湖南师大附中2022一2023学年度高二第一学期入学考试
数学参考答案
二、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
D
D
A
B
C
BC
AB
BCD
BCD
B【解析】因为2=(-1)+(a-1)i为纯虚数，所以d2-1=0,a-1≠0，即a=-1,因此
1.
2.C【解析】易知事件A与事件B互斥，且PA)=号，P(B)=号，所以P(AUB)=PA)十P(B)=
PA+1-PB)=吉+1-号-号
3.D
【解析】由(2)
<1,即x-x-6>0,解得x<-2或x>3,故A={xx<-2或x>3}:
由log(x十a)<1,即0
知，B是A的真子集，所以一a十4一2或一a≥3，解得a≥6或a一3.
4.D【解析】因为sinA=sinB,由正弦定理有a=b,根据余弦定理有c2=a2十b-2 abcos C
=2a2-2a2cosC,且c2=2a2(1+sinC),故有sinC=-cosC,即tanC=-1,又C∈(0，π)，所以C
=3n
41
5.C【解折】由sin(a+)=号可得cos(2a+吾)=1-2simr(。+)=1-8-
则cos(2a-酒）=cos(5-2a)=cos[x-(2a+)]=-cos(2a+晋）=-号.
6.A
【解析】因为f(x)的定义城为R,且f(-x)=(-x)十3-=x2+3=(x),则f(x)为R
上的偶函数，则a=f(log:3）=f(-log3)=f(log3,又可知f(x)在(0，十∞)上单调递增，且
1g3>1g2E=号-(0)>1-100>101，所以f1g,3)>f（()）)>f10,即a
>c>b.
7.B【解折】由x∈[0，]可得2x-9∈[-9号-]，由画数fx)在[o,号]上是增画数且0<9
<受可得，-登所以≤
又当x(o,）时，2x-g(一e,g-)由fx)在(o.）上有最小值，可得-9>受
2
所以受综上所速，百≤<晋
8.C【解析】函数f(x)在R上单调递减，
3,≥0，
2
则002+(4a-3)·0+3a≥log(0+1)+1,
高二数学（附中版）参考答案一1
在同一直角坐标系中，画出函数y=f(x)和函数y=2一x的图象，如图：
由图象可知，在[0，十∞)上，f(x)=2一x有且仅有一个解，故在（一∞，0）上，
1f()1=2-x有且仅有-个解，当3a>2即a>号时，联立+(4a-3)x+3a=
2-x,
即x2+(4a-2)x+3a-2=0,x<0,则△=(4a-2)24(3a-2)=0,
解得a=子或1（含去），当a=是时，方程可化为(x+2)'=0x=-
2符合题
意；
当1≤3a≤2，即号9.BC【解析】对于A,若m⊥a,L,n有可能在平面a内，故A错误；
对于B,若1∥a,m∥l,m⊥B,由空间线面平行垂直的性质定理可知a⊥B,故B正确；
对于C,若m,n为异面直线，m∥a,n∥a,m∥B,n∥B,根据面面平行的判定定理可得a∥B,故C正
确；
对于D,若aB,a⊥Y,有可能Y∥B,故D错误.
10.AB【解析】易知0∈(0，π)，所以cos0∈(-1,1)，则A方·BC=(3AC+三AB)·
AC-A)=}A心+号AC.A店-号A=3-号+号×3×2×s0=}+2os0∈
(-号，号），所以访.C可能的取值为0，-子
11.BCD【解析】将10个数由小到大依次记为，x,x,x4,无，x6, ,x8,x,x0,对于A选项，当这
10个数分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8时，满足平均数为2，众数为2，与题意矛盾，A选项不符合
2(x-2)
要求；对于B选项，假设x。≥8，则方差2=
≥(2》≥6>3，标准差大于3，矛
10
盾，故假设不成立，B选项正确；对于C选项，假设x1≥8，因为第65百分位数为5，所以≥x
x=5,故平均数x=
10
0X6十5十5十5+8_2织2，矛盾，故假设不成立，C选项正确：对于
10
10
（x一4)2
D选项，假设1o≥8，则方差2=
≥4)2163
10
10≥0>2，矛盾，故假设不成立，D选
项正确.
12.BCD【解析】对于A,如图，连接AC,CD.因为在正方体ABCD
ABCD1中，BD⊥平面ACD,而点Q为线段AD1上一动点，所以CQC小
平面ACD1,因此BD⊥CQ,所以A错误；
对于B,如图，因为在正方体ABCD一ABCD中，平面ADDA1∥平面
BCCB,且平面ADD,A与平面BCCB的距离为正方体棱长2，而S△B,
=2,所以三棱维B-BCQ的体积V,四=V。m=号×号×2X2=号
为定值，因此B正确：
高二数学（附中版）参考答案一2湖南师大附高2022-2023学年高二上学期8月入学考试
数 学
时量：120分钟 满分：150分
得分：
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．若为纯虚数，其中，则等于（ ）
A．1 B．i C． D．
2．在投掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都是．事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件发生的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
15．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数（）在上是增函数，且在上有最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数（，且）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得０分．）
9．设l，m，n表示三条不同的直线，，，表示三个不同的平面，下列四个选项中，正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若m，n为异面直线，，，，，则
D．若，，则
10．如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，，点D为BC的三等分点（靠近B点），则可能的取值为（ ）
A． B． C． D．
11．冬春季节，人们容易感冒发热．若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产，有专业机构认为某地区在一段时间内没有发生大规模群体发热现象的标志为“连续10天，该地区每天新增疑似发热病例不超过7人”下列连续10天疑似发热病例人数的统计特征数中，能判定该地没有发生群体性发热的为（ ）
A．总体平均数为2，众数为2 B．总体平均数为2，总体标准差为
C．总体平均数为2，第65百分位数为5 D．总体平均数为4，总体方差为
12．在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，点Q为线段AD1上一动点，则（ ）
A．在Q点运动过程中，存在某个位置使得直线B1D与直线CQ所成角为锐角
B．三棱锥B B1CQ的体积为定值
C．当Q为AD1的一个三等分点时，平面B1QD截正方体ABCD A1B1C1D1所得的截面面积为
D．当Q为AD1中点时，直线B1Q与平面BCC1B1所成的角最大
选择题答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分
答案
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）
13．已知（，，），（，6，），（，，0），且点D在平面ABC内，则________．
14．已知直线l过点（4，1），且与两坐标轴正半轴围成的三角形面积为9，则直线l的斜率为________．
15．已知向量，，满足，，，，若，则的值为________．
16．如图，矩形ABCD中，AB=，AD=2，Q为BC上一动点，点M，N分别在线段AB，CD上运动（其中M不与A，B重合，N不与C，D重合），且MN∥AD，将△DMN沿MN折起，得到三棱锥D MNQ，当三棱锥D MNQ体积最大时，其外接球的表面积最大为________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）
17．（本小题满分10分）
如图矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中O'A'=3，O'C'=1，
（1）判断平面四边形OABC的形状并求周长；
（2）若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
18．（本小题满分12分）
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．
（1）求的值；
（2）若∠ACB的平分线交AB于点D，，求．
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为菱形，PC的中点为M，BD的中点为O，且PO⊥平面ABCD．
（1）证明：PA∥平面MBD；
（2）若PD⊥PB，∠DAB=60°，AD=1，求直线PO与平面PAD所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
已知函数（），若函数在定义域内存在，（），使成立，则称该函数为“互补函数”．
（1）若，函数图象的一条对称轴为，求函数在区间上的值域；
（2）若，函数在上为“互补函数”，求的取值范围．
21．（本小题满分12分）
某中学在2022年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析．经统计某班有50名同学，总分都在区间[600，700]内，将得分区间平均分成5组，统计频数、频率后，得到了如图所示的频率分布直方图．
（1）估计该班级的平均分；
（2）经过相关部门的计算，本次高考总分大于等于680的同学可以获得高校T的“强基计划”入围资格．高校T的“强基计划”校考分为两轮．第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有A+，A，B，C四个等级，两科中至少有一科得到A+，且两科均不低于B，才能进入第二轮，第二轮得到“通过”的同学将被高校T提前录取．已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于690分的同学在每科笔试中取得A+，A，B，C的概率分别为，，，；总分不超过690分的同学在每科笔试中取得A+，A，B，C的概率分别为，，，；进入第二轮的同学，若两科笔试成绩均为A+，则免面试，并被高校T提前录取；若两科笔试成绩只有一个A+，则要参加面试，总分高于690分的同学面试“通过”的概率为，总分不超过690分的同学面试“通过”的概率为，面试“通过”的同学也将被高校T提前录取．若该班级本次高考总分大于等于680的同学都报考了高校T的“强基计划”，且恰有1人成绩高于690分．
求：
①总分高于690分的某位同学进入第二轮的概率；
②该班恰有1名同学通过“强基计划”被高校T提前录取的概率．
22．（本小题满分12分）
已知真命题：“函数的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数是奇函数”．
（1）将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数图象对称中心的坐标；
（2）求函数图象对称中心的坐标；
（3）记（2）中的对称中心的坐标为（a，b），函数，若存在，，使得函数在区间上的值域为，求实数m的取值范围．