数学人教A版2019选修第一册2.2.1直线的点斜式方程（共35张）

(共35张PPT)
2.2.1直线的点斜式方程
第 2 章直线和圆的方程
人教A版2019选修第一册
学习目标
1.掌握直线方程的点斜式和斜截式,并会用它们求直线的方程
2.了解直线的斜截式方程与一次函数的关系
3.会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题.
笛卡尔出生于法国，毕业于普瓦捷大学，法国著名哲学家、物理学家、数学家，被黑格尔称为“近代哲学之父”。
在笛卡尔之前，几何与代数是数学中两个不同的研究领域。他站在方法论的自然哲学的高度，认为希腊人的几何学过于依赖于图形，束缚了人的想象力。对于当时流行的代数学，他觉得它完全从属于法则和公式，不能成为一门改进智力的科学。因此他提出必须把几何与代数的优点结合起来，建立一种“真正的数学”。
笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的。依照这种思想他创立了“解析几何学”。
情景引入
知识回顾
思考：在直角坐标系中，给定一个点P0(x0,y0)和斜率 k ，就能确定唯一的一条直线。
分析：因为直线l的斜率为k,由斜率公式得:
P0(x0,y0)
P(x,y)
可知:直线上所有点的坐标P(x, y)与P0、k 之间的关系是确定的，这一关系如何表示？
思考1：直线l上的每一点的坐标是否都满足方程 y-y0=k(x-x0) ？
思考2：方程y－y0＝k(x－x0)与方程 是否等价？
1.直线的点斜式方程
我们知道, 给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线. 这样, 在
平面直角坐标系中, 给定一个点P0(x0, y0)和斜率k(或倾斜角), 就能唯
一确定一条直线. 也就是说, 这条直线上任意一点的坐标P(x, y)与点
P0的坐标(x0, y0)和斜率k之间的关系是完全确定的. 那么, 这一关系如
何表示呢 下面我们就来研究这个问题.
x
y
O
P0(x0, y0)
P(x, y)
l
如图示, 直线l经过点P0(x0, y0), 且斜率为k. 设P(x, y)是直线l上不同于点P0的任意一点, 因为直线l的斜率为k, 由斜率公式得
即
上述推导过程可知:
(1) 直线l上任一个点的坐标(x, y) 都满足关系式①；
(2) 坐标满足关系式①的每一个点都在直线l上.
此时, 我们把方程关系式①称为过点P0(x0, y0), 斜率为k的直线l的方程.
方程y-y0=k(x-x0)由直线上一点及其斜率确定，把这个方程叫做直线的
点斜式方程，简称点斜式．
x
y
O
l
P0
注意：1、直线的点斜式方程的前提条件：
2、方程y－y0＝k(x－x0)与方程 不等价的，前者是整条直线，后者是去掉点P(x0，y0)的一条直线．
①斜率必须存在；
②已知一点P(x0，y0)和斜率k.
若直线l 经过点P0(x0, y0), 且斜率为k, 则直线l 的点斜式方程为
1. 直线得点斜式方程
x
y
O
P0(x0, y0)
l
思考: (1) 当直线l的倾斜角为0°时, 直线l的方程是什么 为什么
(2) 当直线l的倾斜角为90°时, 直线l的方程如何表示 为什么
当直线l的倾斜角为0°时, tan0°=0, 即k=0, 这时直线l与x轴平行或重合, 直线l的方程为
当直线l的倾斜角为90°时, 直线l的斜率不存在，这时l与y轴平行或重合, 直线l的方程不能用点斜式表示, 此时直线l的方程为
特别地x轴的方程为y=0.
特别地y轴的方程为x=0.
根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(－1，4)，倾斜角为45°；
(2)经过点B(4，2)，倾斜角为90°；
(3)经过原点，倾斜角为60°；
(4)经过D(－1，1)，与x轴平行．
典例1
直线l经过P0(-2,3),且倾斜角=450，求直线l的点斜式方程,并画出直线l：
典例2
已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0,b) ,求直线的点斜式方程.
我们把直线与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距
x
y
O
l
b
几点注意：
1、截距不是距离！
2、点斜式与斜截式联系和区别
3、直接说出y=2x-1、y=3x及y=-x+3 斜率和截距分别是多少？
此方程叫做直线的斜截式方程
典例3
2.直线的斜截式方程
方程y=kx+b由直线的斜率与它在y轴上的截距确定，所以该方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式
x
y
O
l
b
斜 率
截 距
下面我们看点斜式的一种特殊情形：如果斜率为k的直线l过点P0(0, b), 这时P0 是直线l与y轴的交点, 代入直线的点斜式方程, 得
x
y
O
P0(0,b)

l
即
我们把直线l与y轴的交点(0, b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距. 这样, 方程y=kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定, 我们把方程y=kx+b叫做直线的斜截式方程, 简称斜截式.
思考：截距是距离吗
截距不一定是距离，因为截距表示直线与坐标轴交点的对应坐标，分为纵截距和横截距, 它们可以是正,负或零, 是实数; 而距离指长度, 为非负数.
2. 直线的斜截式方程
直线斜截式方程的特点：①方程左端y的系数是1；②右端x的系数k是直线斜率, 常数项b是直线在y轴上的截距.
思考 方程y=kx+b与我们学过的一次函数表达式类似. 我们知道,
一次函数的图象是一条直线, 你如何从直线方程的角度认识一次
函数y=kx+b 你能说出一次函数y=2x-1, y=3x及y=-x+3图象的特点吗
一次函数是直线斜截式方程. 但是直线方程不一定是一次函数. 对于斜截式, 直线方程里斜率可以是0, 但一次函数斜率不能为0(否则就不是一次函数).
例如: 对于直线方程y= kx+ b(斜截式), 当k≠0(即斜率不为0)时, 这个直线方程就是一次函数, 当k=0(即斜率为0)时，这个直线方程就不能称一次函数了.
一次函数y=2x-1图象是斜率为2, 在y轴上的截距为-1的直线.
一次函数y=3x图象是斜率为3, 在y轴上的截距为0的直线.
一次函数y=-x+3图象是斜率为-1, 在y轴上的截距为3的直线.
写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；
(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；
(3)倾斜角是150°，在y轴上的截距是0.

典例4
已知直线l1: y=k1x+b1，l2: y=k2x+b2，试讨论:
(1) l1//l2的条件是什么
(2) l1⊥l2的条件是什么
由例5我们得到，对于直线l1: y=k1x+b1, l2: y=k2x+b2.
典例5
（1）已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程.
解　由斜截式方程知，直线l1的斜率k1＝－2，又因为l∥l1，所以kl＝－2.
由题意知，l2在y轴上的截距为－2，所以直线l在y轴上的截距b＝－2.
由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.
（2）已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，l ⊥l1，且直线l在y轴上
的截距是直线l2在y轴上的截距的相反数，求直线l的方程.
解　∵l1⊥l，直线l1：y＝－2x＋3，
∵l与l2在y轴上的截距互为相反数，直线l2：y＝4x－2，
∴l在y轴上的截距为2.
典例6
求直线的斜截式方程的策略
(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，
因此要确定直线方程只需两个独立条件即可.
已知斜率为 的直线l与两坐标轴围成的三角形面积为6，求直线l的方程.
∴b2＝16，∴b＝±4.
练一练
课本练习
1. 写出下列直线的点斜式方程:
(1) 经过点A(3, －1), 斜率是 ;
(2) 经过点B(－ , 2), 倾斜角是30°;
(3) 经过点C(0, 3), 倾斜角是0° ;
(4) 经过点D(－4,－2), 倾斜角是
2.填空题：
(1) 已知直线的点斜式方程是y-2=x-1, 那么此直线的斜率是___,
倾斜角是____ ;
(2) 已知直线的点斜式方程是y+2= (x+1). 那么此直线的斜率是
___, 倾斜角是___.
45°
60°
3. 写出下列直线的斜截式方程:
(1) 斜率是 ，在y轴上的截距是－2;
(2) 斜率是－2，在y轴上的截距是4.
4. 判断下列各对直线是否平行或垂直:
当堂检测
当堂检测
5.无论k取何值,直线y-2=k(x+1)所过的定点是　　　　.
【答案】(-1,2)
解：
7.过点P(-1, 3) 的直线与两坐标轴分别交于A, B, 线段AB的
中点恰是P, 求直线l的方程.
8.直线l过点P(2, -3), 倾斜角比直线y=2x-1的倾斜角大45°,
求直线l的方程.
解：
设直线l的倾斜角为α，
直线y=2x-1的倾斜角为β，
则
∴直线l的斜率为
又直线l过点 P(2, -3) ,
∴直线 l 的方程为：
即
(1)直线的点斜式方程.
(2)直线的斜截式方程.
2.方法：
3.易错点：
直线L过点P0(x0, y0)，斜率为k， 则它的点斜式方程为：
1.知识点：
待定系数法、数形结合思想.
求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离.
内 容
方 程
图 示
P0(x0,y0)
P(x,y)
直线L斜率为k,在y轴上的截距为b,则它的斜截式方程为：
b
课堂小结