基本不等式学案
教学目的 1.了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2.会用基本不等式解决最大（小）值问题；
重、难点 利用基本不等式解决最大（小）值问题、均值不等式
基本知识：
1.重要不等式：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）.
2.基本不等式：如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）.
(1)基本不等式成立的条件： ．
(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号．
变形：
要点诠释：(1)使用基本不等式三个条件：一正二定三相等
(2)两数之积为定值，两数之和有最小值；
(3)两数之和为定值，两数之积有最大值。
(4)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．
例1.
变式：
例2.
变式：
例3.均值不等式四类，x，y＞0
（式子中只有两数之和、两数之积，不带常数的，等号两边同除两数之积，可变成上一类题）
（配凑）
例4.
例5.证明：
调和平均数≤几何≤算术≤平方平均数
练习题
1.判断：
（1）当x＞0，的最小值是2. （ ）
（2）两个不等式与成立的条件相同. （ ）
（3）x＞0且y＞0，是的充要条件. （ ）
2.设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80 B．77
C．81 D．82
3.若x>1，则x＋的最小值为________．
4.已知0＜x＜，求函数y＝x(1－3x)的最大值；
5.设a>0，b>0，若a＋b＝1，则＋的最小值是( )
A．2 B. C．4 D．8
6.设是正实数,且,求的最小值.
7.已知正数满足，则的最小值是________
8.已知都大于0，且=1，求证++≥9．
9.已知x＞1，求y＝的最小值；
10.的最小值.
11.求的最小值及相应的的值.
12.已知x>-1,则函数y=x+的最小值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
13.．函数f(x)＝的最大值为( )
A. B. C. D．1
14.（2022新高考Ⅱ卷12）若实数x，y满足，则（ ）
A． B． C． D．基本不等式学案
教学目的 1.了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2.会用基本不等式解决最大（小）值问题；
重、难点 利用基本不等式解决最大（小）值问题、均值不等式
基本知识：
1.重要不等式：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）.
2.基本不等式：如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）.
(1)基本不等式成立的条件： ．
(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号．
变形：
要点诠释：(1)使用基本不等式三个条件：一正二定三相等
(2)两数之积为定值，两数之和有最小值；
(3)两数之和为定值，两数之积有最大值。
(4)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．
例1.
变式：
例2.（ 配方，同除一次式）
变式：.（ 配方，同除一次式）
（分母越大 分数值越小）
例3.均值不等式四类，x，y＞0
（式子中只有两数之和、两数之积，不带常数的，等号两边同除两数之积，可变成上一类题）
（配凑）
例4.
（有两数之和、两数之积，带常数的，转二次函数）
例5.证明：
调和平均数≤几何≤算术≤平方平均数
练习题
1.判断：
（1）当x＞0，的最小值是2. （ √ ）
（2）两个不等式与成立的条件相同. （ × ）
（3）x＞0且y＞0，是的充要条件. （ × ）
2.设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80 B．77
C．81 D．82
[解析] 根据基本不等式，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故选C.
3.若x>1，则x＋的最小值为________．
[解析] x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.
当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．
4.已知0＜x＜，求函数y＝x(1－3x)的最大值；
解析：∵0＜x＜，∴1－3x＞0，
∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)
当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立．
∴当x＝时，函数取最大值.
5.设a>0，b>0，若a＋b＝1，则＋的最小值是( )
A．2 B. C．4 D．8
C [解析] 由题意＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 ＝4，当且仅当＝，即a＝b＝时，取等号，所以最小值为4.
6.设是正实数,且,求的最小值 16
7.已知正数满足，则的最小值是 8
8.已知都大于0，且=1，求证++≥9．
9.已知x＞1，求y＝的最小值；
解析：y＝＝＝x＋1＋
＝x－1＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当＝x－1，
即(x－1)2＝1时，等式成立，
∵x＞1，∴当x＝2时，ymin＝4.
10.的最小值.
11.求的最小值及相应的的值.
X=3时取“=”
12.已知x>-1,则函数y=x+的最小值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
解析:因为x>-1,所以x+1>0,
所以y=x+=(x+1)+- -1
≥2-1=1,
当且仅当x+1=,
由于x>-1,即当x=0时,等号成立. 答案:C
13.．函数f(x)＝的最大值为( )
A. B. C. D．1
解析：当x＝0时，f(0)＝0；当x＞0时，x＋1≥2＞0，∴f(x)≤＝，当且仅当x＝1时等号成立．故函数f(x)＝的最大值为. 答案：B
14.（2022新高考Ⅱ卷12）若实数x，y满足，则（ BC ）
A． B． C． D．
