22.2 二次函数与一元二次方程
选择题
1．抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点个数是 ( B )
A．3 B．2 C．1 D．0
2．抛物线在轴上截得的线段长度是（ A ）
A． B．2 C． D．
3．关于二次函数y＝2x2＋4x﹣1，下列说法正确的是（ C ）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，1） B．当x＜1时，y的值随x值的增大而减小
C．图象的顶点坐标为（﹣1，﹣3） D．图象的对称轴在y轴的右侧
4．若方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两个根是﹣3和1，则对于二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，x的取值范围是（ B ）
A．﹣3＜x＜1 B．x＜﹣3或x＞1 C．x＞﹣3 D．x＜1
5．二次函数的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的最大值为（ B ）
A．-7 B．7 C．-10 D．10
第5题 第6题 第7题 第9题
6.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论错误的是 ( B )
A．ab<0 B．ac<0
C．当x<2时，函数值随x的增大而增大；当x>2时，函数值随x的增大而减小
D．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根
7.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于(﹣2，0)和(4，0)两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是( B )
A.x＜﹣2 B.﹣2＜x＜4 C.x＞0 D.x＞4
8.若二次函数y=ax2+1图象经过点(-2，0)，则关于x的方程a(x-2)2+1=0实数根为( A ).
A.x1=0，x2=4 B.x1=-2，x2=6 C.x1=1.5，x2=2.5 D.x1=-4，x2=0
9.如图所示为二次函数y=-x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是( D ).
A.-1≤x≤3 B.x≤-1 C.x≥3 D.x≤-1或x≥3
10若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是( A ).
A.b＜1且b≠0 B.b＞1 C.0＜b＜1 D.b＜1
11.已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2-m+2024的值为( D ).
A.2022 B.2023 C.2024 D.2025
12.若函数y=(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为( D )
A.－1或2 B.－1或1 C.1或2 D.－1或2或1
13.若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为( D )
A.x1=0，x2=4 B.x1=1，x2=5 C.x1=1，x2=﹣5 D.x1=﹣1，x2=5
14.下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1(a＞1)的图象与x轴交点的判断，正确的是( D )
A.没有交点 B.只有一个交点，且它位于y轴右侧
C.有两个交点，且它们均位于y轴左侧 D.有两个交点，且它们均位于y轴右侧
15.小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是( D )
A.无解 B.x=1 C.x=﹣4 D.x=﹣1或x=4
第15题 第16题 第17题 第18题
16.已知二次函数y=ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2＋bx＋c=0有一个根大于4.其中正确的结论有( B )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
17.如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为(－1，0)，(2，0)，(0，2)，则当y＞2时，自变量x的取值范围是( B )
A.0＜x＜ B.0＜x＜1 C.＜x＜1 D.－1＜x＜2
18．如图，与的图象交于，两点，则不等式的解集为（ D ）
A． B．或 C． D．或
二 、填空题
1.若抛物线y=x2－6x＋m与x轴没有交点，则m的取值范围是__m>9______．
2.抛物线y=a(x－2)(x+5)与x轴的交点坐标为____(2，0)，(－5，0)____．
3.已知y关于x的函数y＝（k－1）x2－2kx＋k＋2的图象与x轴有交点，求k的取值范围 ．
4.如图所示，二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2=kx+b(k≠0)的图象交于A(－2，4)、B(8，2)．求出能使y1＞y2成立的x的取值范围 x＜－2或x＞8 ．
第4题 第5题 第6题 第7题
5.如图，抛物线y=ax2+bx+c分别交坐标轴于A（-2，0）、B（6，0）、C（0，4），则0≤ax2+bx+c<4的解是-2≤x＜0或4＜x≤6____．
6.抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,若y≥0,则x的取值范围是 -3≤x≤1 .
7.抛物线的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是 x<-1或x>3 ．
8.若二次函数y=x2+6x+k的图象与x轴有且只有一个交点，则k的值为 9 ．
9.已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为 x1=﹣1或x2=3 ．
第9题 第10题 第11题
10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则方程ax2+bx+c=0的两根之和为 2 .
11.如图所示，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的一个交点是(3，0)，对称轴是直线x=1.当y＞0时，自变量x的取值范围是 x＜-1或x＞3. ．
三 、解答题
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A(1，﹣4)，且与x轴交于B、C两点，点B的坐标为(3，0)．
(1)写出C点的坐标，并求出抛物线的解析式；
(2)观察图象直接写出函数值为正数时，自变量的取值范围．
解：(1)∵顶点为A(1，﹣4)，且与x轴交于B、C两点，点B的坐标为(3，0)，
∴点C的坐标为(﹣1，0)，
设抛物线的解析式为y=a(x﹣3)(x+1)，
把A(1，﹣4)代入，可得
﹣4=a(1﹣3)(1+1)，解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=(x﹣3)(x+1)，
即y=x2﹣2x﹣3；
(2)由图可得，当函数值为正数时，自变量的取值范围是x＜﹣1或x＞3．
2．如图，抛物线y=ax2+bx－4a经过A(－1，0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点D(m，m+1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标．
3(1)将A(－1，0)、C(0，4)代入y=ax2+bx－4a，得：抛物线的解析式为y=－x2+3x+4．
(2) ∵点D(m，m+1)在抛物线上，∴m+1=－m2+3m+4． 即m2－2m－3=0．∴m=－1或m=3．∵点D在第一象限，∴点D的坐标为(3，4)．
由(1)知OC=OB，∴∠CBA=45°．
设点D关于直线BC的对称点为点E．
∵C(0，4)，
∴CD∥AB，且CD=3．
∴∠ECB=∠DCB=45°．
∴点E在y轴上，且CE=CD=3．
∴OE=1．
∴E(0，1)．即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0，1)．22.2 二次函数与一元二次方程
选择题
1．抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点个数是 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
2．抛物线在轴上截得的线段长度是（ ）
A． B．2 C． D．
3．关于二次函数y＝2x2＋4x﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，1） B．当x＜1时，y的值随x值的增大而减小
C．图象的顶点坐标为（﹣1，﹣3） D．图象的对称轴在y轴的右侧
4．若方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两个根是﹣3和1，则对于二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．﹣3＜x＜1 B．x＜﹣3或x＞1 C．x＞﹣3 D．x＜1
5．二次函数的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的最大值为（ ）
A．-7 B．7 C．-10 D．10
第5题 第6题 第7题 第9题
6.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论错误的是( )
A．ab<0 B．ac<0
C．当x<2时，函数值随x的增大而增大；当x>2时，函数值随x的增大而减小
D．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根
7.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于(﹣2，0)和(4，0)两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是( )
A.x＜﹣2 B.﹣2＜x＜4 C.x＞0 D.x＞4
8.若二次函数y=ax2+1图象经过点(-2，0)，则关于x的方程a(x-2)2+1=0实数根为( ).
A.x1=0，x2=4 B.x1=-2，x2=6 C.x1=1.5，x2=2.5 D.x1=-4，x2=0
9.如图所示为二次函数y=-x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是( ).
A.-1≤x≤3 B.x≤-1 C.x≥3 D.x≤-1或x≥3
10若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是( ).
A.b＜1且b≠0 B.b＞1 C.0＜b＜1 D.b＜1
11.已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2-m+2024的值为( ).
A.2022 B.2023 C.2024 D.2025
12.若函数y=(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为( )
A.－1或2 B.－1或1 C.1或2 D.－1或2或1
13.若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为( )
A.x1=0，x2=4 B.x1=1，x2=5 C.x1=1，x2=﹣5 D.x1=﹣1，x2=5
14.下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1(a＞1)的图象与x轴交点的判断，正确的是( )
A.没有交点 B.只有一个交点，且它位于y轴右侧
C.有两个交点，且它们均位于y轴左侧 D.有两个交点，且它们均位于y轴右侧
15.小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是( )
A.无解 B.x=1 C.x=﹣4 D.x=﹣1或x=4
第15题 第16题 第17题 第18题
16.已知二次函数y=ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2＋bx＋c=0有一个根大于4.其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
17.如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为(－1，0)，(2，0)，(0，2)，则当y＞2时，自变量x的取值范围是( )
A.0＜x＜ B.0＜x＜1 C.＜x＜1 D.－1＜x＜2
18．如图，与的图象交于，两点，则不等式的解集为（ ）
A． B．或 C． D．或
二 、填空题
1.若抛物线y=x2－6x＋m与x轴没有交点，则m的取值范围是 ．
2.抛物线y=a(x－2)(x+5)与x轴的交点坐标为 ．
3.已知y关于x的函数y＝（k－1）x2－2kx＋k＋2的图象与x轴有交点，求k的取值范围 ．
4.如图所示，二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2=kx+b(k≠0)的图象交于A(－2，4)、B(8，2)．求出能使y1＞y2成立的x的取值范围 ．
第4题 第5题 第6题 第7题
5.如图，抛物线y=ax2+bx+c分别交坐标轴于A（-2，0）、B（6，0）、C（0，4），则0≤ax2+bx+c<4的解是 ．
6.抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,若y≥0,则x的取值范围是 .
7.抛物线的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是 ．
8.若二次函数y=x2+6x+k的图象与x轴有且只有一个交点，则k的值为 ．
9.已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为 ．
第9题 第10题 第11题
10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则方程ax2+bx+c=0的两根之和为 .
11.如图所示，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的一个交点是(3，0)，对称轴是直线x=1.当y＞0时，自变量x的取值范围是 ．
三 、解答题
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A(1，﹣4)，且与x轴交于B、C两点，点B的坐标为(3，0)．
(1)写出C点的坐标，并求出抛物线的解析式；
(2)观察图象直接写出函数值为正数时，自变量的取值范围．
2．如图，抛物线y=ax2+bx－4a经过A(－1，0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点D(m，m+1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标．
