2022年九年级上数学限时训练1
限训内容：菱形的性质 使用时间：8月22日 出卷人：
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每题4分）
1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知，，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．96 B．48 C．36 D．38
2．如图，等边的边长与菱形的边长相等，点、分别在边、上，则∠的度数是（ ）
A．60° B．70° C．75° D．80°
3．如图，在菱形中，E、F分别是、的中点，若，则菱形的周长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．20
4．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．矩形的对角线相等
C．内错角相等的两直线平行 D．菱形的四条边都相等
5．已知菱形的边长为5cm，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长是（ ）
A． B． C． D．
6．菱形的周长为，两个相邻的内角度数之比为，则较短的对角线长度是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分）
7．已知菱形两条对角线的长分别是8和6，则它的周长是______．
8．已知菱形有一个内角为60°，较短的一条对角线长为8，那么菱形的边长为_____．
9．如图，若菱形的顶点、的坐标分别为（3，0）、（－2，0），点在y轴正半轴上，则点的坐标是___________．
10．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC.若AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2.则OC的长为___________cm.
三、解答题（每题20分）
11．如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作对角线的垂线交的延长线于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求菱形的面积．
12．如图，在Rt△ABC中，CA⊥AB，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AFBC交ED的延长线于点F，连接AE，CF．
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若CF＝2，∠FAC＝30°，求AB的长．
13．如图，在四边形ABCD中，ADBC，AB=BC，对角线AC，BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
参考答案：
1．B
【分析】根据菱形的面积公式，菱形 的面积 ，即可得到答案．
【详解】解：菱形 中，，，
，
菱形 的面积 ．
故选：B ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，熟记菱形面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
2．D
【分析】根据等边的边长与菱形的边长相等，可以得到AB=AE，AD=AF，则∠BAE=180°-2∠B，∠DAF=180°-2∠D，再根据菱形的性质得，∠B=∠D，根据平行线的性质得：∠BAD+∠B =180°，即：∠BAE+∠EAF+∠DAF+∠B =180°，代入即可求解．
【详解】解：∵等边的边长与菱形ABCD的边长相等，
∴AB=AE，AD=AF，
∴∠BAE=180°-2∠B，∠DAF=180°-2∠D，
∵在菱形ABCD中，∠B=∠D，AD∥BC，
∴∠BAD+∠B =180°，又∵∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠EAF+∠DAF+∠B =180°，
∴180°-2∠B+60°+180°-2∠D+∠B=180°，
整理得，3∠B=240°，
解得∠B=80°．
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，根据菱形的邻角互补列出方程是解题的关键．
3．B
【分析】由三角形中位线定理可求BC＝2，由菱形的性质可求周长．
【详解】解：∵E，F分别是AB，AC的中点，EF＝1，
∴BC＝2EF＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形ABCD的周长＝4×2＝8，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，掌握菱形的性质是本题的关键．
4．B
【分析】交换命题的题设与结论得到四个命题的逆命题，然后根据平行四边形的性质、矩形的判定方法、平行线的性质和菱形的判定方法对四个逆命题的真假进行判断．
【详解】解：A、有两组对边分别平行的四边形是平行四边形的逆命题为平行四边形的两组对边分别平行，此逆命题为真命题，所以A选项不符合题意；
B、矩形的对角线相等的逆命题为对角线相等的四边形为矩形，此逆命题为假命题，所以B选项符合题意；
C、内错角相等，两直线平行的逆命题为两直线平行，内错角相等，此逆命题为真命题，所以C选项不符合题意；
D、菱形的四条边相等的逆命题为四条边相等的四边形为菱形，此逆命题为真命题，所以D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题看了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．也考查了逆命题．
5．B
【分析】根据菱形的性质和等边三角形的性质与判定定理，即可得出结果．
【详解】解：如图，
∵四边形是菱形，为菱形最短的对角线，
∴cm，，
∴是等边三角形，
∴cm．
故选：B
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质与判定，解本题的关键在熟练掌握相关性质与判定定理．
6．A
【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分各角，可设较小角为x，因为邻角之和为180°，所以x+2x=180°，所以x=60°，画出其图形，根据含30度角的直角三角形的性质，可以得到其中较短的对角线的长．
【详解】解：如图所示：
∵菱形的周长为24cm，
∴菱形的边长为6cm，AC⊥BD，∠ABC+∠BCD=180°，
∵两邻角之比为1：2，
∴较小角60°，
∴∠ABO=30°，AB=6cm，
∴最短边为AC，AO=AB=3cm，
∴AC=2AO=6cm．
故选：A．
【点睛】此题主要考查菱形的性质及含30度角的直角三角形的性质，理解菱形的性质是解题的关键．
7．20
【分析】根据菱形对角线平分且垂直的性质及勾股定理求得其边长，则可求其周长．
【详解】解：如图，菱形ABCD对角线AC，BD交于点O，且BD=8，AC=6，
∴AC⊥BD，BO=DO=4，AO=CO=3，
由勾股定理得，AB==5，
∴菱形的周长=5×4=20．
故答案为：20．
【点睛】此题主要考查对菱形的性质及勾股定理的理解及运用，熟练掌握菱形的性质及勾股定理解三角形是解题关键．
8．8
【分析】先画出图形，根据菱形的性质，可证得△ABC为等边三角形，据此即可解答．
【详解】解：由题意得，∠ABC＝60°，AC＝8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BA＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质．
9．（﹣5，4）
【分析】根据点A和点B的坐标可知AB和AO的长度，根据菱形的性质AB=AD=CD，再根据勾股定理即可求出OD的长度，最后写出点C的坐标即可．
【详解】∵、的坐标分别为（3，0）、（－2，0），
∴OA=3，AB=5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD=AB=5，
在Rt△AOD中，由勾股定理可得： ，
∴D(0，4)，
∴C(-5，4)，
故答案为：（﹣5，4）.
【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理、坐标与图形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
10．4
【分析】先根据菱形的判定可得四边形是菱形，再利用菱形的面积公式即可得．
【详解】解：由题意可知，，
四边形是菱形，
菱形的面积为，且，
，
解得，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．
11．(1)见解析
(2)24
【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可；
（2）利用菱形的性质得出DO=3，AC⊥BD，即可求平行四边形ABCD的面积．
（1）
证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）
∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∵在菱形中，对角线、相交于点，
∴，，
在中，
∴，
∴菱形面积为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质和判定问题，关键是根据平行四边形的判定解答即可．
12．(1)见解析
(2)2
【分析】（1）证明△AFD△CED，得AF＝CE，则四边形AECF是平行四边形，再由EF⊥AC，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得到AE＝CF＝2，AECF，∠ECF＝∠FAE＝2∠FAC＝60°，再证明△ABE是等边三角形，即可得出结论．
（1）
证明：∵点D是AC的中点，
∴AD＝DC．
∵AFBC，
∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，
∴△AFD△CED，
∴AF＝CE．
又∵AFCE，
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
（2）
由（1）得：四边形AECF是菱形，
∴AE＝CF＝2，AECF，∠ECF＝∠FAE＝2∠FAC＝60°，
∴∠AEB＝∠ECF＝60°，
∵AFBC，
∴∠ACB＝∠FAC＝30°，
∵CA⊥AB．
∴∠BAC＝90°，
∴∠B＝90°－∠ACB＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝2．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握判定与性质是本题的关键．
13．(1)见解析
(2)15
【分析】（1）由平行线的性质和角平分线得出∠ADB=∠ABD，证出AD=AB，由AB=BC得出AD=BC，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得出AC⊥BD，OB=OD，OA=OC=AC=8，在Rt△OCD中，由勾股定理得OD=15，得出BD=2OD=30，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
（1）
证明：∵ADBC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AD=AB，
∵AB=BC，
∴AD=BC，
∵ADBC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD，OA=OC=AC=8，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD==15，
∴BD=2OD=30，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°，
∵OB=OD，
∴OE=BD=15．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、平行线的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．2022年九年级上数学限时训练1试卷答题卡
姓名：___________班级：___________考号：___________
选择题（每题4分）
1 2 3 4 5 6
非选择题（每题4分）
7. 8. 9. 10.
11题、（每题20分）
12题、（每题20分）
13题、（每题20分）
D
C
0
E
A
B
F
A
D
C
E
B
A
D
B
E
C
