2.2 用配方法求解一元二次方程 课件(共44张PPT)

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北师大版九年级上册
北师大版九年级上册数学教学课件
第二章 一元二次方程
2.2 用配方法求解一元二次方程
精品教学课件
学习目标
1、掌握用直接开平方法解形如(x+a)2＝b (b>0)的方程；
2、掌握一元二次方程用配方法计算的过程，熟练掌握各种类型的一元二次方程的配方法；
3、会用配方法求解一元二次方程，并会用配方法求代数式的的最值；
导入新课
温故知新
(1)定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根.
若x2 = a (a≥0),则 x =
(3)回答：
①若 x2 = 9，则 x = .
②若 x2 = 7，则 x = .
(2)性质：非负数才有平方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是它本身。
±3
±
1.平方根
2.完全平方公式
a2±2ab+b2 = (a±b)2
x+6
x-3
因式分解:
讲授新课
知识点一 用直接开方法解一元二次方程
你会解下列方程吗？
依据：平方根的意义
把(x+2)看成一个整体
用直接开平方法解一元二次方程
对于形如x2 = a (a≥0)的方程,根据平方根的定义,可解得 ，这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
方程的特点
左边是完全平方式
右边是非负数
方程的形式： x2 = a (a≥0)
或 (mx+n) 2 = a (a≥0)
思考： a 可以是负数吗？
【例1】用直接开平方法解下面一元二次方程.
（1）x2 = 5; （2）2x2 + 3 = 5 .
典例精析
解：（1） x1 = , x2= .
（2）2x2 + 3 = 5 ,
2x2 = 2 ,
x2 = 1 .
x1 = 1 , x2= -1 .
练一练
1、用直接开平方法解下面一元二次方程.
(1) 2x2 + 3 = 5 ; (2) 2(x - 3) 2 = 8 .
解： (2) 2(x - 3) 2 = 8
(x - 3) 2 = 4
x - 3 =±2
∴ x - 3 = 2或 x - 3 =-2
∴ x1=5， x2= 1
解： (1) 2x2 + 3 = 9
2x2 = 9 -3
2x2 = 6
x2 = 3
∴x=±
∴ x1= ，x2=
先把方程化成x2 = a (a≥0)或 (mx+n) 2 = a (a≥0)形式，再利用直接开平方法。
解：(1)两边开方得x=±9.即x1=9，x2=-9.
（2）移项，得16x2=25.
两边同除以16,得x2= .
两边开方，得x=± .
即x1= , x2=- .
2.解下列方程:
(1)x2=81； (2)16x2-25=0.
知识点二 配方法的基本思路
填上适当的数，使下列等式成立：
62
22
2
42
4
思考：等式的左边，常数项与一次项的系数有什么关系？
x2 + ax + ( )2 = ( x + )2
知识归纳
发现：常数项=一次项的系数一半的平方
将方程化为(x+m)2=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边开平方即可求出它的解，这种方法叫配方法．
典例精析
例2：解方程 x2 + 4x - 32= 0
解：可以把常数项移到方程的右边,得
x2 + 4x = 32 ,
两边都加22（一次项系数8的一半的平方）,得
x2 + 4x + 22 = 32 + 22 ,
即 （x+2）2 = 36 .
两边开平方,得
x + 2 = ± 6 ,
即 x + 2 =6 或 x + 2 = -6.
所以 x1 = 4 , x2= -8.
用配方法解形如 x2 + px + q = 0
①将常数项移到方程的右边.
x2 + px = -q
②两边都加上一次项系数一半的平方.
x2 + px + （ ）2 = （ ）2 - q
③直接用开平方法求出它的解.
（x + ）2 = （ ）2 - q
总结归纳
练一练
1、用配方法解方程：
(1) x2 + 2x -5= 0 (2) x2 + 3x =1
解： (1)移项，得 x2 + 2x =5 ,
配方，得 x2 + 2x + 1 = 5 + 1,
即 （x + 1）2 = 6.
开平方, 得 x + 1 = .
解得 x1 = , x2= .
解： (2)移项，得 x2 + 3x =1 ,
配方，得 x2 + 3x +( ) 2 = ( ) 2 + 1,
即 （x + ）2 =
开平方, 得 x + = .
解得 x1 = , x2=
利用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）移项:把常数项移到方程的右边;
（2）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
（3）变形:方程左边写成完全平方式,右边合并同类项;
（4）开方：根据平方根的概念，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；
（5）求解：解一元一次方程；
（6）定解：写出原方程的解．
知识点三 用配方法解一元二次方程系数为1的方程
例3：用配方法解 x2 + 2x -1 = 0.
解：移项，得 x2 + 2x =1 ,
配方，得 x2 + 2x + 1 = 1 + 1,
即 （x + 1）2 = 2.
开平方, 得 x + 1 = .
解得 x1 = , x2= .
典例精析
练一练
1：用配方法解 x2 - 4x = 1.
解：配方，得 x2 - 4x + （-2）2 = 1 + （-2）2 ,
即 （x - 2）2 = 5.
开平方, 得 x - 2 = .
解得 x1 = , x2= .
2. 解方程： (x + 1 )(x - 1) + 2(x + 3) = 8
解：方程化简，得 x2 + 2x + 5 = 8.
移项，得 x2 + 2x = 3,
配方，得 x2 + 2x + 1 = 3 + 1 ,
即 （x + 1）2 = 4.
开平方, 得 x + 1 = ±2.
解得 x1 = 1 , x2= -3.
知识点四 用配方法解一元二次方程系数不为1的方程
观察下面两个是一元二次方程的联系和区别：
① x2 + 6x + 8 = 0 ;
② 3x2 +18x +24 = 0.
想一想怎么来解3x2 +18x +24 = 0.
典例精析
例4：用配方法解方程： 3x2 +18x +24 = 0.
解：方程两边同时除以3,得 x2 + 6x + 8 = 0 .
移项，得 x2 + 6x = -8 ,
配方，得 x2 + 6x +32= 32 -8
变形, 得 （x + 3）2 = 1.
开平方, 得 x + 3 = ±1.
解得 x1 = -2 , x2= -4 .
在使用配方法过程中若二次项的系数不为1时，需要将二次项系数化为1后，再根据配方法步骤进行求解.
(1)如果方程二次项系数不是1，化为系数是1；
(1)2x2+8x+6=0
(2)3x2+5x-9=0
(4)-5x2+20x+25=0
x2+4x+3=0
x2-4x-5=0
用配方法解下面的方程
(3)-x2+3x-5=0
x2-3x+5=0
(2)再用配方法计算.
练一练
解：两边都除以3，得：
移项，得：
配方，得：
即：
所以
1：解方程： 3x2 + 8x -3 = 0.
2：用配方法证明：
无论x为何实数，代数式2x2-4x+5的值恒大于零．
证明：2x2-4x+5
=2(x2-2x)+5
=2(x2－2x＋1)+5＋2
=2(x－1)2+7，
∵(x－1)2≥0，∴2(x－1)2 ≥ 0，∴2(x－1)2+7 ≥ 0.
∴无论x为何实数，代数式－2x2＋4x－5的值恒大于零
3：应用配方法求最值.
(1) 2x2 - 4x+5的最小值；
(2) -3x2 + 5x +1的最大值.
解:(1)2x2 - 4x +5 = 2(x - 1)2 +3
当x =1时有最小值3
(2)-3x2 + 12x - 16 = -3(x - 2)2 - 4
当x =2时有最大值-4
求最值或证明代数式的值为恒正（或负）
关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋n的形式后(x+m)2≥0，n为常数，
当a＞0时，可知其最小值；
当a＜0时，可知其最大值.
练一练
1.用配方法解方程： (x + 1 )(x - 1) + 2(x + 3) = 8
解：方程化简，得 x2 + 2x + 5 = 8.
移项，得 x2 + 2x = 3,
配方，得 x2 + 2x + 1 = 3 + 1 ,
即 （x + 1）2 = 4.
开平方, 得 x + 1 = ±2.
解得 x1 = 1 , x2= -3.
2.已知a，b是等腰三角形ABC的边且满足a2+b2-8a-4b+20=0，求等腰三角形ABC的周长．
解：a2+b2-8a-4b+20
=a2-8a+16+b2-4b+4
=(a-4)2+(b-2)2
=0，
∴a-4=0，b-2=0，即a=4，b=2.
则等腰三角形的三边长为4，4，2，
即周长为4+4+2=10.
3.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零.
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1
=（k－2）2＋1
因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.
所以k2－4k＋5的值必定大于零.
当堂练习
课堂小结
用配方法解
一元二次方程
直接开平方法：
基本思路：
解二次项系数为1的一元二次方程步骤
形如（x + m）2 = n (n≥0)
将方程转化为（x + m）2 = n
(n≥0)的形式，在用直接开平方法，
直接求根.
1.移项
3.直接开平方求解
2.配方
用配方法解系数不为1的一元二次方程的步骤：
①将二次项系数化为1.
②将常数项移到方程的右边，左边只有二次项和一次项.
③两边都加上一次项系数一半的平方.
④直接用开平方法求出它的解.
谢谢
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