2.6 应用一元二次方程 课件(共43张PPT)

(共43张PPT)
北师大版九年级上册数学教学课件
第二章 一元二次方程
2.6 应用一元二次方程
精品教学课件
学习目标
1、掌握一元二次方程的应用问题，可以用一元二次方程解决几何问题、数字问题、营销问题和行程动点问题；
2、理解将实际问题抽象为方程模型的过程,并能运用所学的知识解决问题．
导入新课
温故知新
列方程解应用题的一般步骤是:
1.审:审清题意，找等量关系
2.设:设未知数,语句要完整,有单位的要注明单位;
3.列:列代数式,列方程;
4.解:解所列的方程;
5.验:是否是所列方程的解;是否符合题意;
6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位.
列方程解应用题的关键是: 找出相等关系
问题：如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为 885m2 的 6 个矩形小块,水渠应挖多宽？
分析：设水渠宽为xm，将所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，长为 (92 – 2x )m, 宽(60 - x)m.
解：设水渠的宽应挖 x m .
( 92 - 2x)（60 - x ）= 6×885.
讲授新课
知识点一 用一元二次方程解决几何问题
例题探究：如图,某海军基地位于点A处,在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC的中点.一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.
A
B
D
C
E
F
北
东
已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里 (结果精确到0.1海里）
(一)审清题意，找等量关系
分析:由题意得 ，AB=BC=200 海里，∠ABC=90°
D是AC的中点,F是BC的中点，连接DF,
则DF是△ABC的中位线，DF=100海里，BF=100海里
V军舰= 2V补给船
军舰与补给船相遇于E处
∴ S军舰=AB+BE,S补给船=DE
∴ AB+BE = DE
EF2+DF2=DE2
北
东
A
B
C
D
E
F
100
200
200
(二) 设未知数
解：设相遇时补给船所走路程DE为x 海里，
则军舰所走路程AB+BE的长为2x 海里,
AB+BF=300 海里,所以EF表示为(300-2x)海里
(三)列方程
在Rt△DFE中，由勾股定理，得
即 (300-2x)2+1002=x2 ,
北
东
A
B
C
D
E
F
100
200
200
若设相遇时补给船的行程DE为x海里
连接DF.
∵AD=CD,BF=CF
∴DF是 ABC的中位线
∴DF∥AB,且DF= AB
∵AB⊥BC,AB=BC=200海里
∵DF⊥BC,DF=100海里，BF=100海里
∴EF=AB+BF-(AB+BE)=(300- 2x)海里 。
在Rt DEF中，根据勾股定理可得方程：
整理,得：
(舍去)
所以，相遇是补给船大约航行了118.4海里
解法一：
那么 DE= 海里,AB+BE= 海里
x
2x
北
东
A
B
C
D
E
F
北
东
解：连接DF.
∵AD=CD，BF=CF，
∴DF是△ABC的中位线.
∴DF∥AB，且DF= AB.
∵AB⊥BC，AB=BC=200 海里，
∴DF⊥BC，DF=100 海里， BF=100 海里.
设相遇时补给船航行了x 海里，那么
DE=x 海里， AB+BE=2x 海里，
EF=AB+BF－(AB+BE)=(300－2x) 海里.
解法二：
北
东
在Rt△DEF中，
根据勾股定理可得方程
整理，得
解这个方程，得
所以，相遇时补给船大约航行了118.4 海里.
练一练
1、《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有二人同所立.甲行率七,乙行率三.乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙各行几何 ”
大意是说:已知甲,乙二人同时从同一地点出发,甲的速度是7,乙
的速度是3.乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向
走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲,乙各走了多远
解:设甲,乙相遇时所用时间为x,根据题意,得
(7x - 10)2 = (3x) 2 +10 2.
整理得 2x2 - 7x = 0.
解方程,得 x1=3.5, x2=0 (不合题意,舍去).
∴3x=3×3.5 =10.5 , 7x = 7×3.5 = 24.5.
答:甲走了24.5步,乙走了10.5步.
乙:3x
甲:
10
A
B
C
7x-10
2：一块长和宽分别为60cm和40cm的长方形铁皮,要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体,使它的底面积为800cm2.求截去正方形的边长.
800cm2
x
x
解:设截取正方形的边长为 x m,根据题意,得
(60 - 2x)(40 - 2x) = 800.
整理得 x2 - 50x + 400 = 0.
解方程,得
x1=10 , x2= 40 (不合题意,舍去).
答:截取正方形的边长为10cm.
(60 - 2x)
(40-2x)
知识点二 利用一元二次方程解决数字问题
例2：有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14,交换为之
后，得到新的两位数，比这两个数字的积还大38，求这个两位数.
解:设个位数字为x,则十位数字为14 - x ,两数字之积为x（14 -x） ,两个数字交换位置后的新两位数为 10x +（14 - x）.
根据题意，得 10x +（14 - x）- x（14 - x）= 38.
整理，得 x2 - 5x - 24 = 0,
解得 x1 = 8 , x2 = - 3.
因为个位数上的数字不可能是负数，所以x= - 3应舍去.
当x = 8 时，14 - x = 6.
所以这个两位数是68.
练一练
1：一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.
解：设这个数为x, 根据题意,得
2x2 = 7x.
整理，得： 2x2 -7x = 0,
x (2x -7) = 0.
∴ x = 0 或 2x – 7 = 0.
2、两个连续奇数的积是 323，求这两个数．
解：设较小奇数为 x，则另一个为 x + 2，
依题意，得 x (x + 2 ) = 323.
整理后，得 x2 + 2x - 323 = 0.
解得 x1 = 17，x2 = - 19.
由 x = 17，得 x + 2 = 19.
由 x = - 19，得 x + 2 = - 17.
答：这两个奇数是 17,19 或者- 19， - 17.
若是设两个奇数分别为
（x-1） ，(x + 1)，请帮忙写出解答过程
解：设较小奇数为 x-1，则另一个为 x +1，
依题意，得 (x - 1 ) (x + 1 ) = 323.
整理后，得 x2 =324.
解得 x1 = 18，x2 = - 18.
由 x = 18，得 x - 1 = 17，x + 1 = 19.
由 x = - 18，得 x - 1 = - 19， x + 1 = - 17.
答：这两个奇数是 17,19 或者- 19， - 17.
知识点三 利用一元二次方程解决营销问题
例3：新华商场销售某种冰箱,每台进价为2500元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元
设每台冰箱降价x元，则每台冰箱的定价为 元
本题的主要等量关系：
每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=5000元

每天的
销售量/台
每台的
销售利润/元
总销售
利润/元
降价前



降价后



8
2900-2500
(2900-2500) ×8
5000
（2900 - x）
解：设每台冰箱降价x元,根据题意,得
整理,得：x2 - 300x + 22500 = 0.
解方程,得：
x1 = x2 = 150.
∴ 2900 - x = 2900 - 150 = 2750.
答：每台冰箱的定价应为2750元.
设降价x元时方程该如何列出来呢？
设每台冰箱定价x元
本题的主要等量关系：
每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=5000元

每天的
销售量/台
每台的
销售利润/元
总销售
利润/元
降价前



降价后



8
2900
(2900-2500) ×8
5000
x-2500
解：设每台冰箱定价x元，根据题意，得
整理得：x2－5500x＋7562500=0
解这个方程，得x1=x2=2750
答：每台冰箱的定价应为2750元。
设定价x元时方程该如何列出来呢？
填一填：关于利润的基本知识
（1）某公司今年的销售收入是a万元,如果每年的增长率都是x ,那么一年后的销售收入将达到 万元（用代数式表示）.
（2）某公司今年的销售收入是a万元,如果每年的增长率都是x ,那么两年后的销售收入将达到 万元（用代数式表示）.
a(1 + x)
a(1 + x)2
商品利润=售价-进价, 利润率 =
利润
进价
基本关系：(1)利润＝售价－________=进价×利润率；
(3)总利润＝____________×销量
进价
单个利润
利润问题常见关系式
练一练
某超市将进价为30元的商品按40元出售，平均每月能卖600件。调查发现，售价在40-60元范围内，该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得10000元的利润，售价应为多少？这时应购进台灯多少个？

每天的
销售量/台
每台的
销售利润/元
总销售
利润/元
降价前



降价后



600
600－10x
10
10+x
6000
10000
解：设每个台灯涨价x元
解：设每个台灯涨价x元
根据题意，得（600－10x)(10+x)=10000
整理得：x2－50x＋400=0
解这个方程，得x1=10,x2=40(不合题意，舍去)
40+10=50，600 －10×10=500.
答：每个台灯的售价应为50元，需购进台灯500个。
本题的主要等量关系：
每个台灯的销售利润×平均每月销售台灯的数量=10000元
知识点四 用一元二次方程解决动态几何问题
例4、如图，A,B,C,D为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P,Q分别从点A,C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动.
(1)P,Q两点从出发开始到几秒？
四边形PBCQ的面积为33cm2；
(2)P,Q两点从出发开始到几秒时？
点P和点Q的距离是10cm.
解:(1)设P,Q两点运动x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，
则PB=(16-3x)cm，QC=2x cm.根据梯形的面积
公式得 (16-3x+2x)×6=33，解得x=5.
(2)设P，Q两点从出发经过t秒时，
点P，Q间的距离是10cm，
如图，作QE⊥AB，垂足为E，
则QE=AD=6，PQ=10.∵PA=3t，CQ=BE=2t，
∴PE=AB-AP-BE= |16-5t| .
由勾股定理，得(16-5t)2+62=102，
解得t1=4.8，t2=1.6.
答:(1)P,Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33 cm2；
(2)从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10 cm.
1)关键—— 动中取静
把动的点进行转换,变为线段的长度,
2)方法—— 时间变路程
求“动点的运动时间”可以转化为求“动点的运动路程”，也是求线段的长度;
由此,学会把动点的问题转化为静点的问题,
是解这类问题的关键.
3）常找的数量关系——
面积，勾股定理，相似三角形等；
归纳总结
练一练
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10 cm，AC=8 cm，点P，Q同时由A，C两点出发，分别沿AC，CB方向向点C，B移动，它们的速度都是2 cm/s，经过几秒，P，Q两点相距2 cm
解：设经过t s，P，Q两点相距2 cm.
∴CQ=AP=t，CP=8-2t
∵∠C=90°，∴CQ2＋PC2=PQ2.
∴(2t)2＋(8－2t)2=(2 )2.
∴4t2＋64－32t＋4t2=40.
化简，得t2－4t＋3=0.
解得t1=1，t2=3.经检验，t1，t2均符合题意．
答：经过1 s或3 s，P，Q两点相距2 cm
当堂练习
利用一元二次方程解决
几何问题及数字问题
列方程步骤：
应用类型
几何问题
数字问题
面积问题
动点问题
审
设
列
解
检
答
课堂小结
利用一元二次方程
解决营销问题
及平均变化率问题
营销问题
平均变化率问题
a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.
a(1-x)2=b,其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换.