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品味选择填空题
——感受数学思想方法的灵活运用
高三年级数学学科
1
选择填空方法
2
数形结合思想
3
转化化归思想
4
分类讨论思想
CONTENTS
目 录
选择填空方法
01
A
数形结合思想
02
数缺形时少直觉，形少数时难入微。——华罗庚
数形结合思想方法
数形结合思想方法，特点是“以形助数，以数辅形”
“以形助数”是借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形为手段、数作为目的的解决数学问题的数学思想
“以数辅形”是借助于数的精确性、规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段、形作为目的的解决问题的数学思想．
数形结合思想
相关概念
A
A
A
A
转化化归思想
03
转化与化归思想方法，就是在研究和解决数学问题时，采用某种
手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法.
B
分类讨论思想
04
分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的结果.
C
小结
通过本节课，希望大家在解决选择填空题时，可以多一些方法的选择，在限时训练的情形下，可以借助特殊化、赋值法、排除错误选项法等进行求解；在学习的过程中，通过具体问题体会数形结合、转化化归、分类讨论等思想方法，多层次、多角度的看待问题、解决问题.
作业
作业
作业品味选择填空题
——感受数学思想方法的灵活运用
选择填空方法
在解决数学学科问题时，我们会基于一些活动的经验，掌握一套解决问题的方法。进而，这些思想方法潜移默化的指导我们解决更多问题。特别的，面对选择题或者填空题的形式，为达成正确求解的目标，方法的选用更加灵活。
例1. 已知函数，函数的导函数为，则函数的图象大致为
【解析】因为，所以，
易得，所以为奇函数，可仅在A或C选项中考虑，又，所以选A.
小结：面对四个选项，根据函数的某些性质，我们可以排除掉不满足题意的选项，从而尽快求解. 当然，如果我们的目标是真正认识清楚这个函数，就需要找出答案的原因，更深一步探讨.
例2. 已知是圆的一条弦，长度为2，则 .
【解析】在一个不确定半径的圆中，已知一条长度为2的弦，如何求向量的数量积？我们可以从概念入手，直接解决问题.
【方法一】.
而是向量在上的投影，等于1. 则
【方法二】延长AO与圆O交于点C，连结CB，则
【方法三】特殊化：令圆O为半径为1的圆，则AB为其直径，O为AB中点，所以
小结：利用数学概念或定理，可以直接求解数学问题. 对于一些填空题，在不确定问题的背景下，求解某数学量的值，往往可以采用赋予特殊值的方法，用特殊情况猜测一般情况.
二、数形结合思想
数形结合思想方法，特点是“以形助数，以数辅形”，“以形助数”是借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形为手段、数作为目的的解决数学问题的数学思想；而“以数辅形”是借助于数的精确性、规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段、形作为目的的解决问题的数学思想．
正如华罗庚先生所说，“数缺形时少直觉，形少数时难入微”.在解决具体问题时，二者相辅相成.
例3. 已知过定点的直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积最大时，直线的倾斜角为
（A） （B） （C） （D）
【解析】从已知量出发，明确两个关键，一是曲线的样子，二是直线的倾斜角的概念。
相关概念：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角. 我们规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.
【方法一】（特殊化）
为使得三角形存在，直线与半圆必有两个公共点，且A、B、O不共线. 在特殊情况，直线与半圆相切时，得
此时，，直线的倾斜角. 由题意，直线须绕点P逆时针转动，倾斜角变大，观察选项，选A. 根据选项合理性做出判断.
【方法二】（几何推演）
根据条件，已知一条确定曲线和一个变化直线，在直线运动的过程中，研究构成三角形面积得最大值.
考察变化过程中，是如何变化的. 在中，恒成立，因此选用面积公式，面积的变化只与的变化相关，，从而当时，面积最大，最大值为1. 此时，取AB中点G连接OG，得，所以，所以直线的倾斜角为.
【方法三】（代数运算）设圆心O到直线l的距离为d，即取AB中点G连接OG，，（），则，
当且仅当时，上式等号成立.
设直线的斜率为k（），直线的方程为，即，因此，解得，所以直线的倾斜角为.
小结：在解析几何的情境中，我们将有序实数对与点对应，方程与曲线对应，将代数表达与几何对象对应起来，进而讨论二者变化时的面积大小. 在确定最值时，可借由特殊位置几何量的关系，求出倾斜角；也可运用不等式性质，得到方程特点，进而求出倾斜角.
例4. 已知函数的两个零点为,，则
（A） （B） （C） （D）
【解析】考察在上的零点，转化为考察在上的根，即，又即，转化为考察和图象在上的交点横坐标. 如图所示，作出二者的图象，不妨设，，
所以，又因为，所以，，考察，
所以. 故选A.
小结：为解决函数的零点问题，构建两个新函数，研究其交点. 根据函数图象性质，缩小交点范围，最终解决了两个数乘积的范围问题. 借助图形特点，研究数的性质.
三、转化化归思想
转化与化归思想方法，就是在研究和解决数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法.
例5. 现有，，…，这5个球队进行单循环比赛（全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场）．当比赛进行到一定阶段时，统计，，，这4个球队已经赛过的场数分别为：队4场，队3场, 队2场，队1场，则队比赛过的场数为
（A） （B） （C） （D）
【解析】使用恰当的转化方式，借助表格、图形等方法还原问题的本来面貌.
用表格整理已知量，画“√”为已赛，画“×”为未赛. 如表所示，选B.
√ √ √ √
√ √ × √
√ √ × ×
√ × × ×
√ √ × ×
小结：用枚举的方式罗列出所有的可能，将问题背景中已经概括的4只球队的比赛情况，转化为每两队之间的比赛情况，表面上转化的是表达形式，实际上转化的是问题视角，将抽象问题转化为具体问题，将复杂问题转化为简单问题.
例6. 学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为 A，B，C，D，E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A的学生，其另外一科等级为B．则该班
（A）物理化学等级都是B的学生至多有12人
（B）物理化学等级都是B的学生至少有5人
（C）这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至多有18人
（D）这两科只有一科等级为B且最高等级为B的学生至少有1人
小结：类似的，这道考试题也可将本班物理、化学考试情况的概况，转化为36名同学两科等级的具体信息，从而一目了然的看清问题.
四、分类讨论思想
分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的结果.
例7. 已知函数在区间上的值域为，则
（A） （B） （C） （D）
【解析】由题意，，得，由于无法判断最值在哪里取到，需要讨论函数单调性，即分类讨论. 当时，在上为增函数，，解得；当时，在上为减函数，，解得. 综上.
故选C.
小结：解决此类问题需要讨论函数单调性，而当单调性不确定时，无法统一的研究后续问题，因此需要按照单调性的不同，分类讨论.
例8. 若集合且下列四个关系：①；②；③；
④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是_________．
【解析】根据已知条件，四个关系有且只有一个正确，每一种情况都与其他不同，因此需要分类. 在每一可行类别中，枚举即得.
因为①正确，②也正确，所以只有①正确是不可能的；若只有②正确，①③④都不正确，则符合条件的有序数组为，；若只有③正确，①②④都不正确，则符合条件的有序数组为；若只有④正确，①②③都不正确，则符合条件的有序数组为，，．综上符合条件的有序数组的个数是6．
课堂小结：通过本节课，希望大家在解决选择填空题时，可以多一些方法的选择，在限时训练的情形下，可以借助特殊化、赋值法、排除错误选项法等进行求解；在学习的过程中，通过具体问题体会数形结合、转化化归、分类讨论等思想方法，多层次、多角度的看待问题、解决问题.
作业：
1．在平面直角坐标系xOy中，已知点,，动点满足,其中，则所有点构成的图形面积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
[答案]C
2. 如图，在棱长为的正方体中，点是对角线上
的动点（点与不重合）. 则下面结论中错误的是（ ）
（A）存在点，使得平面∥平面
（B）存在点，使得⊥平面
（C）分别是△在平面，平面上的正投影图
形的面积，对任意的点， 都有
（D）对任意的点，△的面积都不等于
[答案]C
3.名运动员参加一次乒乓球比赛，每名运动员都赛场并决出胜负．设第位运动员共胜场，负场（），则错误的结论是（ ）
（A）
（B）
（C）为定值，与各场比赛的结果无关
（D）为定值，与各场比赛结果无关
[答案]D
4．在平面内，点是定点，动点满足，，则集合所表示的区域的面积是 ．
[答案]
5. 设为平面内的个点，在平面内的所有点中，若点 到点的距离之和最小，则称点为点的一个“中位点”，例如，线段上的任意点都是端点，的中位点，现有下列命题：
①若三个点，，共线，在线段上，则是，，的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点，，，共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点；
其中的真命题是________________（写出所有的真命题的序号）．
[答案]①④
由“中位点”可知，若C在线段AB上，则线段AB上任一点都为“中位点”，C也不例外，故①正确；
对于②假设在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如图所示，点P为斜边AB中点，设腰长为2，则|PA|＋|PB|＋|PC|＝|AB|＝，而若C为“中位点”，则|CB|＋|CA|＝4＜，故②错；
对于③，若B，C三等分AD，若设|AB|＝|BC|＝|CD|＝1，则|BA|＋|BC|＋|BD|＝4＝|CA|＋|CB|＋|CD|，故③错；
对于④，在梯形ABCD中，对角线AC与BD的交点为O，在梯形ABCD内任取不同于点O的一点M，则在△MAC中，|MA|＋|MC|＞|AC|＝|OA|＋|OC|，
同理在△MBD中，|MB|＋|MD|＞|BD|＝|OB|＋|OD|，
则得，|MA|＋|MB|＋|MC|＋|MD|＞|OA|＋|OB|＋|OC|＋|OD|，
故O为梯形内唯一中位点是正确的．
