2.1命题、定理、定义 教案

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名称 2.1命题、定理、定义 教案
格式 docx
文件大小 291.3KB
资源类型 教案
版本资源 苏教版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-08-31 13:47:55

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文档简介

2.1命题、定理、定义
教学目标:
1.了解命题的概念,理解命题的条件与结论,会将命题表示为“若,则”的形式.
2.能根据命题的条件与结论判断命题的真假.
3.能够借助常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流,体会常用逻辑用语在数学中的作用.
教学重难点:
重点:掌握命题的概念、命题的构成.
难点:分清命题的条件、结论和判断命题的真假.
课 型:新授课
教学方法:讲练结合
教学过程
一、问题引入
三角形内角和为180°;
5能被2整除;
对顶角相等;
若 , 则 ;
两个全等的三角形面积相等;
3+2=6.
观察上面几个句子,有什么特点?
答:(1)都是陈述句;(2)有些句子是正确的,有些是错误的.
二、新课讲授
1. 命题的概念
命题:在数学中,我们将可以判断真假的陈述句叫作命题.
定理、定义
(1)定理:在数学中,有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用,一般称之为定理.
(2)定义:定义是对某些对象标明符号、指名称谓,或者揭示所研究问题中对象的内涵.
例1.给出下列语句:①.②3比5大.③这是一棵大树.④求证:是无理数.⑤二次函数的图象太美啦!⑥4是集合中的元素.其中是命题的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
例2.唐代诗人王维,字摩诘,在后世有“诗佛”之称,北宋苏轼评曰 “味摩诘之诗,诗中有画;观摩诘之画,画中有诗.”在王维《相思》这首诗中,哪一句可以作为命题( )
A.红豆生南国 B.春来发几枝 C.愿君多采撷 D.此物最相思
练1.(多选)下列语句不是命题的有( ).
A. B.与一条直线相交的两直线平行吗?
C. D.
练2.下列语句:
①直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方;
②上课请不要迟到;
③你今天吃早饭了吗?
④三角形既有内切圆,也有外接圆.
其中是命题的序号为___________.
命题的真假
真命题:判断为真的语句叫做真命题
假命题:判断为假的语句叫做假命题
对于命题“若,则”,下面四组关于a,b的值中,能说明这个命题是假命题的是( )
A., B., C., D.,
判断下列命题的真假,并说明理由.
(1)任意一个实数乘以-1都等于它的相反数;
(2)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整数;
(3)有些凸多边形的外角和不等于360°.
(4)对任意实数a,b,c,关于x的方程都有两个实数解.
练3.(多选)下列四个命题中,属于真命题的是( )
A.平面上两组对边平行且相等的四边形是正方形
B.线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
C.所有质数的平方都不是偶数
D.不存在一个奇数,它的立方是偶数
练4. 判断下列命题的真假,并说明理由:
(1)若,是任意实数,则;
(2)若,是实数且,则;
(3)若,则有两个不相等的实数根;
(4)若有两个不相等的实数根,则实数.
命题的条件与结论
(1)命题的一般形式为“若p,则q”.其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.
(2)确定命题的条件和结论时,常把命题改写成“若p,则q”的形式.
例5. 命题“在三角形中,大边对大角”改写成“若,则q”的形式为( )
A.在三角形中,若一边较大,则其对的角也较大
B.在三角形中,若一角较大,则其对的边也较大
C.若一个平面图形是三角形,则其大边对大角
D.若一个平面图形是三角形,则其大角对大边
例6. 已知命题“菱形的对角线互相平分”,将其改写成“若p,则q”形式为___________.(格式正确,描述清楚即可)
练5. 命题“平行四边形的对角线既互相平分,又互相垂直”的结论是________________________.
练6. 把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)等腰三角形底边上的中线垂直于底边并且平分顶角;
(2)当时,或;
(3)已知x,,当时,,.
拓展巩固
已知命题为真命题,则实数的值不能是( )
A.1 B.0 C.3 D.
2.给出命题:方程没有实数根,若该命题为真命题,则的一个值可以是( )
A.4 B.2 C.0 D.
3.已知不等式x+3≥0的解集是A,若a∈A是假命题,则a的取值范围是( )
A.a≥-3 B.a>-3
C.a≤-3 D.a<-3
4.(多选)已知,如果是假命题,是真命题,则实数可取( )
A. B. C. D.
5. 若和或都是假命题,则的范围是__________
6.若“方程有两个不相等的实数根”是真命题,则的取值范围是_________.
将下列命题改写成“若p,则q”的形式.
(1)平面内垂直于同一条直线的两条直线平行;
(2)平行于同一条直线的两条直线平行;
(3)两个无理数的和是无理数;
(4)乘积为正数的两个数同号;
(5)两个奇数的和是偶数;
(6)矩形的四个角相等;
(7)等腰三角形的两个底角相等;
(8)直径所对的圆周角是直角.
8. 若命题“方程ax2-3x+2=0有两个不相等的实数根”为真,求实数a的取值范围.
9.已知 ,:关于的方程有实数根.
(1)若为真命题,求实数的取值范围;
(2)若p为真命题,q为假命题,求实数的取值范围.
2.1命题、定理、定义
教学目标:
1.了解命题的概念,理解命题的条件与结论,会将命题表示为“若,则”的形式.
2.能根据命题的条件与结论判断命题的真假.
3.能够借助常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流,体会常用逻辑用语在数学中的作用.
教学重难点:
重点:掌握命题的概念、命题的构成.
难点:分清命题的条件、结论和判断命题的真假.
课 型:新授课
教学方法:讲练结合
教学过程
一、问题引入
三角形内角和为180°;
5能被2整除;
对顶角相等;
若 , 则 ;
两个全等的三角形面积相等;
3+2=6.
观察上面几个句子,有什么特点?
答:(1)都是陈述句;(2)有些句子是正确的,有些是错误的.
二、新课讲授
1. 命题的概念
命题:在数学中,我们将可以判断真假的陈述句叫作命题.
定理、定义
(1)定理:在数学中,有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用,一般称之为定理.
(2)定义:定义是对某些对象标明符号、指名称谓,或者揭示所研究问题中对象的内涵.
例1.给出下列语句:①.②3比5大.③这是一棵大树.④求证:是无理数.⑤二次函数的图象太美啦!⑥4是集合中的元素.其中是命题的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】A
【分析】根据命题的定义逐个分析判断即可.
【详解】命题是指可以判断真假的陈述句,所以②⑥是命题,
①不能判断真假,不是命题;
③“大树”没有界定标准,不能判断真假,不是命题;
④是祈使句,不是命题;
⑤是感叹句,不是命题.
故选:A
例2.唐代诗人王维,字摩诘,在后世有“诗佛”之称,北宋苏轼评曰 “味摩诘之诗,诗中有画;观摩诘之画,画中有诗.”在王维《相思》这首诗中,哪一句可以作为命题( )
A.红豆生南国 B.春来发几枝 C.愿君多采撷 D.此物最相思
【答案】A
【分析】根据命题的定义可得出结论.
【详解】对于A选项,“红豆生南国”是陈述句,所述事件在唐代是事实,所以,本句为命题;
对于B选项,“春来发几枝”是疑问句,不是命题;
对于C选项,“愿君多采撷”是祈使句,不是命题;
对于D选项,“此物最相思”是感叹句,不是命题.
故选:A.
练1.(多选)下列语句不是命题的有( ).
A. B.与一条直线相交的两直线平行吗?
C. D.
【答案】ABD
【分析】利用命题的概念逐项分析即得.
【详解】命题为可以判断真假的陈述句,
对于A,不能判断真假,故不是命题;
对于B,语句为疑问句,故不是命题;
对于C,是错误的,能判断真假,故是命题;
对于D,不能判断真假,故不是命题.
故选:ABD.
练2.下列语句:
①直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方;
②上课请不要迟到;
③你今天吃早饭了吗?
④三角形既有内切圆,也有外接圆.
其中是命题的序号为___________.
【答案】①④
【分析】根据命题的定义判断即可;
【详解】解:对于①直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方,为命题,且为真命题;
对于②上课请不要迟到,为祈使句,故不是命题;
对于③你今天吃早饭了吗?,故疑问句,故不是命题;
对于④三角形既有内切圆,也有外接圆,为陈述句,且能够判断真假,故是命题.
故答案为:①④
命题的真假
真命题:判断为真的语句叫做真命题
假命题:判断为假的语句叫做假命题
对于命题“若,则”,下面四组关于a,b的值中,能说明这个命题是假命题的是( )
A., B., C., D.,
【答案】AD
【分析】逐个代入验证,只要满足条件,不满足结论即可说明是假命题.
【详解】对于A,当,时,满足,但,能说明命题是假命题,所以A正确,
对于B,当,时,满足,,所以不能说明命题是假命题,所以B错误,
对于C,当,时,满足,,所以不能说明命题是假命题,所以C错误,
对于D,当,时,满足,但,能说明命题是假命题,所以D正确,
故选:AD
判断下列命题的真假,并说明理由.
(1)任意一个实数乘以-1都等于它的相反数;
(2)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整数;
(3)有些凸多边形的外角和不等于360°.
(4)对任意实数a,b,c,关于x的方程都有两个实数解.
【答案】(1)真命题,理由见解析
(2)真命题,理由见解析
(3)假命题,理由见解析
(4)假命题,理由见解析
【分析】(1)根据相反数的定义判断;
(2)举例判断;
(3)根据凸多边形的外角和定理判断;
(4)当时就可以判断.
(1)
真命题,根据相反数的定义,知该命题是真命题.
(2)
真命题,因为99,990,……,都既能被11整除,又能被9整除,所以该命题是真命题.
(3)
假命题,所有凸多边形的外角和都等于360°,故原命题为假命题.
(4)
假命题,当时,关于x的方程至多有一个实数解.
练3.(多选)下列四个命题中,属于真命题的是( )
A.平面上两组对边平行且相等的四边形是正方形
B.线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
C.所有质数的平方都不是偶数
D.不存在一个奇数,它的立方是偶数
【答案】BD
【分析】依次判断每个选项的真假即可.
【详解】对A,平面上两组对边平行且相等的四边形不一定是正方形,故A是假命题;
对B,根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,故B是真命题;
对C,2是质数,但为偶数,故C是假命题;
对D,任何奇数的立方都为奇数,故D是真命题.
故选:BD.
练4. 判断下列命题的真假,并说明理由:
(1)若,是任意实数,则;
(2)若,是实数且,则;
(3)若,则有两个不相等的实数根;
(4)若有两个不相等的实数根,则实数.
【答案】(1)假命题
(2)真命题
(3)真命题
(4)假命题
【分析】利用特殊值判断(1),根据完全平方数的非负性判断(2),根据一元二次方程根的判别式求出方程有两个不相等实数根时参数的取值范围,即可判断(3)(4);
(1)
解:当时,故命题“若,是任意实数,则;”为假命题;
(2)
解:因为,是实数所以,,又,所以所以,故命题为真命题;
(3)
解:若方程有两个不相等的实数根,则,解得,所以当时方程有两个不相等的实数根,故命题“若,则有两个不相等的实数根;”为真命题;
(4)
解:若方程有两个不相等的实数根,则,解得,故命题“若有两个不相等的实数根,则实数.”为假命题;
命题的条件与结论
(1)命题的一般形式为“若p,则q”.其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.
(2)确定命题的条件和结论时,常把命题改写成“若p,则q”的形式.
例5. 命题“在三角形中,大边对大角”改写成“若,则q”的形式为( )
A.在三角形中,若一边较大,则其对的角也较大
B.在三角形中,若一角较大,则其对的边也较大
C.若一个平面图形是三角形,则其大边对大角
D.若一个平面图形是三角形,则其大角对大边
【答案】A
【分析】根据命题的条件和结论进行改写即可.
【详解】命题的大前提是“在三角形中”,条件是“大边”,结论是“对大角”.
故选:A.
例6. 已知命题“菱形的对角线互相平分”,将其改写成“若p,则q”形式为___________.(格式正确,描述清楚即可)
【答案】若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相平分
【分析】此命题满足的条件是四边形是菱形,结论是四边形的对角线互相平分,从而可得结果
【详解】命题“菱形的对角线互相平分”,将其改写成“若p,则q”形式为
若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相平分,
故答案为:若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相平分
练5. 命题“平行四边形的对角线既互相平分,又互相垂直”的结论是________________________.
【答案】这个四边形的对角线既互相平分又互相垂直
【分析】先将命题改写成“如果…,那么…”,的形式,从而可得命题的结论.
【详解】命题“平行四边形的对角线既互相平分,又互相垂直”可改写为
“如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的对角线既互相平分又互相垂直”
故答案为:这个四边形的对角线既互相平分又互相垂直
练6. 把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)等腰三角形底边上的中线垂直于底边并且平分顶角;
(2)当时,或;
(3)已知x,,当时,,.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】(1)(2)(3)根据命题的知识改写即可,然后判断其真假.
(1)
若一个三角形是等腰三角形,则其底边上的中线垂直于底边并且平分顶角.该命题是真命题.
(2)
若,则或.该命题是真命题.
(3)
已知x,,若,则,.该命题是假命题.
拓展巩固
已知命题为真命题,则实数的值不能是( )
A.1 B.0 C.3 D.
【答案】D
【分析】由题意求出的取值范围,判断选项
【详解】由题意得,,解得
故选:D
2.给出命题:方程没有实数根,若该命题为真命题,则的一个值可以是( )
A.4 B.2 C.0 D.
【答案】C
【分析】根据根的判别式求出的范围,在选项中选出符合条件的值即可
【详解】解:由方程无实数根得,应满足,解得,故当时符合条件.
故选;:C.
【点睛】本题考查根据命题的真假求参数问题,是简单题.
3.已知不等式x+3≥0的解集是A,若a∈A是假命题,则a的取值范围是( )
A.a≥-3 B.a>-3
C.a≤-3 D.a<-3
【答案】D
【分析】利用不等式的解法和命题的否定即可得出.
【详解】∵x+3≥0,∴A={x|x≥},
又∵a∈A是假命题,即aA,∴a<.
故选:D
【点睛】本题考查命题的真假判断与应用、元素与集合的关系,属于基础题.
4.(多选)已知,如果是假命题,是真命题,则实数可取( )
A. B. C. D.
【答案】BC
【分析】根据题目条件列不等式计算即可.
【详解】依题意,,
∴,
∴实数的取值范围是,
故选:BC.
5. 若和或都是假命题,则的范围是__________
【答案】
【分析】先由和或都是假命题,求出x的范围,取交集即可.
【详解】若为假命题,则有或
若或是假命题,则
所以的范围是
即的范围是
胡答案为:
6.若“方程有两个不相等的实数根”是真命题,则的取值范围是_________.
【答案】且.
【分析】首先保证二次项系数不为零,再根据判别式求解.
【详解】解析由题意知,
解得:且.
故答案为:且.
【点睛】本题考查根据命题的真假求参数的取值范围问题,比较简单,只要列出满足原命题为真的条件式求解即可.
将下列命题改写成“若p,则q”的形式.
(1)平面内垂直于同一条直线的两条直线平行;
(2)平行于同一条直线的两条直线平行;
(3)两个无理数的和是无理数;
(4)乘积为正数的两个数同号;
(5)两个奇数的和是偶数;
(6)矩形的四个角相等;
(7)等腰三角形的两个底角相等;
(8)直径所对的圆周角是直角.
【答案】答案见解析.
【分析】首先弄清命题的条件和结论,然后进行改写即可.
【详解】解:(1)在平面内,若两条直线垂直于同一条直线,则这两条直线平行;
(2)若两条直线平行于同一条直线,则这两条直线平行;
(3)若两个数是无理数,则它们的和是无理数;
(4)若两个数的乘积为正数,则这两个数同号;
(5)若两个数是奇数,则它们的和是偶数;
(6)若一个四边形为矩形,则它的四个角相等;
(7)若一个三角形为等腰三角形,则它的两个底角相等;
(8)若圆的弦为直径,则它所对的圆周角是直角.
8. 若命题“方程ax2-3x+2=0有两个不相等的实数根”为真,求实数a的取值范围.
【答案】且.
【分析】方程ax2-3x+2=0有两个不相等的实数根,说明是一元二次方程,根的判别式大于0,进而求出结果.
【详解】由题意知,解得a<,且a≠0,故实数a的取值范围是且.
9.已知 ,:关于的方程有实数根.
(1)若为真命题,求实数的取值范围;
(2)若p为真命题,q为假命题,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)
【分析】(1)利用一元二次方程根的判别式,可列出不等式,求解即可得出答案;
(2)根据真假,可列出关于的不等式,进而可求出答案.
【详解】(1)∵关于的方程有实数根,∴,即,
∴若q为真命题,实数a的取值范围为:.
(2)∵为真命题,为假命题,
∴,解得.
∴.