2.5 一元二次方程的根与系数的关系 课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
北师大版九年级上册数学教学课件
第二章 一元二次方程
2.5 一元二次方程的根与系数的关系
精品教学课件
学习目标
1、学会推导一元二次方程根与系数的关系，并灵活运用；
2、学会利用一元二次方程根与系数的关系，解决相关的实际问题；
导入新课
提问1：一元二次方程的求根公式是如何推导而来的？
配方法
提问2：一元二次方程的求根公式是什么？
一元二次方程的求根公式
提问3：如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
思考：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0)
b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.
讲授新课
知识点一 探索一元二次方程根与系数的关系
1.解下列方程：
(1) x2-2x+1=0;
(3) 2x2 - 3x + 1 = 0
因式分解
配方法
公式法
方程 x1 x2 x1 + x2 x1 · x2
x2 - 2x + 1 = 0
2x2 - 3x + 1 = 0
1
1
2
-1
-1
1
思考：如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？
思考：对于任何一个一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)都成立吗？
猜一猜
若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？
重要发现
如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p , x1 ·x2=q.
(x-x1)(x-x2)=0.
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，
x2+px+q=0，
x1+x2= -p , x1 ·x2=q.
证明：已知一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，则
证明一元二次方程根与系数的关系
证明：已知一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，则
一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理）
如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么
注意
满足上述关系的前提条件
b2-4ac≥0.
归纳总结
典例精析
方 程 x1+x2 x1·x2
x2-3x+1=0
2x2-9x+5=0
【例1】.不解方程，写出下列方程两个根的和与两个根的积：
3
1
练一练
1.判断方程的根是否正确
(1) x2-5x+4=0； 解得x1=1，x2 =4
(2) 2x2-3x-1=0； 解得x1= 3 ，x2 =
X
解:(1) x1+x2 =-5, x1 ● x2=4
(2) x1+x2 = , x1 ● x2=
X
2、利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2 + 7x + 6 = 0;
解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6.
Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
（2）2x2 -3x -2 = 0.
解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0,
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = , x1 x2 = -1 .
知识点二 一元二次方程根与系数的关系常见的求值
(2) (x1-x2)2
(3) (x1+1) (x2+1)
=x1x2+(x1+x2 )+1
= (x1+x2 )2-4x1x2
(1) x12 + x22
= (x1+x2 )2-2x1x2
求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
典例精析
解:根据根与系数的关系得：
（1）(x1 + 2)(x2 + 2) = x1 x2 + 2 (x1 + x2) + 4 =
（2）
例2：设x1,x2是方程2x2 + 3x – 1 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.
(1) (x1 + 2)(x2 + 2); (2)
练一练
1、已知x1，x2是方程x2-4x+1=0的两根，
(1)求x12+x22的值
(2)求(x1-x2)2的值
解： 由题意，得
x1 + x2= 4 ，x1·x2=1
∴ x12+x22 = (x1+x2 )2- 2 x1x2 = 16 - 2×1 =14
∴ (x1-x2)2 = (x1+x2 )2-4x1x2 = 16 - 4×1 =12
2：设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =4，求k的值.
解：由方程有两个实数根，得
Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0 即 -8k + 4 ≥ 0.∴k≤
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2.
∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4.
由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4,
解得 k1= 0 , k2 = 4 .
经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.
3.设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.
(1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2)
解:根据根与系数的关系得：
（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1=
（2）
4、 关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x21+x22=8，求m的值.
解:(1)∵方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=22-4×1×2m=4-8m＞0，解得m＜ .
∴m的取值范围为m＜ .
(2)∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，
∴x1+x2= -2，x1·x2=2m.
∴x21+x22=（x1+x2)2-2x1·x2=4-4m=8，解得m=-1.
当m=-1时，Δ=4-8m=12＞0.
∴m的值为-1.
当堂练习
课堂小结
一元二次方程的
根与系数的关系
如果方程ax2 + bx + c = 0（a≠0）
有两个实数根x1，x2，那么x1 + x2
= ，x1 x2 =
关系
应用
1.应用利用根与系数的关系求代数式的值.
2.已知方程一根，利用根与系数的关系求方
程的另一根或字母系数的值.
3.判别式及根与系数的关系的综合应用.