出数列的阶差数列的通项公式，并说明理由.
【答案】（1）解：因为，所以，
（2）解：因为，且，所以，
所以，，，，，
把上面个等式左右两边分别依次相加，得到，
于是，
又因为，所以.
（3）解：数列的阶差数列的通项公式为.
理由如下：当时，，
其1阶差数列的通过项公式，阶差数列各项均为0.
当时，，
其1阶差数列的通过项公式，
2阶差数列的通项公式为，阶差数列各项均为0.
假设时，的i阶差数列为常数，阶差数列各项均为0.
当时，的1阶差数列为
因为的阶差数列就是的阶差数列，
由假设知的k阶差数列各项均为常数.
因为的1阶差数列为
，
所以的1阶差数列为的1阶差数列与的1阶差数列的和，
进而有的k阶差数列为的k阶差数列与的k阶差数列的和.
所以，数列的阶差数列的通项公式为.
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的函数特性；二项式定理
【解析】【分析】(1)由已知条件结合阶差数列的定义，整理化简即可得出数列的通项公式。
(2)根据题意由数列的递推公式整理化简即可得出数列的通项公式。
(3)由已知条件结合阶差数列的定义，对m分情况讨论即可得出数列的阶差数列的通项公式。
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