2.3 用公式法求解一元二次方程 课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
北师大版九年级上册数学教学课件
第二章 一元二次方程
2.3 用公式法求解一元二次方程
精品教学课件
学习目标
1、学会一元二次方程的推导过程，熟练掌握一元二次方程的公式法；
2、会用公式法解一元二次方程，注意使用公式法的技巧；
3、会用根的判别式△=b2- 4ac判断一元二次方程根的情况及相关应用；
导入新课
温故知新
用配方法解方程： 2x2 -7x +6 = 0.
解：方程两边同时除以2,得 x2 - x + 3 = 0 .
移项，得 x2 + x = -3 ,
配方，得 x2 + x +( )2= ( )2 -3
变形, 得 （x + ）2 =
开平方, 得 x + = ± .
解得 x1 = - , x2= -2 .
讲授新课
知识点一 一元二次方程求根公式的推导过程
用配方法解一元二次方程 ：ax2+bx+c=0 (a≠0)
解:把方程两边都除以a，得
移项，得
配方，得
满足什么条件方程才有解？
∵4a2＞0
∴当b2-4ac≥0时,
即
解得
用配方法解一元二次方程 ：ax2+bx+c=0 (a≠0)
这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) , 当 b2- 4ac ≥ 0时，
这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解.
归纳
典例精析
解： ∵ a=1, b= -7, c= -18.
∴ b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0
例：用公式法解方程: (1)x2 -7x -18 = 0.
即 x1=9, x2= -2.
例：用公式法解方程: (2) 4x2+1=4x.
解：将原方程化为一般形式，得 4x2-4x+1=0.
a=4， b= -4， c= 1.
∵b2 - 4ac=(-4)2 - 4×4×1=0,
即 x1= x2= .
例：用公式法解方程: (3) x2-2x+3=0.
解： ∵ a=1， b= -2， c= 3.
∴ b2 - 4ac=(-2)2 - 4×1×3=-8<0
∴方程无实数根
对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），
当 _________时，方程有两个不相等的实数根；
当 _________时，方程有两个相等的实数根；
当_________时，方程没有实数根；
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式是__________，通常用希腊字母____表示。
b2-4ac＞0
b2-4ac=0
b2-4ac＜0
b2-4ac
△
总结归纳
知识点二 用根的判别式判断一元二次方程的根
问题：对于一元二次方程ax2 + bx +c = 0(a≠0),如何来判断根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0)
b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0时,方程无实数根.
我们把 b2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0), 的根的判别式，用符号“Δ”来表示.
典例精析
例2：不解方程判别下列方程的根的情况.
(1)x2 - 6x + 1 = 0; (2)2x2 – x + 2 = 0;
(3)9x2 + 12x + 4 = 0.
解：(1) Δ = (-6 )2 – 4×1×1= 32 > 0 ,
∴有两个不相等的实数根.
(2) Δ = (-1 )2 – 4×2×2= -15 < 0 ,
∴无的实数根.
(3) Δ = ( 12 )2 – 4×9×4= = 0,
∴有两个相等的实数根.
练一练
1、不解方程判别下列方程的根的情况
1、x2-6x+1=0
2、2x2-x+2=0
3、9x2+12x+4=0
有两个不相等的实数根
没有实数根
有两个相等的实数根
知识点三 利用一元二次方程解决面积问题
问题：在一块长16 m,宽12 m的矩形荒地上,要建造一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半.
16m
12m
想一想，你会怎么设计这片荒地？
解：设小路的宽为 x m, 得
即 x2 - 14x + 24 = 0.
解得 x1 = 2 , x2 = 12.
x =12 不符合题意舍去.
答：小路的宽为2 m.
小明设计方案：如图，其中花园四周小路的宽都相等.通过解方程,得到小路的宽为2 m或12 m.
16m
12m
问题：你觉得他的结果对吗？
x
x
解：设扇形半径为 x m，得
即 πx2 = 96.
解得 x1 = , x2 = (舍去),
答：扇形半径约为5.5 m.
小亮设计方案：如图，其中花园每个角上的扇形都相同.
问题：你能帮小亮计算一下这扇形的半径吗？
16m
12m
小颖设计方案：如图所示，其中花园是两条互相垂直的小路,且它的宽都相等.
问题：你能帮小颖计算一下图中x吗？
16m
12m
xm
xm
解：设小路的宽为 x m. 根据题意，得
即 x2 - 28x + 96 = 0.
解得 x1 = 4 , x2 = 24,
x =24 不符合题意，舍去.
答：小路的宽为4 m.
16m
12m
16m
12m
16m
12m
16m
12m
其他方案
几何图形的面积问题
这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程；
图形经过移动，它的面积大小不会改变
典例精析
例3：如图所示,某幼儿园有一道长为16m的墙,计划用32m长的围栏靠墙围成一个面积为120m2的矩形草坪ABCD,求该矩形草坪BC边的长.
草 坪
A
B
C
D
16m
分析：若设AB宽为xm，则长BC可表示为(32-2x)m，由矩形的面积公式“面积=长×宽”可列方程求解.
解：设AB宽为xm,则长BC可表示为(32-2x)m，根据题意得：
x (32 - 2x) = 120.
即 x2 - 16x - 60 = 0. 解方程得 x1 = 6 x2 = 10,
当x = 6时, BC=20m > 16m(舍去) . 答：矩形草坪BC边长12m .
练一练
1.在一幅长90cm,宽40cm的风景画四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂图.如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%.那么金边的宽应是多少？
解：设金边的宽为 x cm, 根据题意得:
(90 + 2x)(40 + 2x)×72% = 90×40.
即 x2 + 65x - 350 = 0.
解方程,得
x1= 5 , x2 = -70 (舍去).
答:金边的宽应是5cm.
当堂练习
课堂小结
用公式法解
一元二次方程
求根公式：
(a ≠ 0 , b2 - 4ac ≥ 0)
步骤：
一元二次方程的判别式Δ= b2 - 4ac.
1.化为一般形式；
2.确定 a, b, c 的值；
3.求出 b2 - 4ac ；
4.利用求根公式求解.
利用一元二次方程解决面积问题
几何图形
常见几何图形面积是等量关系
类 型
花坛面积问题
相框宽度问题
常采用图形平移能聚零为整方便列方程