2.1 认识一元二次方程 课件 (共44张PPT)

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北师大版九年级上册
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第二章 一元二次方程
2.1 认识一元二次方程
精品教学课件
学习目标
1、掌握一元二次方程的相关概念，并会辨别一元二次方程；
2、掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a, b, c为常数,a≠0）
3、掌握一元二次方程的解，会计算简单的一元二次方程的解；
4、学会根据具体数量关系列出一元二次方程；
导入新课
温故知新
没有未知数
回顾：下列式子是方程吗？
(1) 3+6=9
(2) 5x+3
(3) 3x-5＜18
代数式
不等式
什么叫方程？
含有未知数的等式叫做方程.
(4) x+5 =3
方程
回顾：下列的式子是什么方程？
(1) 5x-6=12
(2) 2x+3y=9
一元一次方程
二元一次方程
分式方程
一元一次方程
二元一次方程
分式方程
学过的方程
整式方程
回顾:什么叫一元一次方程？
只含有一个未知数，而且方程中的代数式都是整式，未知数的指数都是1的方程叫做一元一次方程.
想一想：什么叫一元二次方程呢？
5x-6=12
根据下面的问题,设一个未知数,列出方程,不需解方程.
问题1：若一个正方形花坛的面积为64m2,则正方形的边长为多少m？
问题2：某小区计划在楼间空地建造一个面积为120m2的长方形绿地,且长比宽多10m,那么这个长方形绿地的宽为多少m？
64m2
120m2
解：设正方形的边长为 x m.
x2 = 64.
解：设长方形绿地的宽为 x m,则长为（x+10）m.
x（x+10） = 120.
讲授新课
知识点一 一元二次方程的概念
问题1：幼儿园活动教室矩形地面的长为8米，宽为5米，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出未铺地毯的条形区域的宽度？
5m
8m
解：设条形区域宽为x m，
中间的地毯可以表示为：
问题2：观察下面等式：102 + 112 + 122 = 132 + 142
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
x+1，
x+2，
x+3，
x+4
x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2
问题3：请通过类比一元一次方程一般形式（ax + b = 0）,对下面所得方程进行整理.
（1） x2 = 64 ; （2）x（x + 10） = 1200.
（1） x2 – 64 = 0 ;
（2） x2 + 10x – 1200 = 0.
问题2：上述两个方程有什么共同特点？
1.只含有一个未知数; 2.未知数的最高次数是2;
3.整式方程．
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0
(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式：
ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
ax2 称为二次项, a 称为二次项系数.
bx 称为一次项, b 称为一次项系数.
c 称为常数项.
①若a＜0,那么最好在方程的左右两边同乘以-1,使二次项系数变为正整数；②指出一元二次方程的各个系数时,一定要带上前面的符号.
注意
★注意：系数和项均包含前面的符号.
思考：一般式ax2+bx+c=0要求a≠0，b、c 可以为零吗？
当 a = 0 时
bx＋c = 0
当a ≠ 0，b = 0时 ，
ax2＋c = 0
当a ≠ 0，c = 0时 ，
ax2＋bx = 0
当a ≠ 0，b =c=0时
ax2 = 0
总结：一元二次方程要满足a ≠ 0 ，b，c 可为任意实数.
一元一次方程
一元二次方程
【例1】
典例精析
在下列方程中，一元二次方程是（ ）
x2-2xy+y2=0
x(x+3)=x2-1
x2-2x=3
x + =0
C
分析：A含有两个未知数，B去括号后不含有二次项，
D是分式方程，只有C选项是符合要求的.
练一练
1.关于x的方程(k - 3) x2 +2x - 1=0,当k 　　　时,是一元二次方程．
2.关于x的方程(k2 - 1) x2 +2 (k - 1) x + 2k + 2 = 0,当k 　 　　 时,是一元二次方程.当k 　　　时,是一元一次方程．
ax2+bx+c=0 (a，b，c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式；当a=0,b≠0时称为一元一次方程的一般形式．
归纳
≠3
≠±1
=-1
知识点二 一元二次方程的解
一元二次方程的根：
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（根）.
想想：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解
-3 , -2 ，-1 ，0 ，1，2，3
解：当x=3时， x2 – x – 6 =9-3-6= 0
当x=-2时， x2 – x – 6 =4+2-6= 0
∴ x=3或x=-2都是x2 – x – 6 = 0的解
注意,一元二次方程可能不止一个根.
幼儿园活动教室矩形地面的长为8米，宽为5米，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同 ，你能求出这个宽度吗？
一元二次方程解的估算
四周未铺地毯部分的宽度x满足方程：
(8－2x)(5－2x)=18
化简 ，得 2x2-13x+11=0
你能确定x的大致范围吗？
方程(8－2x)(5－2x)=18
(1)x可能小于0吗
x可能大于4吗
可能大于2.5吗
(2)你能确定x的大致范围吗？
宽度x不可能小于0, 没有意义
一元二次方程解的估算
不可能，(8－2x)>0
不可能, (5－2x)>0
0 < x <2.5
8－2x
5-2x
一元二次方程解的估算
方程(8－2x)(5－2x)=18
(3)填写下表：
x
0.5
1
1.5
2
(8－2x)(5－2x)
28
18
15
4
当x=1时，(8－2x)(5－2x)=18，∴方程的解为x=1
方程的解为x=1
步骤：
①在未知数x的取值范围内确定范围；
②根据题意的具体情况再次确定大致范围；
③列出未知数的取值和方程的值的表格进行再次确定；
④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据。
一元二次方程解的估算(一)
解：设梯子底端滑动x m .
根据题意，可得方程：
例2：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？
72 + (x + 6)2 = 102.
即 x2 +12 x - 15 = 0.
10m
8m
1m
xm
你能猜出滑动距离x的大致范围吗？
典例精析
下面是小亮的求解过程：
x 0 0.5 1 1.5 2 …
x2+12x - 15 -15 - 8.75 - 2 5.25 13 …
可知x取值的大致范围是:1进一步计算：
所以1.1＜x＜1.2,由此他猜测x整数部分是1 ,十分位部分是1．
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2 + 12x - 15 - 0.59 0.84 2.29 3.76
用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤：
①在未知数x的取值范围内排除一部分取值;
②根据题意所列的具体情况再次进行排除;
③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选;
④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.
规律方法 上述求解是利用了“两边夹”的思想
(1)化为一般形式
(2)根据实际情况确定x大体的取值范围。
(3)在x范围内取整数值,能够使方程左边等于0,则这个数就是方程的一个解.
(4)若在x的范围内取值，没有一个数能够使方程的左边等于0, 则找出值最接近于0且小于0的数，这个数就是方程的近似取值。
一元二次方程解的估算(二)
练一练
1．若关于x的一元二次方程x2－x－m＝0的一个根是x＝1，则m的值是(　　)
A．1　 B. 0
C．－1　 D. 2
B
提示：将x=1代入方程即可求出m的值.
2．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的一个解是x＝1，则2022－a－b的值是 .
2027
解：将x=1代入方程得：a+b+5=0
∴2022-a-b=2022-（a+b）=2027
练一练
1.将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
解： 3x(x-1)=5(x+2)化简为3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.
2.根据题意,列方程，并化成一元二次方程的一般形式.
一个直角三角形的三条边长是三个相连的整数，求斜边的长.
解：直角边最短边长为x，则另一条直角边长为x+1，故斜边长为x+2. 由勾股定理可得
x2+(x+1)2=(x+2)2.
整理得x2-2x-3=0.
3.一个长方形的周长为30厘米，面积为54厘米，则长方形的宽为多少厘米？
解：设长方形的宽为x厘米,则长为(15-x)厘米.得：
x(15 -x)=54
x表示长方形的实际宽,不可能小于0，因为长与宽的和是15, x不可能大于15.
x
15-x
x 1 2 3 4 5 6 7
x2 -15x+54
40
28
18
10
4
0
-2
当x=6时， x2 -15x+54=0
15-x
x
估算长方形的宽的大小
化简x2 -15x+54=0
根据题意x的范围是 0答:长方形的宽为6厘米
列表
当堂练习
课堂小结
一元二次方程
只含有一个未知数x的整式方程，并且
都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a,b,c为常数,
a≠0)的形式.
概念
一般式：ax2+bx+c=0(a , b , c为常数, a≠0)
ax2 称为二次项,a 称为二次项系数.
bx 称为一次项,b 称为一次项系数.
c 称为常数项.
建立一元二次方程模型
估算一元二次方程
ax２＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠０）
近似解的方法；
(1)先确定大致范围;
(2)再取值计算,逐步逼近.
想一想,有没有便捷的方法去求方程中的未知数呢
谢谢
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