湖南省衡山县第二中学2022-2023学年高一上学期8月入学考试数学试题（Word版含答案）

衡山县第二中学2022-2023学年高一上学期8月入学考试
数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题(每小题3分，共33分）
1．下列结论成立的是（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．随着我国金融科技不断发展，网络消费、网上购物已成为人们生活不可或缺的一部分，今年“双十一”天猫成交额高达2684亿元．将数据“2684”用科学记数法表示（　　　）
A． B． C． D．
3．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同的是（　　）
A． B． C． D．
4．是某三角形三边的长，则等于（ ）
A． B． C．10 D．4
5．已知点在第三象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝2，CD＝1，则△ABC的边长为（　　）
第6题图 第8题图
A．3 B．4 C．5 D．6
7．已知M（2，2）．规定“把点M先作关于x轴对称，再向左平移1个单位”为一次变换．那么连续经过2018次变换后，点M的坐标变为（　　）
A．（﹣2016，2） B．（﹣2016，一2） C．（﹣2017，﹣2） D．（﹣2017，2）
8．如图，在△ABC中，DE是△ABC的中位线，AC＝11，F是DE上的一点，DF＝1，连接AF、CF，∠AFC＝90°，则BC的长度为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
9．如图，四边形和AEFG均为正方形，点G在对角线上，点F在边上，连结，记△AEB和△BFG的面积分别为和．若，，则的长为（ ）
第9题图 第10题图
A．3 B． C．4 D．
10．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°）按如图所示方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是（ ）
A．38° B．45° C．58° D．60°
11．如图，直线与双曲线在第一象限内的交点R，与轴、轴的交点分别为P、Q．过R作RM⊥轴，M为垂足，若△OPQ ≌△MPR，则的值是（　　　）
A．1 B．2 C． D．
二、填空题(每小题4分，共16分）
12．关于x的分式方程＝－1的解是负数，则m的取值范围是_________．
13．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则＝___．
14．已知x﹣y＝2，＝1，求x2y﹣xy2＝___．
15．如右图，在△ABC中，，以点A为圆心，2为半径⊙A的与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且，则图中阴影部分的面积是_______（结果保留）．
三、解答题
16．计算：（每小题4分，共8分）
（1）；
（2）．
17．(8分）如图，等边△ABC的边长为10cm，点D在边AB上，且AD=4cm，点P在线段BC上，以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上，由点C向点A运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPD与△CQP全等，求此时t的值及点Q的运动速度．
18．（8分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：
(1)这次活动共调查了　 　人；
(2)在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为　 　；
(3)在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
19．（9分）家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它的电阻R（kΩ）随温度t（℃）（在一定范围内）变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反例关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻承温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ．
（1）求R和t之间的关系式；
（2）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过4kΩ．
20．（9分）“垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用3000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？
（2）若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，B品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？
21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点F，过点E作EP⊥AB交AB于点P，∠EAD=∠DEB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接FP，试猜想四边形CFPE的形状，并加以证明；
（3）若，AC=20，求四边形CFPE的面积．
衡山县第二中学2022-2023学年高一上学期8月入学考试
数学试卷
参考答案：
1．B 2．A 3．C 4．D 5．B 6．B
7．A 8．B 9．D 10．A 11．C
12． 且 13． 14． 15．2
16．（1）；（2）2
解：（1）原式==；
（2）原式=．．
17．当t=2s，点Q运动的速度为2cm/s；当t=2.5s，点Q运动的速度为2.4cm/s时，△BPD与△CQP全等．
解：由题意得：AD=4cm，BD=6cm，BP=2t，CP=10-2t，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
当BP=CQ，BD=CP时，△BPD≌△CQP（SAS），
即CQ=2t，10-2t=6，解得t=2，
∴CQ=4，
∴点Q运动的速度为=2（cm/s）；
当BP=CP，BD=CQ时，△BPD≌△CPQ（SAS），
即2t=10-2t，CQ=BD=6，解得t=2.5，
∴点Q运动的速度为=2.4（cm/s）；
综上所述，当t=2s，点Q运动的速度为2cm/s；当t=2.5s，点Q运动的速度为2.4cm/s时，△BPD与△CQP全等．
18．【答案】(1)200
(2)81°
(3)
19．（1）见解析；（2）15℃～37.5℃
解：（1）∵温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，
∴当10≤t≤30时，设关系为R=，
将（10，6）代入上式中得：6=，解得k=60，
故当10≤t≤30时，R=；
将t=30℃代入上式中得：R==2，
∴温度在30℃时，电阻R=2（kΩ），
∵在温度达到30℃时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ，
∴当t≥30时，R=2+（t﹣30）=t﹣6，
故R和t之间的关系式为R= ；
（2）把R=4代入R=t﹣6，得t=37.5，
把R=4代入R=，得t=15，
所以，温度在15℃～37.5℃时，发热材料的电阻不超过4kΩ．
20．（1）购买一个A品牌垃圾桶需100元，购买一个B品牌垃圾桶需150元；（2）该学校此次最多可购买16个B品牌垃圾桶
解：（1）设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需（x+50）元，
依题意，得：，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，
∴x+50＝150．
答：购买一个A品牌垃圾桶需100元，购买一个B品牌垃圾桶需150元．
（2）设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买（50﹣m）个A品牌垃圾桶，
依题意，得：100×0.9（50﹣m）+150×（1+20%）m≤6000，
解得：m≤．
因为m是正整数，所以m最大值是16．
答：该学校此次最多可购买16个B品牌垃圾桶．
21．（1）见解析；（2）四边形CFPE是菱形，理由见解析；（3）CFPE的面积=80
证明：（1）连接OE，
∵OE=OD，
∴∠OED=∠ADE，
∵AD是直径，
∴∠AED=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠EAD+∠OED=90°，
又∵∠DEB=∠EAD，
∴∠DEB+∠OED=90°，
∴∠BEO=90°，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
（2）连接FP，则四边形CFPE是菱形，理由如下：
∵∠BEO＝∠ACB＝90°，
∴AC∥OE，
∴∠CAE＝∠OEA，
∵OA＝OE，
∴∠EAO＝∠AEO，
∴∠CAE＝∠EAO，
又∵EP⊥AB，∠ACB＝90°，
∴CE＝EP；
∵∠CAE＝∠EAP，
∴∠AEC＝∠AFG＝∠CFE，
∴CF＝CE，
∴CF＝PE，
∵CG⊥AB，EP⊥AB，
∴CF∥EP，
∴四边形CFPE是平行四边形，
又∵CF＝PF，
∴四边形CFPE是菱形，
（3）∵sin∠ABC=sin∠ACG=，
∵AC=20，
∴AG=12，
∴CG=，
∵∠CAE＝∠EAP，CE⊥AC，EP⊥AB，
∴CE=PE,
在Rt△CAE和Rt△OAE中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△APE(HL)，
∴AP=AC=20，
∴PG=AP-AG=20-12=8，
∵FP2=FG2+PG2，
∴FP2=（16-FP）2+82，
解得：FP=10，
∴CF=FP=10，
∴四边形CFPE的面积=CF GP=10×8=80．